初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想探討

彭海勇

摘 要：數(shù)形結(jié)合的思想在解答初中數(shù)學(xué)題目上有著非常重要的地位，初中數(shù)學(xué)中有些知識(shí)點(diǎn)的概念是非常抽象的，光靠傳統(tǒng)的思維方式很難讓學(xué)生很好的進(jìn)行理解，因此，在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，有必要將數(shù)形結(jié)合的思想教給學(xué)生。本文將通過(guò)幾個(gè)例題對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；舉例

數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中的應(yīng)用非常廣泛，在函數(shù)、不等式、幾何等題目中運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合思想方法可以節(jié)省大量計(jì)算時(shí)間，初一、初二通過(guò)數(shù)軸給學(xué)生以感性認(rèn)識(shí)，了解數(shù)形結(jié)合的一些思想和方法，初三年級(jí)通過(guò)直角坐標(biāo)系的建立讓學(xué)生初步掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法.數(shù)形結(jié)合思想在中考數(shù)學(xué)中有著舉足輕重的作用。下面我就數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的應(yīng)用談?wù)効捶ā?/p>

一﹑由數(shù)想形

（一）借助數(shù)軸引導(dǎo)學(xué)生合理理解數(shù)學(xué)概念法則。

數(shù)軸是重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具，借助其可直觀表示較多數(shù)學(xué)問(wèn)題，令數(shù)形有機(jī)結(jié)合，因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中我們應(yīng)合理應(yīng)用數(shù)軸幫助學(xué)生整理絕對(duì)值的幾何意義，掌握數(shù)軸上任意兩點(diǎn)間的距離等于兩點(diǎn)所表示數(shù)的差的絕對(duì)值.

理解：|x-1|，|x+2|分別表示數(shù)軸上表示x與1、x與-2之間的距離，則本題就可借助數(shù)軸找x到1和-2的距離和等于3的點(diǎn)在-2和1之間，所以答案為-2≤x≤1.

由上題可知，x到1和-2的距離差等于3，因此本題要找的是x到1和-2的距離差等于3，借助數(shù)軸發(fā)現(xiàn)x只能在-2的左邊，或1的右邊，所以答案為x≤-2或x≥1.

（二）借助數(shù)軸引導(dǎo)學(xué)生分析不等式中部分解求范圍問(wèn)題.

解不等式得：x≤m.通過(guò)畫數(shù)軸可知正整數(shù)解為1、2、3，m的大致范圍在3和4之間，再討論m=3和m=4的情況，當(dāng)m=3時(shí)符合題意，當(dāng)m=4時(shí)，不等式有4個(gè)正整數(shù)解為1、2、3、4.所以本題的答案為3≤m<4.

（三）借助拋物線圖像給定自變量取值范圍求因變量范圍.

分析：由自變量范圍可知二次函數(shù)有意義圖像在ACB這段曲線上，經(jīng)過(guò)圖像的最高點(diǎn)，所以函數(shù)在自變量范圍內(nèi)有最大值.當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)最小值為-4；當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)最大值為5，所以y的取值范圍為-4

（四）由數(shù)結(jié)構(gòu)想到構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求最值.

例4：已知：a，b均為正數(shù)，a+b=2，求+的最小值.

解：如圖，作線段AB=2，在AB上截取AE=a，BE=b，過(guò)A作AC⊥AB且AC=2，過(guò)B作BD⊥AB且AB=1，則由勾股定理得+，即CE+DE.本題就轉(zhuǎn)化為在AB上找一點(diǎn)使CE+DE最小，作C，G關(guān)于AB對(duì)稱，連接DG交AB于E，此時(shí)G，D，E三點(diǎn)共線.過(guò)G作GF⊥DB交DB延長(zhǎng)線于F，最小值即為DG.

DG===.

所以+的最小值為.

從上文已經(jīng)知道，以形助數(shù)是根據(jù)代數(shù)問(wèn)題所蘊(yùn)含的幾何意義，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題并加以解決，使得代數(shù)問(wèn)題變幾何化，借助于幾何圖形直觀地得到問(wèn)題的結(jié)論，使得原本抽象而復(fù)雜的問(wèn)題變得更形象化、簡(jiǎn)易化.

二、由形知數(shù)

（一）初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)利用數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)方式有效解決識(shí)圖問(wèn)題.

例5：如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿著A→B→C→D的方向不停移動(dòng)，直到點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D后才停止.已知△PAD的面積S（單位：cm）與點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間分析：在教學(xué)時(shí)讓學(xué)生結(jié)合圖像和圖形分析出點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)S的面積在不斷增大，對(duì)應(yīng)自變量0≤t≤2在函數(shù)圖像上，當(dāng)自變量t=2時(shí)點(diǎn)P恰好與B點(diǎn)重合，此時(shí)線段AB=2cm，S的面積為3cm，過(guò)B作BE⊥AD可求得BE=cm，AE=1cm，AD=6cm，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)面積不變，對(duì)應(yīng)自變量2≤t≤4根據(jù)函數(shù)圖像可得BC=2，點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)面積不斷減小對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像剩下的部分.則要求點(diǎn)P從開(kāi)始移動(dòng)到停止移動(dòng)一共用了多少秒，只需求出CD得長(zhǎng).轉(zhuǎn)化為梯形中已知三邊求第四邊問(wèn)題，過(guò)C作CF⊥AD可得矩形CFEB，CF=BE=cm，CD=2cm，從而求出路程為（2+4）cm，時(shí)間為（2+4）s.

（二）用代數(shù)的方法有效地解決幾何圖形中的翻折問(wèn)題.

例6：如圖，已知直角梯形紙片OABC中，兩底邊AO=5，BC=4，垂直于底的腰CO=.點(diǎn)T在線段AO上（不與線段端點(diǎn)重合），將紙片折疊，使點(diǎn)A落在射線AB上（記為點(diǎn)A′，折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)T，折痕TP與射線AB交于點(diǎn)P，設(shè)OT=t，折疊后紙片重疊部分（圖中陰影部分）的面積為S.

（1）求∠OAB的度數(shù)；

（2）求當(dāng)點(diǎn)A′在線段AB上時(shí)，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，求t的取值范圍；

（4）S存在最大值嗎？若存在，求出這個(gè)最大值，并求此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（1）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OA，垂足為E，可得AE=OA-OE=1，tanA=，

∴∠OAB=60°.

（2）當(dāng)點(diǎn)A′在線段AB上時(shí)，

∵∠OAB=60°，TA=TA′，

∴△A′TA是等邊三角形，且TP⊥AB，TA=5-t，

∴S=S=·（5-t）=（5-t）（3≤t<5）.

（3）當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，因△A′TA是等邊三角形，所以2（4）S存在最大值.

①當(dāng)3≤t<5時(shí)，S=（5-t）（3≤t<5），在對(duì)稱軸t=5的左邊，S的值隨t的增大而減小，當(dāng)t=3時(shí)，S的最大值是；

②當(dāng)1≤t<3時(shí)，重疊部分的面積S=（5-t）-（3-t）=-（t-1）+

當(dāng)t=1時(shí)，S的最大值為；

③當(dāng)0

∵四邊形ETAB是等腰梯形，∴EF=ET=AB=2，S=×2×=.

綜上所述，S有最大值為，此時(shí)0

通過(guò)幾何圖形的變化，用函數(shù)表達(dá)求最值是考試中常見(jiàn)的問(wèn)題.因此在教學(xué)中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生畫圖，結(jié)合圖形用函數(shù)描述幾何圖形的變化.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用往往能使一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問(wèn)題變得直觀，解題思路非常清晰，步驟非常明了.另外，還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，使其養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣.數(shù)形結(jié)合思想貫穿初中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，“以形助數(shù)”“以數(shù)輔形”，有利于發(fā)展學(xué)生思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]馬秀琴，初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的研究和應(yīng)用[J]，科學(xué)大眾，2009年7期.

[2]曾鐵梅，初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的探討[J]，科學(xué)咨詢，2015年15期.