從現實生活中的概率應用談探究性學習

張遠富

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1672-1578（2017）09-0075-01

探究學習是素質教育倡導的一種學習方式，進行探究學習有利于調動學生學習的自主性，使其進行主動的探索活動，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力、問題意識，以及關注現實，關注人類發(fā)展的意識和責任感，有利于改變學生對學習數學的枯燥感覺，有利于提高學生的動手能力和解決問題能力。

接下來就是針對現實生活中的一個問題怎樣來探究學習：有一百萬張獎票，唯一的獎項是一張10萬元的大獎，第一個排隊買彩票的人中獎的概率與最后一個買彩票的人的人的中獎的概率有什么區(qū)別？這個問題對很多熱衷于買彩票的人來說，很少有人探究彩票中獎與概率之間的關系，甚至有人認為彩票中獎與概率之間沒有什么必然關系，其實不然。

有關彩票中獎的問題暫時先放一下，我們先探究另一個問題：一個袋子裝有100個球，其中有60個紅球，40個白球，從中每摸出一個球而不放回去，問第一次，第二次，第三次摸到白球的概率是多少？設第一次摸到白球為事件p1（白），第二次摸到白球為事件p2（白），第一次摸到紅球為事件p1（紅）。顯然第一次摸到白球的概率很容易得出答案：40/100。但是第二次摸到白球的概率怎么算呢？有的學生回答是 39/99，有的學生回答40/99，這兩種答案正確嗎？誰是對的，讓學生進一步思考討論。回答第一種答案的理由是第一次取走了一個白球剩下只有39個白球了，當然是概率就是39/99。回答第二種答案的理由剛好反過來，認為第一次取走的是紅球而并非白球，當然概率就是40/99。根據以上兩種理由，于是有人對以上的答案作出了否定，因為第一次取走什么球是偶然的，而非必然，取走紅球或者白球都有可能并對第二次取走白球的概率是有影響的，此時繼續(xù)鼓勵學生怎樣求出第二次取得白球的概率？啟發(fā)學生第一次取得的球可能是白球，也可能是紅球，那么第二次取得白球的概率就有幾種情況：一種是先摸到白球后摸到紅球，另一種情況是先摸到紅球后摸到白球，則第二次摸到白球的概率就應該這樣算：P2（白）=P1（白）×P2（白）+P1（紅）×P2（白）=40/100×39/99+60/100×40/99=40/100。居然同第一次摸到白球的概率相同，學生感到很驚奇，緊接著計算第三次摸到白球的概率，這時學生很容易探索出第三次摸到白球有四種情況：即（白、白、白）、（白、紅、白）、（紅、白、白）、（紅、紅、白），概率就是：P3（白）=40/100×39/99×38/98+40/100×60/99×39/98+60/100×40/99×39/98+60/100×59/99×40/98=40/100，又是40/100。此時點名計算法就是今天要學到的全概率公式。做完這道題后，馬上有提出問題，第十次，第二十次，摸到白球的概率又是多少？于是學生猜測還是40/100，能否驗證一下，學生感覺有點困難。顯然按照這種計算很復雜，能否有其他辦法？引導學生用比例考慮，討論摸索，從而，探索出一種簡單的方法，考慮第一次取球，紅球為60/100，白球概率為40/100，即“紅球占60/100，白球占40/100”。這樣相當于從100個球中按比例取出了一個球，那么剩下的99個球中白球與紅球的比例，取第二個白球的概率就是40/100，這種方法簡單易懂。同理我們可以得到：取到第十次，二十次時，白球的概率仍為40/100。關鍵要理解按比例摸球，這對于解題起著很大的作用，學生可以在未知第一階段的具體取球的情況下，只考慮第二階段，從而簡化全概率公式。

回過頭到第一個問題上，把這個模型運用到彩票問題上。第一個排隊買彩票的人，其中獎的概率與最后一個人沒有任何區(qū)別的，因為，前面買彩票的人按比例拿走了彩票，這并不影響后面購買者的中獎概率。可能有人會想“第一張彩票萬一就是中獎的，買了豈不是賺了？”但是條件必須是“第一張彩票中獎”。因此，條件概率與我們所說的不同，我們可以稱前面的摸球模型為“彩票模型”。

以上是對買彩票中獎問題的探究性學習過程記錄，這里特別強調學生進行研究性學習，就要從現實的有趣的富有挑戰(zhàn)性的問題中進行，采用觀察、猜測、合作交流等數學活動，構建“問題情景——建立模型——解釋、運用于擴展”基本模式中訓練。

在接下來，在研究一個與彩票類似的問題。在民間老百姓吃酒經常玩的一種游戲，在我接觸到的所有玩這種游戲的人，沒有一個人明白其中里面的道理是怎么一回事。這個游戲是這樣玩的，只要有兩個人以上就可以玩，如果有8個人，就準備8枚硬幣之類的小東西，其中1人用手包住8枚硬幣中的任意幾枚，叫其他7人一個一個的猜，誰猜中包的硬幣數，就罰誰喝酒，7個人若都沒有猜中，包硬幣的人自罰酒，吃酒的人又繼續(xù)重新包硬幣開始，在這個游戲中，學生提出了以下問題：第一種觀點是：首先猜的人猜中的幾率最小，其次是第二人，從此類推最后一人猜中的幾率最大；第二種觀點是：包硬幣的幾率最?。坏谌N觀點是：所有人猜中的幾率都一樣的。問題提出來讓學生給出理由，通過學生相互討論后，第一種觀點的理由是：首先猜的人猜中的幾率只有1/8，第二個人猜中的幾率變成了1/7，以此下去，最后一個人猜中的幾率是1/2，而第二、三種觀點理由不充分，只是感覺和實踐中的體會，進行到這里，必要提醒學生這個問題與模型彩票中獎的問題是否相似？經過一陣思考后，于是有的學生立即站出來反對第一二兩種觀點，而贊成第三種觀點。首先猜中的概率卻是只有1/8，但如果首先猜中的話（這種可能是存在的），下一個人猜中的概率還是1/7嗎？不就是0嗎？因此，第一種觀點是錯誤的，第二種是同樣的道理，顯然也是錯誤的，只余最后一個觀點，我就想到已經探究解答的買彩票中獎問題，實質是一樣的，也是一個按比例猜幣問題，每一個人猜幣都按1：7中與不中比例猜測的，因此，每一個人包括包幣的人都應該是一樣的。到此，我們對概率在生活中的一些問題應用的探究就告一個段落。

通過以上的探究、爭論，學生對概率在生活中的運用有了更深刻的認識、了解和特殊的興趣，同時充分調動學生學習的積極性，培養(yǎng)了學生善于提出問題，大膽猜測的創(chuàng)造性思維方式，改變了學生學習數學的枯燥感覺，并在這個過程中初步體驗了數學、了解數學、認識數學的價值，總結數學的規(guī)律，發(fā)展數學能力的目的。endprint