通性通法：運(yùn)算律教學(xué)的核心價(jià)值（二）

劉善娜

【摘 要】運(yùn)算律教學(xué)的核心是對運(yùn)算律本身的理解，對其“通性通法”的理解?！笆裁词墙粨Q律”“交換律為什么存在”“如何借助不完全歸納法得出交換律卻又體驗(yàn)到科學(xué)性和嚴(yán)密性”，這些都是需要明晰的核心問題。數(shù)學(xué)上的定義和證明對小學(xué)生而言比較抽象，需要融合學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)將“通性通法”予以直觀、簡潔、正確的呈現(xiàn)，再結(jié)合學(xué)情進(jìn)行預(yù)測，最終形成關(guān)注運(yùn)算律“通性通法”的教學(xué)方案，以教學(xué)片段的形式呈現(xiàn)。

【關(guān)鍵詞】交換律 通性通法 價(jià)值

基本運(yùn)算律被稱為“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的“通性通法”。在《通性通法：運(yùn)算律教學(xué)的核心價(jià)值（一）——“交換律”一課的教學(xué)思考》一文中，已經(jīng)闡述了交換律在數(shù)學(xué)上的證明及與之相契合的學(xué)生能被激活的經(jīng)驗(yàn)、能理解的直觀，以及如何感受歸納推理過程的科學(xué)性和嚴(yán)密性。但這些思考最終需要轉(zhuǎn)化成教學(xué)行為，落實(shí)到課堂教學(xué)之中。

學(xué)生早就會“用”加法交換律，但是卻不知道這個(gè)規(guī)律為何“有”，如何“說”。要把他們明白的東西給“引”出來，到底是給予算式觀察最為便捷，還是直接從字面鏈接已有經(jīng)驗(yàn)空間更大？基于加法結(jié)合律，學(xué)生自己能聯(lián)想到什么？他們能否自發(fā)激活相關(guān)經(jīng)驗(yàn)？這就需要進(jìn)行學(xué)情預(yù)測。

一、學(xué)情預(yù)測

前測1：經(jīng)由計(jì)算感知規(guī)律，然后用“如果……那么……”描述發(fā)現(xiàn)。

（1）算了這些式子的和，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？你能不能用自己的話詳細(xì)地描述一下，可以試試用上“如果……就……”來寫哦。

（2）左右兩邊的式子能用哪個(gè)符號連接起來？試著選一個(gè)寫寫。這樣的長長的等式你能自己寫兩個(gè)嗎？

（3）這樣的長長的等式寫得完嗎？如果寫不完，你能想出一個(gè)式子來代表它們嗎？

（4）加法中有這樣的規(guī)律，能讓你聯(lián)想到什么？你能舉例說明嗎？

（5）這樣的式子，這樣的規(guī)律，請你細(xì)細(xì)想想，你以前有遇見過嗎？學(xué)什么知識或者做什么題目的時(shí)候遇見過？

前測2：直接從“加法交換律”的名稱展開思考，表述猜想。

1.親愛的同學(xué)，你聽說過“加法交換律”嗎？你猜猜“它”是怎樣的？可以舉例說明，可以用文字描述。

2.在我們學(xué)過的加減乘除四則運(yùn)算中，除了有加法交換律，還有乘法交換律，但是沒有減法交換律和除法交換律。請你猜一猜，想一想，乘法交換律是怎樣的？可以怎樣表示？為什么減法和除法中沒有交換律。請?jiān)囍e例說明或用文字描述。

兩次前測可知：學(xué)生觀察等式直接發(fā)現(xiàn)再枚舉驗(yàn)證的學(xué)習(xí)路徑更有效；站在加法交換律上展開聯(lián)想，最好能給學(xué)生一定的問題指向；要促成經(jīng)驗(yàn)的對接，需要為學(xué)生提供清晰的素材。

二、教學(xué)片段

對交換律通性通法的研究，對學(xué)情的預(yù)測，究竟要怎么轉(zhuǎn)化為教學(xué)行為？下面通過教學(xué)片段予以呈現(xiàn)。

【片段一】“反例”跟進(jìn)

課始，直接從4個(gè)式子求和切入。讓學(xué)生照樣子寫式子——“以例規(guī)例”寫大量的“這樣的式子”，任意寫，不計(jì)時(shí)間。學(xué)生借由“枚舉法”初識交換律。當(dāng)學(xué)生自發(fā)認(rèn)識到這樣的加法等式寫也寫不完，發(fā)現(xiàn)“交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變”之后，就要利用“反例”促成較為科學(xué)的認(rèn)知。

師：難道任意兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和都不變？一個(gè)例外的也沒有？我們是不是應(yīng)該檢驗(yàn)一下？想什么辦法來檢驗(yàn)？

生：找找看有沒有和變了的式子。

師：找反例，好辦法。如果找到一個(gè)例外，這個(gè)規(guī)律就不成立了。

生：76+358與358+76，好像不相等。

師：我們算一算。（教師板書兩個(gè)豎式，師生一起求出和都是434）。例子舉得很好，交換了兩個(gè)加數(shù)的位置也是和不變。

生：老師，3.8+2.1，小數(shù)行不行？

師：小數(shù)加法還沒學(xué)過，你們會算嗎？（教師板書兩個(gè)豎式）

生：我會算。3.8+2.1=5.9（教師完成一個(gè)豎式），2.1+3.8=5.9（教師完成另一個(gè)豎式）。和也是相等的。

生：老師，這就是加法的驗(yàn)算，算出來結(jié)果肯定是相等的。

師：哦，原來我們以前加法驗(yàn)算也是利用了交換加數(shù)的位置和不變的規(guī)律??！怪不得我們找不到反例。那么，像這樣的規(guī)律，你們知道它叫什么嗎？

生：交換律。

生：加法交換律。

師：非常厲害，它叫加法交換律。這個(gè)加法交換律啊，在數(shù)學(xué)上還可以用一個(gè)式子把它表示出來，你知道嗎？

生：a+b=b+a。

師：在a+b中，a和b分別表示什么？

生：表示兩個(gè)加數(shù)。

師：它和b+a是相等的，可以嗎？

生：可以。

學(xué)生找不到反例，彌補(bǔ)了不完全歸納法科學(xué)性上的不足，而教師將學(xué)生找的“反例”擺成豎式筆算，呈現(xiàn)了他們熟悉的加法驗(yàn)算過程，進(jìn)一步認(rèn)識到加法交換律存在的合理性。

[片段二]“數(shù)”“放”求源

師：咱們找到了很多符合規(guī)律的式子，卻找不出一個(gè)不符合的式子，所以就確認(rèn)了加法交換律和乘法交換律的存在，又在減法和除法中找到了很多不符合的式子，所以否認(rèn)了減法交換律和除法交換律的存在。但是，你們能否告訴我，為什么加法、乘法會有交換律存在呢？任意兩個(gè)數(shù)a和b相加，“和”為什么是不變的呢？

生：因?yàn)閮蓚€(gè)加數(shù)沒有變啊。

生：因?yàn)閿?shù)的大小不變。

生：我反駁。減法里面，被減數(shù)和減數(shù)的大小也不變的啊，怎么就不能交換位置了呢？

生：它們是先加6再加7，另一個(gè)是先加7再加6，它們的結(jié)果是相同的，只是位置變了。

師：有些意思了，“先加再加”里面有學(xué)問。我們從很多例子中發(fā)現(xiàn)了任意兩個(gè)數(shù)相加交換位置和不變，但是為什么會和不變的道理，咱們也得明白。老師給大家拍了一個(gè)小視頻，看看有沒有什么啟發(fā)。（播放視頻：一個(gè)孩子數(shù)小木圈，先數(shù)6個(gè)再數(shù)7個(gè)，共13個(gè)。交換順序先數(shù)7個(gè)再數(shù)6個(gè)，也是13個(gè)）你在錄像中看到了什么？你有什么啟發(fā)？

生：因?yàn)樗鼈兊目倐€(gè)數(shù)不變。

生：他是先數(shù)了6個(gè)，接著數(shù)了7個(gè)，然后先數(shù)了7個(gè)，再數(shù)6個(gè)，總共就是13個(gè)。

生：總共13個(gè)，隨便你先數(shù)哪部分，接著往下數(shù)，最后數(shù)出來一共就是13個(gè)。

師：“接著往下數(shù)”，大家剛認(rèn)識兩個(gè)數(shù)相加的時(shí)候，就是這么做的呢。（課件呈現(xiàn)人教版一年級“加法”圖）先數(shù)出a個(gè)，接著往下數(shù)b個(gè)，和先數(shù)出——

生：b個(gè)，再數(shù)出a個(gè)，總共的個(gè)數(shù)不變。

生：就是兩部分要合起來。

師：如果兩邊之和要相等，就得怎么擺放？（課件出示天平圖）

生：左邊已經(jīng)有a了，要放一個(gè)b，右邊已經(jīng)有b了，要加一個(gè)a。只有a和b合起來才會等于b和a合起來。

師：看來加法交換律的道理明白了，那么乘法交換律的道理，你們能自己寫一寫、畫一畫、想一想嗎？獨(dú)立思考之后可以同桌交流。

生：我覺得乘法和加法是一樣的。比如有6個(gè)圈，2×3就是這樣數(shù)（黑板上橫著圈畫），3×2就是這樣數(shù)（豎著圈畫），總共還是6個(gè)。

師：橫著數(shù)，豎著數(shù)，總數(shù)的確一樣。我還聽到他說乘法和加法是“一樣的”，乘法和加法有聯(lián)系嗎？

生：乘法就是連加，2×3是2+2+2，3×2也表示2+2+2，所以2×3=3×2。

生：2×3是2+2+2，3×2我覺得應(yīng)該表示為3+3。剛才加法里說了，先數(shù)一部分，接著再數(shù)一部分，和不會變，所以2×3=3×2。

生：反正都會合起來總共有6個(gè)。

學(xué)生有能力從大量式子中歸納出交換律，卻沒有辦法說清楚道理。數(shù)木圈的小視頻，學(xué)生觀察到左邊數(shù)完“接著數(shù)”右邊得到的結(jié)果，和右邊數(shù)完“接著數(shù)”左邊得到的結(jié)果是一樣的，學(xué)生也能通過天平圖表述“只有a和b合起來才會等于b和a合起來”。明白易懂的兩個(gè)直觀，結(jié)合加法意義的回顧，從本源上讓學(xué)生感受到加法交換律的成立。而乘法交換律成立的理由，就放手讓學(xué)生來表述。學(xué)生經(jīng)由之前積累的經(jīng)驗(yàn)會選擇畫圓點(diǎn)圖來解釋乘法交換律，并在教師追問下打通了加法交換律和乘法交換律之間的關(guān)聯(lián)。

【片段三】回顧“遇見”

師：看看在我們以前學(xué)過的數(shù)學(xué)知識里面，你能看到它的影子嗎？你從哪兒能看見？

生：擺一擺里面可以左邊+右邊，也可以右邊+左邊，得數(shù)不會變。一句口訣，能說兩個(gè)乘法式子，答案都是15。加法乘法驗(yàn)算里面也有交換律。

師：那么，在我們生活中遇到的事里（課件呈現(xiàn)下圖），你能看到交換律嗎？信息量比較大，咱們有序地一個(gè)一個(gè)看，先看第一個(gè)材料。

生：明明家到超市，然后再到學(xué)校，一共是770米，然后學(xué)校到超市，然后再到明明家，它的距離也是770米。

生：平時(shí)上學(xué)也是這樣，上學(xué)的距離和放學(xué)的距離是一樣的，這里有加法交換律。

生：第二個(gè)材料是很多把椅子，4×6等于24把，然后6×4也是24把。

師：你怎么看到4×6和6×4的呢？

生：橫著一行一行看，就是6×4，然后豎著一列列看，就是4×6。數(shù)出來都是24把。

師：數(shù)數(shù)椅子也能發(fā)現(xiàn)乘法交換律。

生：第三個(gè)材料，401班的男生18人和401班的女生20人，人數(shù)交換一下，它都是38名。18+20=20+18。

師：3號材料，信息量比較大，她能從那么多的信息里面選擇想要的信息來表達(dá)交換律，掌聲送給她。數(shù)完男生人數(shù)接著數(shù)女生人數(shù)，或者數(shù)完女生人數(shù)接著數(shù)男生人數(shù)，401班的總?cè)藬?shù)不變。

生：我還可以先數(shù)402班的男生人數(shù)，再數(shù)402班的女生人數(shù)，然后相反，總?cè)藬?shù)不變。19+16=16+19。

生：還有401班的男生和402班的男生加起來的人數(shù)也不變，18+19=19+18。

生：還有401班的女生和402班的女生加起來的人數(shù)也不變，20+16=16+20。

師：還能有再大膽一點(diǎn)算法嗎？

生：就是401班的男女生和402班的男女生總?cè)藬?shù)不變。18+20+19+16=20+18+16+19。

師：我們按這個(gè)順序依次數(shù)人數(shù)，兩班的總?cè)藬?shù)肯定是不變的，但我們剛才不是一直在說，是兩個(gè)數(shù)相加的嗎？（課件出示：加法交換律和乘法交換律的概念）怎么這會兒四個(gè)數(shù)也成了？

生：因?yàn)檫@四個(gè)數(shù)，其中的男生和女生是401班的，另外一部分男生和女生是402班的，所以說還是兩個(gè)數(shù)。

師：請你一個(gè)班一個(gè)班地看，四個(gè)數(shù)在她眼里就成了兩個(gè)數(shù)，很有道理。四個(gè)數(shù)有點(diǎn)兒復(fù)雜，老師舉一個(gè)簡單的例子，咱們來研究一下?？矗偃缡沁@樣的三個(gè)數(shù)，左邊等于幾？（9）右邊等于（9），2+3+4=3+4+2。加法交換律說，兩個(gè)數(shù)相加，這里有三個(gè)數(shù)相加，它可以怎么交換呢？怎么交換一下就會從左邊變成右邊？

生：先2和3交換，變成3+2+4，再2和4交換，就得到了3+4+2。

師：也就是說，這三個(gè)數(shù)相加的時(shí)候，咱們用了幾次交換律啊？

生：2次。

師：那么像18+20+19+16=20+18+16+19這樣四個(gè)數(shù)相加，可能用的次數(shù)就（更多了）。我們數(shù)學(xué)喜歡用最簡單的方式來描述，只說“兩個(gè)數(shù)相加”就能表達(dá)清楚了。以后數(shù)可能會越來越多，我們在運(yùn)算的時(shí)候，可能不僅僅會用到交換律，還會用到更多的運(yùn)算律。

三、教學(xué)思考

驗(yàn)算、口訣這些數(shù)學(xué)化的“交換”體驗(yàn)，讓學(xué)生進(jìn)一步了解了交換律，而通過具體情境的觀察，提煉蘊(yùn)藏其中的交換律，則能進(jìn)一步深化學(xué)生對交換律的認(rèn)知。上學(xué)路線（線段圖）、座椅擺放（實(shí)物圖）、人數(shù)（條形圖）豐富了交換律的具體表征，其中的條形統(tǒng)計(jì)圖里放入了4個(gè)信息，學(xué)生可以尋找到多個(gè)運(yùn)用交換律的等式，并進(jìn)一步理解了交換律為何都表述為“兩個(gè)數(shù)相加（乘）”而不是“幾個(gè)數(shù)相加（乘）”。

在上述教學(xué)片段中，學(xué)生通過大量舉例歸納得到了交換律，又理解了交換律為什么存在，并在與以往的經(jīng)驗(yàn)溝通中進(jìn)一步理解了交換律。除此之外，在交換律的教學(xué)中，教師還要關(guān)注以下幾個(gè)細(xì)節(jié)。

（一）強(qiáng)化“推想”

當(dāng)學(xué)生從大量式子中發(fā)現(xiàn)“兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變”的時(shí)候，要引導(dǎo)學(xué)生試著追問自己“只有相加的時(shí)候，有這樣的規(guī)律嗎”，猜想試試。落實(shí)到練習(xí)中，比如判斷下面的等式是否運(yùn)用了交換律，（1）82+0 = 0+82 ；（2）75×8=8×75；（3）16×4=8×8 ；（4）48+73=37+84。要讓學(xué)生根據(jù)對交換律本身的理解來回答自己判斷的理由，這樣的過程，才是檢驗(yàn)交換律是否掌握的過程。

（二）對比學(xué)法

加法交換律的學(xué)習(xí)路徑和乘法交換律是不同的。加法交換律是從例子中歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，是一種合情推理，而乘法交換律是在加法交換律基礎(chǔ)上展開聯(lián)想，先猜測結(jié)論，再去驗(yàn)證，這是類比推理的過程。因此，有必要在認(rèn)識加法交換律和乘法交換律后，讓學(xué)生回頭看一看，“對照板書，回顧一下，剛才我們探尋加法交換律和探尋乘法交換律的過程有什么不一樣嗎？”通過對比，感悟到不同的學(xué)習(xí)方法，認(rèn)識到“有的時(shí)候，我們是從很多例子里面發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論，有的時(shí)候，我們大膽地去猜想，然后舉例子將它驗(yàn)證”。

（三）理清路徑

借助板書式的思維導(dǎo)圖，將學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)路徑直觀呈現(xiàn)，能讓學(xué)生進(jìn)一步感悟到定律探究的方法和策略，為今后的運(yùn)算律學(xué)習(xí)積累經(jīng)驗(yàn)。

只有立足于“通性通法”的運(yùn)算律教學(xué)，才能凸顯運(yùn)算律的核心價(jià)值，才能讓學(xué)生在運(yùn)算律的學(xué)習(xí)過程中經(jīng)歷探究的過程，明晰數(shù)學(xué)規(guī)律的客觀存在性，感悟探究過程的科學(xué)性。

參考文獻(xiàn)：

[1] 余元希.數(shù)的概念淺說[D].上海：上海教育出版社，1980.

[2]張奠宙，戎松魁.正本清源，通過“數(shù)數(shù)”活動理解運(yùn)算律——關(guān)于加法、乘法交換律的討論[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2015（6）.

[3]姜榮富.追問知識意義與核心價(jià)值——對運(yùn)算律的理解維度[J].小學(xué)教學(xué)，2012（5）.

[4]姜榮富.根據(jù)知識的特點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)——對運(yùn)算律教學(xué)的建議[J].小學(xué)教學(xué)，2012（06）.

[5]季國棟.簡單且深刻——“交換律”教學(xué)實(shí)錄[J].小學(xué)教學(xué)，2015（02）.

[6]南欲曉.從理解的角度思考運(yùn)算定律學(xué)習(xí)中的困難及其對策[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2017（1～2）.

（浙江省寧波市奉化區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 315500）