“數(shù)數(shù)”求源，叩問本質(zhì)

王嬋丹

運算律是運算固有的性質(zhì)，在數(shù)系的擴展中，自然數(shù)的“基本運算律”始終保持有效;它又是學(xué)生理解算理的重要依據(jù)，也是滲透“猜想→驗證→結(jié)論”這一數(shù)學(xué)研究方法的載體?？梢?，運算律在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要的地位和作用?？v觀歷來的運算律教學(xué)，可能會在運算律的“有用性”上花較多的時間，但對于“什么是交換律”“交換律為什么存在”“背后的道理是什么”，很少去揭示。

因此，課前可以先思考兩個問題：是納入“簡算”體驗，還是深化運算律本質(zhì)的理解？是只學(xué)加法、乘法交換律，還是需要去求證減法、除法交換律？如果側(cè)重于“簡便計算”教學(xué)，就會忽視對運算律教學(xué)的核心，即忽視對運算律本身的理解;如果只教學(xué)加法交換律，就無法順應(yīng)學(xué)生的思考過程。筆者對60位學(xué)生在只教學(xué)加法交換律后進行過測試，有93.3%的學(xué)生能聯(lián)想到在其他運算中會不會也有交換律。因此，教學(xué)時需要站在加法交換律的基礎(chǔ)上讓學(xué)生經(jīng)歷類推的過程，在舉例、證明、辯論等活動中真正理解乘法交換律，并否定除法交換律和減法交換律的存在。

一、交換律背后的道理是什么？

既然明確了交換律作為運算教學(xué)的第一課時，需要讓學(xué)生清晰概念的核心。那么，交換律的本質(zhì)到底是什么？

1. 數(shù)學(xué)上的證明

數(shù)學(xué)上，對于交換律通常是從“集合的概念”來解釋的。設(shè)A和B是兩個不具有公共元素的有限集合，他們的基數(shù)分別是a和b，把A和B的元素并在一起組成一個集合C，C叫作集合A和B的并集，記作A∪B=C，C的基數(shù)是c，叫作a、b的和，記作a+b=c [1]。顯而易見，此證明方法抽象難懂，它超出了學(xué)生的認知水平，不合適向?qū)W生講授。

2. 學(xué)生能理解的證明

自然數(shù)加法的意義的本源就是“集合的概念”，張奠宙教授曾在訪談中指出：“集合的概念”說白了，就是“數(shù)數(shù)”，可以用“數(shù)數(shù)”這樣一種行為性的操作活動來形成自然數(shù)的概念。簡單地說，有A、B兩堆石子，先數(shù)A堆再數(shù)B堆，還是先數(shù)B堆再數(shù)A堆，結(jié)果都是一樣的 [2]?？梢?，簡單的“數(shù)數(shù)”活動，形象直觀地闡述了“兩個集合合并”的概念，是揭示交換律背后道理的有效數(shù)學(xué)活動。

其實，對于“數(shù)數(shù)”與“合并求和”的經(jīng)驗，學(xué)生是非常豐富的。人教版一年級上冊教材就是用“接著數(shù)”理解加法含義的。二年級100以內(nèi)、三年級萬以內(nèi)的加法教學(xué)都滲透著“兩個自然數(shù)的加法與把兩個有限集合并成一個集合這兩種運算之間的聯(lián)系”。可見，從學(xué)生已有的“加法、乘法意義”出發(fā)，借用“數(shù)數(shù)”，是一條小學(xué)生能理解的、合理的證明途徑。

二、交換律學(xué)習(xí)素材該怎樣選擇？

既然學(xué)生已有豐富的“數(shù)數(shù)”經(jīng)驗，那么選擇哪類素材展開“數(shù)數(shù)”活動，更利于學(xué)生感悟其背后的道理呢？

1. “點子”數(shù)數(shù)→“數(shù)線”數(shù)數(shù)，更顯直觀

在人教版二年級上冊乘法口訣練習(xí)課中出現(xiàn)了兩種不同的“數(shù)數(shù)”表征方式。通過“橫著數(shù)、豎著數(shù)”與在“數(shù)線”上數(shù)數(shù)來熟練口訣。無論是“點子”數(shù)數(shù)還是“數(shù)線”數(shù)數(shù)，其實都是想通過“直觀”方式，詮釋“合并”的意義。但相比較“點子”數(shù)數(shù)，“數(shù)線”上的數(shù)數(shù)具有方向性，更能讓學(xué)生體會到“合并的結(jié)果與兩數(shù)的位置無關(guān)”這一本質(zhì)。

2. “線段”模型→“數(shù)線”數(shù)數(shù)，更顯本質(zhì)

數(shù)學(xué)上，在定義有理數(shù)的加法時，用“拼接而成的線段的長度”進行解釋。也就是說，如果給定有限條線段，把它們拼接而成的線段的長度與它們拼接的順序無關(guān)。用學(xué)生熟知的“數(shù)線”模型對接“線段”模型，更能凸顯交換律的本質(zhì)。

三、交換律課堂教學(xué)該如何實踐？

那么，如何借“數(shù)數(shù)”活動，架起“自然數(shù)的加法”與“集合的概念”聯(lián)系，從而觸及交換律背后的道理？筆者結(jié)合課堂實踐從三條策略上進行闡述。

1. 多層“數(shù)數(shù)”，直觀感知

【片段描述】

第一層：形成“數(shù)數(shù)”過程。

師：小袋鼠跳格子比賽，結(jié)果會怎樣？你是怎樣想的？

生1：聰聰先跳了2格，又跳了5格，是2+5=7格;明明先跳了5格，又跳了2格，是5+2=7格。它們都跳到了7的位置，所以它們的結(jié)果是一樣的。

生2：2和5位置反了一下，答案是一樣的。

第二層：豐富“數(shù)數(shù)”素材。

師：如果想知道一共有多少元錢，一共有多少根小棒，你能不能通過數(shù)一數(shù)與算一算，發(fā)現(xiàn)與剛才差不多的現(xiàn)象？

第三層：“列舉”形成猜想。

師：通過“算”與“數(shù)”我們發(fā)現(xiàn)了“交換兩個加數(shù)的位置，和不變”這一規(guī)律。那我們能不能說，交換所有加數(shù)的位置，和一定不變？為什么？

生1：萬一數(shù)字很大呢，可能就不能確定了。

生2：我們不知道下一個加數(shù)會是什么樣子的，所以不能下這個結(jié)論。

從三層“數(shù)數(shù)”中，學(xué)生的思維經(jīng)歷了“初步感悟、模仿應(yīng)用、列舉猜想”的過程。尤其到了第三層“數(shù)數(shù)”，學(xué)生的表征形式豐富多樣，有圖、有式，還涉及小數(shù)、分數(shù)加法領(lǐng)域的驗證?？梢姡瑢W(xué)生在經(jīng)歷多次“數(shù)數(shù)”的過程中，已經(jīng)初步體會到了運算律的廣泛適用性，這也是學(xué)生對運算本質(zhì)理解的一個直觀表現(xiàn)。

2. 對比“數(shù)數(shù)”，凸顯本質(zhì)

【片段描述】

師：通過舉例驗證我們知道了加法與乘法中有交換律。那為什么會有這樣的現(xiàn)象呢？讓我們再回到數(shù)軸上去“數(shù)一數(shù)”。

生1：加法與乘法的箭頭都是朝一個方向的，最后都到了同一個地方。

生2：其實乘法是加法的一種。所以，乘法里也有交換律。

生3：在加法中，無論是2在前，還是4在前，反正都是把兩個數(shù)合起來，跟2和4的位置沒有關(guān)系。所以，位置交換了一下，結(jié)果是不會變的。

生4：我同意他的想法，加法與乘法都是把幾個數(shù)合并起來，跟位置沒有關(guān)系，所以加法與乘法中有交換律。

當學(xué)生發(fā)現(xiàn)只有在加法與乘法中有交換律后，需要再一次回到“數(shù)線”上去表征“運算中的交換關(guān)系”，再經(jīng)歷數(shù)數(shù)、觀察、對比、發(fā)現(xiàn)、歸納等學(xué)習(xí)活動，去領(lǐng)悟“自然數(shù)加法概念”的含義，并嘗試著去說明白其中的道理。經(jīng)歷這樣的“對比”數(shù)數(shù)，學(xué)生已經(jīng)架構(gòu)起了“兩個自然數(shù)的加法與把兩個有限集合并成一個集合”這兩種運算之間的聯(lián)系。

3. 回顧“遇見”，深化理解

【片段描述】

第一層：回顧解釋。

生：加法與乘法的驗算，用到了交換律的知識。一年級學(xué)過根據(jù)“點子圖”寫加法算式，也有加法交換律。

第二層：拓展說理。

師：老師找到了幾個新問題，你能在這兒發(fā)現(xiàn)交換律嗎？

生1：可以先收38元，再收53元;也可以先收53元，再收28元。反正把這兩部分的錢合起來，先收哪個部分都沒有關(guān)系。

師：如果還想再買個排球呢？可以怎樣收費呢？不是說交換兩個加數(shù)的位置，和不變，現(xiàn)在交換三個加數(shù)的位置，和也不變嗎？你是怎樣想的？

生3：我認為，這和收“足球與籃球的錢”是一樣的。只要是把這三個價錢合并起來，前后的位置、先后的順序，都不會影響結(jié)果。

在課的最后環(huán)節(jié)安排回憶舊知，談?wù)勛畛醯挠鲆姡@激活了這些數(shù)學(xué)化的“交換”體驗，能讓學(xué)生進一步了解交換律。當學(xué)生有了這層“親切”的感知后，再呈現(xiàn)上學(xué)路線、黑白點子、超市購物的情境，讓他們再“想想”交換律、再“用用”交換律、再“說說”交換律，在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、觀察、提煉蘊藏的交換律后，進一步深化學(xué)生對交換律的認知，進一步理解了交換律存在的價值。

參考文獻：

[1]? 余元希. 數(shù)的概念淺說[M]. 上海：上海教育出版社，1980.

[2]? 張奠宙，戎松魁.正本清源，通過“數(shù)數(shù)”活動理解運算律——關(guān)于加法和乘法交換律的討論[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2015（6）.