通性通法：運(yùn)算律教學(xué)的核心價(jià)值（一）

劉善娜

【摘 要】運(yùn)算律教學(xué)的核心是對(duì)運(yùn)算律本身的理解，對(duì)其“通性通法”的理解。“什么是交換律”“交換律為什么存在”“如何借助不完全歸納法得出交換律卻又體驗(yàn)到科學(xué)性和嚴(yán)密性”，這些都是要明晰的核心問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】交換律 通性通法 價(jià)值

運(yùn)算律是運(yùn)算固有的性質(zhì)。從自然數(shù)集—整數(shù)集—有理數(shù)集—實(shí)數(shù)集—復(fù)數(shù)集，在數(shù)系的擴(kuò)展中自然數(shù)的“基本運(yùn)算律”依然保持有效。因此，基本運(yùn)算律被稱(chēng)為“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的“通性通法”。學(xué)生是先學(xué)會(huì)了運(yùn)算再概括運(yùn)算律的，這就不得不思考：已經(jīng)熟悉了這些運(yùn)算，為什么還要概括出運(yùn)算律？

如“交換律”，含加法交換律和乘法交換律，學(xué)生在理解加法、乘法的意義時(shí)就深入感知交換律，在加法、乘法的運(yùn)算及相關(guān)問(wèn)題的解決過(guò)程中也一次次接觸交換律，那么到了四年級(jí)，交換律學(xué)習(xí)的價(jià)值是什么？?jī)H僅為了簡(jiǎn)便運(yùn)算？?jī)H僅為了發(fā)現(xiàn)有這樣一個(gè)規(guī)律存在？顯然不是。運(yùn)算律實(shí)質(zhì)上是一個(gè)數(shù)學(xué)定理，具有“若P則Q”假言命題的形式，呈現(xiàn)的是運(yùn)算的邏輯基礎(chǔ)，蘊(yùn)含著合情推理的過(guò)程。因此，運(yùn)算律教學(xué)的核心是對(duì)運(yùn)算律本身的理解，對(duì)其“通性通法”的理解。

一、通性通法視域下的課前三問(wèn)

統(tǒng)觀交換律的教學(xué)設(shè)計(jì)，先思慮三個(gè)問(wèn)題。

（一）是納入結(jié)合律以便更好地體驗(yàn)“簡(jiǎn)算”為上，還是只縱向感悟交換律？

有不少交換律研究課，在練習(xí)環(huán)節(jié)放入了類(lèi)似“25×73×4與25×4×73”的計(jì)算簡(jiǎn)便與否的對(duì)比，讓學(xué)生感受運(yùn)用交換律帶來(lái)的簡(jiǎn)捷，達(dá)成交換律“有用”的感知目的。

但是，運(yùn)算律是運(yùn)算固有的性質(zhì)，并非需要“有用”來(lái)體現(xiàn)它的存在。數(shù)學(xué)有一個(gè)很重要的特點(diǎn)就是其規(guī)律的廣泛適用性。運(yùn)算律的價(jià)值，主要是理論上的，即理論上分析數(shù)及其運(yùn)算的性質(zhì)，其核心是對(duì)運(yùn)算律本身的理解。至于將運(yùn)算律用于簡(jiǎn)便運(yùn)算，那不是運(yùn)算律最主要的意義。事實(shí)上，簡(jiǎn)便運(yùn)算本身的價(jià)值也不只是使運(yùn)算簡(jiǎn)便，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是它重要的價(jià)值，如培養(yǎng)思維的靈活性。因此，交換律作為運(yùn)算律的第一課時(shí)，應(yīng)該讓學(xué)生扎實(shí)地感受到交換律是一種怎樣的“存在”，理解這個(gè)“存在”的“通性通法”，至于它的應(yīng)用價(jià)值完全可以置后到后續(xù)的簡(jiǎn)算練習(xí)中去達(dá)成。

（二）是否要從“交換兩個(gè)加數(shù)的位置”變成“交換幾個(gè)加數(shù)的位置”？

不少課上，教師在練習(xí)之前引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)“聯(lián)想”，將“兩個(gè)數(shù)相加、相乘”拓展到“幾個(gè)數(shù)相加、相乘”。氣氛活躍的課堂里，學(xué)生還能大膽質(zhì)疑交換律的“兩個(gè)數(shù)”，利用等式1+2+3=1+3+2，1×2×4=2×4×1完成對(duì)交換律的“修正”——從“兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變”變成“幾個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變”。學(xué)生的確會(huì)生成這樣的疑問(wèn)，“1+2+3=3+1+2運(yùn)用了加法交換律，可加法交換律說(shuō)的是‘兩個(gè)數(shù)相加，這該怎么解釋?zhuān)俊?/p>

不解決這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生對(duì)交換律內(nèi)涵的理解就是淺層次的。學(xué)生需要對(duì)三個(gè)數(shù)進(jìn)行重新建構(gòu)，體會(huì)三個(gè)數(shù)相加其實(shí)就是兩次和的過(guò)程，這一過(guò)程重新建構(gòu)的核心是對(duì)“加數(shù)是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算”內(nèi)涵的理解。

（三）如果只學(xué)加法、乘法交換律，是否需要去求證除法、減法交換律？

學(xué)生在學(xué)習(xí)完加法交換律后，他們往往能自發(fā)地聯(lián)想到“會(huì)不會(huì)有乘法交換律、除法交換律、減法交換律”，這是因?yàn)樗麄冊(cè)谥暗倪\(yùn)算中積累下了大量的經(jīng)驗(yàn)。筆者選擇了60位學(xué)生，只教學(xué)加法交換律的知識(shí)然后進(jìn)行后測(cè)：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了加法交換律a+b=b+a。1.你認(rèn)為乘法有交換律嗎？2.如果有，你覺(jué)得乘法交換律可以怎么表示？

[60個(gè)人參加問(wèn)卷，根據(jù)加法交換律，判斷是不是有乘法交換律 “判斷有”56人，占93.3% “判斷沒(méi)有”4人，占6.7% 用具體例子表示15人 用字母表示30人 其他類(lèi)的，如用語(yǔ)言表述11人 2人是空白的，什么都沒(méi)填寫(xiě) 1×2=2×1

6×4=4×6

80×60=60

×80

…… a×b=b

×a 左右換乘后，等于后也是左右換一下 2人，一個(gè)認(rèn)為沒(méi)有，一個(gè)認(rèn)為沒(méi)有卻寫(xiě)著：a×b=b×a ]

可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生基本能從加法交換律遷移到乘法交換律，但并不理解字母式表示的意義，說(shuō)明學(xué)生缺少一個(gè)歸納和概括的感悟過(guò)程。因此，學(xué)生需要站在加法交換律的基礎(chǔ)上經(jīng)歷類(lèi)推的過(guò)程，在舉例、證明、辯論等活動(dòng)中真正理解乘法交換律，并否定除法交換律和減法交換律的存在。

二、交換律“通性通法”的兩個(gè)“為什么”

（一）交換律為什么存在？

從科學(xué)的角度而言，學(xué)習(xí)交換律首先要思考交換律為什么存在。各版本教材提到交換律，有的從問(wèn)題引入，如人教版和蘇教版的乘法交換律，先呈現(xiàn)問(wèn)題引出一個(gè)乘法等式，然后舉例歸納；有的直接從數(shù)學(xué)內(nèi)部引入，如北師大版，讓學(xué)生觀察式子后照樣子寫(xiě)，然后根據(jù)大量例子歸納出交換律的成立。

至于為什么可以交換，教材沒(méi)有從本源上說(shuō)清道理。數(shù)學(xué)上到底是怎么證明交換律的呢？

1.數(shù)學(xué)上的證明

（1）借用“自然數(shù)的加法”定義即集合的概念

在小學(xué)數(shù)學(xué)里，通常是通過(guò)一些具體問(wèn)題的計(jì)算，例如“3只蘋(píng)果和2只蘋(píng)果合在一起，一共有幾只蘋(píng)果”來(lái)說(shuō)明自然數(shù)加法的意義。這實(shí)質(zhì)上已經(jīng)滲透著兩個(gè)自然數(shù)的加法與把兩個(gè)有限集合并成一個(gè)集合這兩者之間的聯(lián)系。設(shè)A和B是兩個(gè)不具有公共元素的有限集合，它們的基數(shù)分別是a和b，把A和B的元素并在一起組成一個(gè)集合C，C叫作集合A和B 的并集，記作A∪B=C，C的基數(shù)是c，叫作a、b的和，記作a+b=c。求兩個(gè)加數(shù)的和，就是加法。從這個(gè)定義，還可以推出加法的一個(gè)基本性質(zhì)：把集A和集B合并時(shí)，無(wú)論是把集B的元素添加到集A中去，還是把集A的元素添加到集B里去，結(jié)果總是一樣的，所以A∪B=B∪A。由此可知，a+b=b+a。

（2）借用演繹推理的方法，給出嚴(yán)格的方法證明

證明：當(dāng)a>1，b>1時(shí)，那么“a”可為以下形式：

[a個(gè)][a·b可表示為以下的形式：][b個(gè)][a個(gè)][a個(gè)][a·b=b·a]

所以，當(dāng)a>1，b>1時(shí)，交換律成立。根據(jù)乘法定義和補(bǔ)充定義，可以得到，當(dāng)a=1時(shí)，1·b=b，b·1=b；當(dāng)b=1時(shí)，1·a=a，a·1=a；當(dāng)a=b=1時(shí)，a· b=1，b·a=1；當(dāng)a與b有一個(gè)是0，或者都是0時(shí)，a·b=0，b·a=0，因此，交換律對(duì)于a、b是任何整數(shù)都成立。

2.小學(xué)生能理解的證明

學(xué)生無(wú)法去理解交換律的證明過(guò)程，它超出了學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平，需要從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，尋求學(xué)生能理解的、合理的說(shuō)明途徑。

（1）數(shù)數(shù)求源

上述兩種數(shù)學(xué)的證明方式對(duì)小學(xué)生而言，都非常抽象。將其內(nèi)涵直觀化、簡(jiǎn)單化，就可用當(dāng)代數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的一個(gè)經(jīng)典結(jié)果——用“數(shù)數(shù)”這樣一種行為性的操作活動(dòng)來(lái)形成自然數(shù)的加法概念。加法概念是來(lái)自于添加或合并的操作活動(dòng)，人教版一年級(jí)上冊(cè)教材就是用“接著數(shù)”理解加法含義，先數(shù)這一部分，再數(shù)那一部分。浙教版教材在揭示加法交換律之后，以“一共有幾個(gè)點(diǎn)子”讓學(xué)生通過(guò)“橫著數(shù)、豎著數(shù)”感悟乘法交換律，不僅非常契合學(xué)生的解讀能力，也正確地表達(dá)了交換律“為什么”存在的道理。

（2）直觀“平衡”

學(xué)生接觸過(guò)等量代換的問(wèn)題，直觀理解“平衡”問(wèn)題。

[4][70][70][4][→][70][70][4][4]

當(dāng)學(xué)生面臨上圖所示的問(wèn)題時(shí)，他們很清楚要讓天平平衡，剩下的“4”和“70”必須如何擺放。而這一直觀的看得見(jiàn)的“平衡”，折射的恰恰是數(shù)學(xué)上的集合“并集”含義。

（3）生活“經(jīng)驗(yàn)”

有理數(shù)的加法定義：在一直線上的兩條線段AB和BC，如果不考慮它們的方向，它們的和的長(zhǎng)度就等于這兩條線段長(zhǎng)度的和。

AB+BC=AC

這一數(shù)學(xué)定義如果與學(xué)生每日上學(xué)、放學(xué)所行的路程聯(lián)系，將A定為家，將C定為學(xué)校，途經(jīng)公園B，學(xué)生就能很好理解上學(xué)路上“家→公園→學(xué)?！彼新烦痰扔诜艑W(xué)路上“學(xué)?！珗@→家”所行的路程，即AB+BC=BC+AB。

（二）如何通過(guò)不完全歸納得到規(guī)律卻又感覺(jué)到完全歸納的科學(xué)性？

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，認(rèn)識(shí)運(yùn)算定律其實(shí)是一個(gè)認(rèn)識(shí)、歸納規(guī)律和運(yùn)用規(guī)律的過(guò)程。交換律，推理的過(guò)程是不完全歸納推理中的枚舉歸納推理。但枚舉本身不是證明，而是一種解釋?zhuān)卦诮忉尯屠斫?。這就出現(xiàn)了一個(gè)兩難問(wèn)題。一方面，小學(xué)大多數(shù)數(shù)學(xué)命題都是用特例檢驗(yàn)的，就是說(shuō)，我們要力圖通過(guò)特例檢驗(yàn)讓學(xué)生相信該命題是正確的；另一方面，又要讓學(xué)生明白不論用多少特例檢驗(yàn)都不能證實(shí)該命題。那么，為了讓學(xué)生感知其科學(xué)性，必須讓學(xué)生從加法含義、累加的角度去感知“為什么”，感悟因果關(guān)系，并從找不到反例的角度加以補(bǔ)充，引導(dǎo)學(xué)生從枚舉歸納推理走向科學(xué)歸納推理。畢竟，通過(guò)科學(xué)歸納推理思考推理過(guò)程中得到的每一個(gè)判斷的理由和依據(jù)，是實(shí)現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)第二學(xué)段推理能力目標(biāo)的重要方法。在教學(xué)過(guò)程中，需要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這樣的思考質(zhì)疑過(guò)程：難道任何兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和都不變？一個(gè)例外的也沒(méi)有？我們是不是應(yīng)該檢驗(yàn)一下？用什么辦法來(lái)檢驗(yàn)？如何使檢驗(yàn)的結(jié)果更加可信？從正向到逆向，逐步落實(shí)運(yùn)算律的教育價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的、理性的精神。

1.正向豐富：從“自己的例子”到“老朋友”

加法交換律的揭示都經(jīng)由式子的呈現(xiàn)，式子呈現(xiàn)之后，學(xué)生能仿照舉例，會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的例子寫(xiě)也寫(xiě)不完。這是用“自己的例子”豐富對(duì)加法交換律的感知。每一個(gè)例子被寫(xiě)出來(lái)，都是對(duì)加法交換律本身的一次演練。除了眼前的例子，還要引導(dǎo)學(xué)生回憶“老朋友”。學(xué)生對(duì)于加法交換律非常熟悉，把加法交換律與“數(shù)數(shù)”溝通，與“一圖兩式”“一圖四式”溝通，與天平“等量平衡”溝通，就能進(jìn)一步感受到加法的意義是兩個(gè)部分的合并，哪個(gè)部分在加號(hào)前哪個(gè)部分在加號(hào)后都表示合并的過(guò)程。而乘法，本身就從加法而來(lái)，理解了加法交換律存在的科學(xué)性也就理解了乘法交換律存在的科學(xué)性。

2.反例補(bǔ)充：從“驗(yàn)證”到“驗(yàn)算”

經(jīng)歷大量正例感知之后，學(xué)生需要質(zhì)疑，通過(guò)尋找反例來(lái)“完善”不完全歸納法在科學(xué)性上的缺失，感覺(jué)到這一過(guò)程的科學(xué)性和縝密性。由于學(xué)生之前經(jīng)歷過(guò)自己舉例等式來(lái)發(fā)現(xiàn)交換律的過(guò)程，此時(shí)試圖舉出反例，必定會(huì)考慮與之前的舉例不同的數(shù)據(jù)，一般會(huì)選擇較大的不容易馬上口算出和的整數(shù)，如786+78=78+786，或舉例小數(shù)，如45.2+6.98=6.98+45.2。此時(shí)，教師要介入驗(yàn)證的過(guò)程引導(dǎo)集體進(jìn)行“和相等”的驗(yàn)證，在黑板一側(cè)板書(shū)豎式進(jìn)行計(jì)算，使“驗(yàn)證”過(guò)程與學(xué)生豐厚的“驗(yàn)算”經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行勾聯(lián)，從而進(jìn)一步感受到“交換律”的含義。

（未完待續(xù)，敬請(qǐng)期待下期內(nèi)容）

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（浙江省寧波市奉化區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 315500）