利用一次函數(shù)，解決實(shí)際問題

陳 晨

(江蘇省吳江黎里中學(xué),江蘇 蘇州 215200)

利用一次函數(shù)，解決實(shí)際問題

陳 晨

(江蘇省吳江黎里中學(xué),江蘇 蘇州 215200)

本文從四個(gè)角度論述了一次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)存在于生活中的方方面面，無論是商場購物、追及問題以及登山時(shí)遇到的問題，都有一次函數(shù)的影子.這說明數(shù)學(xué)源自于生活，而用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，才能學(xué)以致用.

一次函數(shù)；實(shí)際問題；應(yīng)用

一次函數(shù)的應(yīng)用非常廣泛，與其相關(guān)的知識(shí)是每年中考中的熱點(diǎn)，本文列舉了一次函數(shù)在生活中應(yīng)用的點(diǎn)點(diǎn)滴滴.教學(xué)過程中讓數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活知識(shí)結(jié)合教學(xué)，可以提高教學(xué)的趣味性，增加學(xué)生課堂的參與度.

一、商場購物中的應(yīng)用

在購物過程中，各個(gè)商場往往會(huì)采取不同的銷售策略來吸引消費(fèi)者，如果此時(shí)能夠充分利用一次函數(shù)，就好像有了火眼金睛，可以看穿商家的銷售策略，從而找到最適合自己的購物方式.

例1 國慶期間，甲、乙兩個(gè)商場為了促銷，都發(fā)布了新的促銷方案.甲商場只要花200元購買VIP卡，所有的商品都按6折銷售；乙商場是全場一律8折.有一種椅子商品甲、乙兩家的標(biāo)價(jià)均為250元，小明的爸爸要買x把這種椅子.(1)小明想要知道買幾把椅子時(shí)，在兩家商場購買椅子的花費(fèi)是一樣的？(2)如果小明的爸爸要買5把椅子，在哪個(gè)商場買椅子比較劃算？

解析 這個(gè)問題是一次函數(shù)知識(shí)在買東西時(shí)的應(yīng)用，需要清楚甲、乙兩個(gè)商場中所花費(fèi)的總價(jià)與所買椅子數(shù)量的關(guān)系.在甲商場中，總價(jià)=VIP卡的價(jià)格+商品的打折價(jià)×商品的件數(shù)；在乙商場中，總價(jià)=商品的打折價(jià)×商品的件數(shù).當(dāng)兩個(gè)總價(jià)一樣時(shí)，就是(1)中所求的結(jié)果.(1)在甲商場中的總價(jià)= 200+0.6×250x；在乙商場中的總價(jià)= 0.8×250x.使兩個(gè)式子相等，即200+0.6×250x=0.8×250x，可以解得x=4，所以當(dāng)買4把椅子時(shí)，在兩家商場購買椅子的花費(fèi)是一樣的.(2)根據(jù)(1)中的式子，買5把椅子時(shí)，甲商場的總價(jià)=200+0.6×250×5=950，而乙商場的總價(jià)=0.8×250×5=1000.所以買5把椅子，在甲商場買椅子比較劃算.

點(diǎn)撥 本題通過甲、乙兩個(gè)商場中購買椅子的總價(jià)與數(shù)量的關(guān)系，得出了最合適的購物方式，真正做到了學(xué)以致用，此類問題可以提高學(xué)生對于學(xué)習(xí)一次函數(shù)的興趣，在教學(xué)過程中應(yīng)該多采用這些例子，提高教學(xué)的趣味性.

二、追及問題中的應(yīng)用

追及問題在一次函數(shù)中的應(yīng)用一般與一次函數(shù)的圖象結(jié)合起來考查，需要學(xué)生對一次函數(shù)的圖象有深入的了解.在圖象中，直線的斜率代表速度，而運(yùn)動(dòng)的直線與x軸圍成的面積表示運(yùn)動(dòng)的距離.下面的例題就是一次函數(shù)圖象與追擊問題結(jié)合的典型例題.

例2 甲、乙二人參加北京馬拉松比賽，二人在比賽中的跑步距離y(m)和行駛時(shí)間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.請根據(jù)右圖，解答下列問題：(1)請分別求出甲、乙二人的跑步距離y與時(shí)間t(t≥0)之間的函數(shù)關(guān)系；(2)出發(fā)之后，t為多少時(shí)，甲、乙兩人跑步的距離相等？

(2)由上題中的結(jié)果可得當(dāng)3.2t-240=2.4t時(shí)，甲、乙兩人跑步的距離相等，得到t=300，所以出發(fā)后300s甲、乙兩人跑步的距離相等.

點(diǎn)撥 本題通過函數(shù)圖象，運(yùn)用待定系數(shù)法求解函數(shù)問題.是一道基礎(chǔ)問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，本題的關(guān)鍵在于將圖象中的坐標(biāo)條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)的解析式，代入相關(guān)數(shù)值就可以得到所求的結(jié)果.

三、居民用水中的應(yīng)用

一次函數(shù)的知識(shí)在居民用水中也有應(yīng)用，由于鼓勵(lì)節(jié)約用水，有些城市的用水政策是超過一定量之后就要提高水的價(jià)格，居民如何確定每月水費(fèi)的多少呢？這其中就要用到了一次函數(shù)的知識(shí)，下面的例子就是一道典型例題.

例3 北京市為了加強(qiáng)對節(jié)水的管理和鼓勵(lì)市民節(jié)約用水，制訂了新的每月每戶用水收費(fèi)政策：用水量不超過8m3時(shí)，每立方米收費(fèi)1元;超出8m3時(shí)，超出的部分每立方米收費(fèi)2元.

(1)設(shè)小強(qiáng)家每個(gè)月的用水量為xm3，應(yīng)交水費(fèi)y元，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

(2)如果小強(qiáng)家上個(gè)月用了10m3的水，你知道他們家交了多少錢水費(fèi)嗎？

解析 本題是一次函數(shù)在居民用水問題中的應(yīng)用，需要理清條件中用水量與水費(fèi)的關(guān)系，由于用水量超過8m3和不超過8m3時(shí)收取水費(fèi)的政策不同，所以需要進(jìn)行分類討論.對于問題(1),當(dāng)用水量不超過8m3時(shí)，y=x；當(dāng)用水量超過8m3時(shí)，y=8×1+2(x-8)=2x-8.對于問題(2),由題意可知小強(qiáng)家上個(gè)月用水量超過了8m3，所以滿足第二個(gè)函數(shù)，將x=10代入y=2x-8，解得y=12.所以小強(qiáng)家上個(gè)月交了12元的水費(fèi).

點(diǎn)撥 本題中運(yùn)用一次函數(shù)解決了居民用水這一實(shí)際問題，由于不同的用水量，計(jì)價(jià)方式不一樣，分類討論必不可少. 一次函數(shù)問題中運(yùn)用分類討論是非常常見的一種問題形式，老師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)對此類問題重點(diǎn)教學(xué).

四、登山中的應(yīng)用

一次函數(shù)在登山運(yùn)動(dòng)中也有所涉及，隨著海拔的升高，溫度也隨著降低.海拔高度與溫度之間滿足者一次函數(shù)的關(guān)系.由于登山運(yùn)動(dòng)的危險(xiǎn)性，需要隨時(shí)掌握海拔高度和當(dāng)時(shí)的溫度，這也是一次函數(shù)在生活中的重要應(yīng)用.

例4 中國國家登山隊(duì)在喜馬拉雅山下集結(jié)，準(zhǔn)備完成對世界最高峰珠穆朗瑪峰的征服.當(dāng)時(shí)山腳下的溫度為18℃，根據(jù)地理上的知識(shí)，高度每升高1km，氣溫就降低0.6℃.(1)已知珠穆朗瑪峰山頂?shù)母叨葹?848m，你能幫助登上隊(duì)員測出山頂?shù)臍鉁貑幔?保留1位小數(shù))(2)當(dāng)?shù)巧疥?duì)登山7小時(shí)后，有一個(gè)隊(duì)員因?yàn)楦咴C合癥無法堅(jiān)持了，需要返回山腳休息，他隨身攜帶的溫度計(jì)顯示當(dāng)時(shí)的溫度是13.5℃，你知道他當(dāng)時(shí)已經(jīng)攀登多少米了嗎？

解析 本題是一次函數(shù)知識(shí)應(yīng)用于登上運(yùn)動(dòng)，非常貼近生活，比較具有趣味性.本題應(yīng)該先根據(jù)山腳下的氣溫為18℃和高度每升高1km，氣溫就降低0.6℃這兩個(gè)條件得出溫度與海拔高度的關(guān)系，然后根據(jù)這個(gè)式子對題中的兩個(gè)問題進(jìn)行求解.求氣溫時(shí)，可以將海拔高度的條件代入函數(shù)解析式中，即可得到當(dāng)時(shí)的溫度.同理，求海拔高度時(shí)，只要將溫度的條件代入函數(shù)解析式中，即可得到當(dāng)時(shí)的海拔高度.

根據(jù)山腳下的氣溫為18℃和高度每升高1km，氣溫就降低0.6℃，可以得到氣溫t與高度h(km)之間的函數(shù)關(guān)系式為t=18-0.6h.所以，對于問題(1)將h=8844m轉(zhuǎn)化為8.844km，然后將h=8.844km代入函數(shù)關(guān)系式HO3中，可以得到t=18-0.6×8.844=12.6936℃，約為12.7℃，所以珠穆朗姆峰山頂上的氣溫為12.7℃.(2)將t=13.5℃代入函數(shù)關(guān)系式子中，可以得到13.5=18-0.6×h，解得h=7.5km=7500m，所以登山隊(duì)員已經(jīng)攀登7500米.

點(diǎn)撥 在本題中，通過海拔高度每升高1km，氣溫就降低0.6℃這一地理知識(shí)，再結(jié)合當(dāng)?shù)氐臏囟?，得到了海拔高度與溫度的關(guān)系式，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用.

綜上所述，一次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)中有著非常廣泛的應(yīng)用，是初中教學(xué)中的重點(diǎn).對于這類問題，一般的解題步驟是先弄清問題的情境，讀懂題目或者圖象，然后根據(jù)圖象或者問題列出一次函數(shù)解析式，最后根據(jù)題目代入數(shù)值，求出結(jié)果.其中的關(guān)鍵在于根據(jù)題目中的條件列出函數(shù)解析式，對于這一點(diǎn)，學(xué)生只有多加練習(xí)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)才能更上一層樓.

[1] 宋毓彬. 中考中的一次函數(shù)應(yīng)用題求解策略[EB/OL]. http://old.pep.com.cn/czsx/jszx/zkzl/ztjz/201110/t20111028_1077480.htm,2011-10-28.

[責(zé)任編輯：李克柏]

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2017-06-01

陳晨(1983.01-)，女，江蘇吳江人,本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教研與教學(xué).