基于不均勻網(wǎng)格的分?jǐn)?shù)階微分方程差分格式及系數(shù)性質(zhì)

劉彥芝

(呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 離石 033001)

·數(shù)學(xué)研究·

基于不均勻網(wǎng)格的分?jǐn)?shù)階微分方程差分格式及系數(shù)性質(zhì)

劉彥芝

(呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 離石 033001)

非均勻網(wǎng)格；梯形公式；隱差分格式

分?jǐn)?shù)階微分方程產(chǎn)生于一些反常擴(kuò)散模型，具有深刻的物理背景和豐富的理論內(nèi)涵，可廣泛應(yīng)用于科學(xué)和工程的各個(gè)領(lǐng)域.當(dāng)前，對分?jǐn)?shù)階微分方程的研究已引起眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-4].與經(jīng)典的整數(shù)階微分方程相比，分?jǐn)?shù)階微分方程具有非局部性、遺傳性等特征，因而對其進(jìn)行深入理論研究并建立行之有效的差分格式仍較為困難.

本文考慮如下非線性分?jǐn)?shù)階初值問題:

(1)

為保證方程(1)解的存在唯一性，我們假定f關(guān)于第二個(gè)變量滿足Lipschitz條件，即

1 差分近似

將方程(1)化為Volterra積分方程[1]：

(2)

(3)

其中

2 主要結(jié)論

引理1[5]如果α>0,k為非負(fù)整數(shù)，τi≤τi+1,j=0,1,…,k,則由(4)式定義的系數(shù)ωj,k+1有如下估計(jì)成立：

證明：j=0 時(shí)，利用中值定理，得

其中tk+1-t1<ξ1<ξ2

所以

若α≥1,則

若0<α<1,

當(dāng)j=1,2,…,k時(shí)，由(4)得

其中，tk+1-tj+1<ξ3<ξ4

(5)

其中，tk+1-tj<ξ6<ξ5

(6)

若α≥1，由(5)(6)得

若0<α<1，由(5)得

同理可得

所以有

當(dāng)j=k+1時(shí)，

綜上得證.

由于解非線性問題需要用到Gronwall不等式，文獻(xiàn)[5]中對Gronwall不等式進(jìn)行了改進(jìn)，要求系數(shù)滿足特定條件，而這正是引理1所證明的結(jié)論，為后續(xù)證明差分格式的穩(wěn)定性及收斂性提供了前提.

[1]K.Diethelm,N.J.Ford.Analysis of fractional differential equationns[J]．Math.Anal.Appl，2002(2).

[2]K.Diethelm,N.J.Ford.Detailed error analysis for a fractional Adams method[J]．Numerical Algorithms，2004(36).

[3]C.P.Li,F.H.Zeng.Finite difference methods for fractional ddifferential equations[J]．Comput.Math.Appl，2009(58).

[4]劉發(fā)旺，莊平輝，劉青霞.分?jǐn)?shù)階偏微分方程數(shù)值方法及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2015.

[5]C.P.Li,Q.Yi,A.Chen，F(xiàn)inite difference methods with non-uniform meshes for nonlinear fractional differential equations[J]．Journal of Computational physics，2016(316).

[6]M.Stynes,E.Riordan,J.L.Gracia，Error analysis of a finite difference method on graded meshes for a time-fractional diffusion equation[R]．北京：北京計(jì)算科學(xué)研究中心，2016.

2017-02-08

呂梁學(xué)院青年基金項(xiàng)目(ZRQN201521).

劉彥芝(1985-)，女，山西柳林人，助教，研究方向?yàn)橛?jì)算數(shù)學(xué).

O151

A

2095-185X(2017)02-0001-03