利用不等式解方程

廣東省佛山市羅定邦中學(xué)(528300) 龍宇

利用不等式解方程

廣東省佛山市羅定邦中學(xué)(528300) 龍宇

在一般的解方程問(wèn)題中,方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同.當(dāng)方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)時(shí),方程可能無(wú)解,也可能有無(wú)數(shù)個(gè)解.但在某些特定的條件下,依然有唯一解.不過(guò)一般需要借助不等式,利用取“=”條件求解.本文以如下幾個(gè)習(xí)題為例,向讀者展示一下相關(guān)的解題思路.

1.利用不等式解方程的思想方法

已知方程f(x)=g(y).分別求兩個(gè)函數(shù)的值域,若有fmin(x)≥gmax(y)或fmax(x)≤gmin(y).則說(shuō)明方程兩邊同時(shí)取到最值.利用取“=”條件求解對(duì)應(yīng)的未知量.

2.三角函數(shù)與解三角形

例1. 若sinαsinβ=1,求cos(α?β)的值.

分析 本題中有兩個(gè)未知角,只有一個(gè)條件.結(jié)合三角函數(shù)的范圍以及方程右側(cè)的1,根據(jù)不等式的取“=”條件,獲取更多的信息.

解 由 sinαsinβ = 1,可得: sinαsinβ ＞ 0,即sinα,sinβ同號(hào).

設(shè)sinα＞0,sinβ＞0,由0＜sinα≤1,0＜sinβ≤1,得:0＜sinα·sinβ≤1.

由 sinαsinβ=1可知上面的 “=”均成立.即可知sinα =1,sinβ=1,由此可得:cosα =0,cosβ=0.所以cos(α?β)=cosαcosβ+sinαsinβ =1.

總結(jié) 本題利用均值不等式求解,而三角函數(shù)本身就有范圍的限制.所以要特別注意“=”成立的條件.

例3.已知在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,且有2sin2B+3sin2C=2sinAsinB sinC+sin2A,求角A的值.

解析 利用正弦定理,題干條件可轉(zhuǎn)化為:2b2+3c2=

總結(jié) 本題利用了基本不等式及三角函數(shù)的值域

例4. (2010北大保送生考試)已知f(x)=ax+sinx表示的圖像上有兩條切線互相垂直,求a的值.

分析 f′(x)=a+cosx,如果f(x)的圖像上有兩條切線互相垂直.一定存在x1,x2使得f′(x1)f′(x2)= ?1,即有(a+cosx1)(a+cosx2)=?1.表達(dá)式中未知量較多,且涉及余弦,直接求解困難.接下來(lái),我們考慮一下它的范圍.

解 不妨設(shè)cosx1≤cosx2,因?yàn)?a+cosx1)(a+cosx2)＜0,即有a+cosx1＜0,a+cosx2＞0.根據(jù)余弦函數(shù)的有界性,顯然有:a+cosx1≥a?1,a+cosx2≤a+1.所以?1=(a+cosx1)(a+cosx2)≥(a?1)(a+1)≥?1.由此可知,上面所有不等式中的“=”均成立.所以a=0.

3.與指數(shù)或?qū)?shù)有關(guān)的超越方程

例5.(2015年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南省預(yù)賽第4題)已知實(shí)數(shù)x,y滿足:2x=ln(x+y?1)+ln(x?y?1)+4,求2015x2+2016y3的值.

分析 本題所給方程含有兩個(gè)未知數(shù),直接求解未知量非常困難.一般的思維在于將所求或題干條件視為整體求解.而本題涉及到對(duì)數(shù)、三次方、平方,整體思想也失效了.反思本題,題干的難點(diǎn)在于對(duì)數(shù),借助常用不等式lnx≤x?1,將其放縮修改.

解 2x=ln(x+y?1)+ln(x?y?1)+4≤

x+y?1?1+x?y?1?1+4=2x觀察上式可得,上式中的“=”成立.所以

所以2015x2+2016y3=8060.

總結(jié) 為了便于放縮對(duì)數(shù)與指數(shù)函數(shù),建議讀者記憶一些常用結(jié)論.如:≤lnx≤x?1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)成立;ex≥x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立;ex＞lnx+2等.

分析 移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)求解.

對(duì)于(1)式,左邊的最大值=右邊的最小值.所以兩邊同時(shí)取到最值.對(duì)應(yīng)的x=2,所以的值為8.

分析 仿照上例,將上方程分離變量,分別求其值域.

4.利用方程解不等式

例7.已知函數(shù)f(x)=2lnx+x2+x,若正實(shí)數(shù)x1,x2滿足f(x1)+f(x2)=4,求證x1+x2≥2.

解f(x1)+f(x2)=2lnx1+x21+x1+2lnx2+x22+x2=4.重新組合后可得:(x1+x2)2+(x1+x2)?4=2x1x2?2ln(x1x2)構(gòu)造函數(shù)h(x)=2x?2lnx,易求得h(x)∈[2,+∞).所以(x1+x2)2+(x1+x2)?4≥ 2.令x1+x2=t,所以t2+t?6≥0,即可得t≤?3或t≥2.因?yàn)閤1,x2是正實(shí)數(shù),所以t≥2.

總結(jié) 本題的解法在本質(zhì)上是構(gòu)造函數(shù)h(x).為了保證等式成立,方程的左邊的每個(gè)取值屬于h(x)的值域,由此可得方程左邊的基本范圍,據(jù)此求得最終的結(jié)論.

5.練習(xí)

1. 若實(shí)數(shù)x,y滿足2x?3≤ln(x+y+1)+ln(x+y?2),求xy的值.

提示:ln(x+y+1)≤x+y,ln(x+y?2)≤x?y?3.