三角形的垂足三角形無窮序列問題探討

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 曾玉婷 吳康

三角形的垂足三角形無窮序列問題探討

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 曾玉婷 吳康

除去直角三角形之外的三角形均有其垂足三角形,怎樣的三角形存在垂足三角形無窮序列?怎樣的三角形不存在垂足三角形的無窮序列?

垂足三角形 無窮 序列

1.引入

若△ABC為銳角三角形(不妨設(shè)A≥B≥C),其垂足三角形為△DEF,則[1]

若△ABC為鈍角三角形(不妨設(shè)A≥B≥C),其垂足三角形為△DEF,則[2]

若△ABC為直角三角形,則它沒有垂足三角形.

下文中的三角形△ABC,約定A≥B≥C.

定義垂足三角形序列鏈長(zhǎng)如下:對(duì)于△A0B0C0,△A1B1C1,△A2B2C2,...,△AkBkCk,若滿足 △Ai+1Bi+1Ci+1是 △AiBiCi的垂足三角形,其中i=1,2,...,k,且△AkBkCk沒有垂足三角形,則k稱△A0B0C0為的垂足三角形序列鏈長(zhǎng)(下文簡(jiǎn)稱為“鏈長(zhǎng)”).由定義可知,直角三角形鏈長(zhǎng)為0.

2.問題提出

問題1怎樣的三角形存在垂足三角形無窮序列?

先解決一個(gè)簡(jiǎn)單的

問題2怎樣的三角形鏈長(zhǎng)為1?

分析 問題即怎樣的三角形的垂足三角形是直角三角形?

解 記△ABC的垂足三角形為△DEF.

(1)若△ABC為銳角三角形,則滿足(?),此時(shí)D≤E≤F,依題意得,即有,解得

(2)若△ABC為鈍角三角形,則滿足(??),此時(shí)E ≥F,要使△DEF為直角三角形,則

問題3怎樣的三角形鏈長(zhǎng)為2?

分析:問題即怎樣的三角形的二階垂足三角形為直角三角形?也即怎樣的三角形的垂足三角形符合問題2的解?

解 記△ABC的垂足三角形為△DEF.

(1)若△ABC為銳角三角形,則滿足 (?),此時(shí)D ≤E ≤ F,依題意得,從而有解得

(2)若△ABC為鈍角三角形,則滿足(??),分兩種情形討論.

(2)若△ABC為鈍角三角形,則滿足(??),分兩種情形討論.

(2)若△ABC為鈍角三角形,則滿足(??),分兩種情形討論.

3.結(jié)論匯總?cè)缦卤?/h2>

鏈長(zhǎng)為0鏈長(zhǎng)為1鏈長(zhǎng)為2 1.1最大角為3π 8,最小角大于π 4的銳角三角形1.最小角為π1.2最大角小于3π 4 4,最小角為π 8的鈍角三角形的銳角三角形1.3最大角為5π 8,其余兩角小于π 4的鈍角三角形2.1最小角為π8,其余兩角大于π 4的銳角三角形8的鈍角三角形2.鈍角為3π2.2最大角為7π直角三角形4的鈍角三角形2.3第二大角為3π 8的鈍角三角形3.1第二大角為3π 8的銳角三角形3.第二大角為π 3.2最大角為5π 8,第二大角大于π 4的鈍角三角形4的鈍角三角形3.3第二大角為π8的鈍角三角形

4.問題解答

觀察上表可得出如下結(jié)論:

(1)鏈長(zhǎng)越長(zhǎng),三角形種類越多,并且鏈長(zhǎng)為k時(shí),三角形的解的種類為3k種;

(2)鏈長(zhǎng)不同的三角形的解規(guī)律性不強(qiáng);

(3)三角形的解中的角度分母為4,8(弧度制表示下).

以下考慮問題1:怎樣的三角形存在垂足三角形無窮序列?

解 三角形的角在弧度制表示下,分母非2n的形式(如此類三角形存在垂足三角形無窮序列,理由如下:

設(shè)△ABC的垂足三角形為△DEF,兩個(gè)三角形角度間關(guān)系為(?)或(??)兩種形式,不論哪種角度關(guān)系,只要三角形的角在弧度制表示下,分母非2n的形式,經(jīng)過(?)或(??)并不能消去分母中非2的因數(shù),即不會(huì)得到的角,也即不會(huì)得到直角三角形從而終止序列.由此,可得以下定理:

定理1△ABC存在垂足三角形無窮序列的充分條件是該三角形的內(nèi)角表示為γ·π時(shí),γ/=其中為既約分?jǐn)?shù).

推論1 當(dāng)三角形的內(nèi)角表示為γ·π時(shí),若γ為無理數(shù)時(shí),則該三角形存在垂足三角形無窮序列.

定義1 旁心變換是指:若△A0B0C0的旁心三角形為△A1B1C1,令f(△A0B0C0)= △A1B1C1,其中f稱為從△ABC到旁心三角形△A1B1C1的變換,簡(jiǎn)稱為旁心變換.若△A1B1C1的旁心三角形為△A2B2C2,此時(shí)有f(△A1B1C1)=△A2B2C2,f2(△ABC)=△A2B2C2.

由 定 義 1 可 知:f?1(△A1B1C1)= △A0B0C0,f?2(△A2B2C2)= △A0B0C0.其中 f?1稱為旁心逆變換.

由于任意三角形有旁心三角形,所以旁心變換是可以無窮盡做下去的,但旁心逆變換是求垂足三角形的過程,而直角三角形沒有垂足三角形,因此定義旁心變換雙向無窮序列.

定義旁心變換鏈長(zhǎng)雙向無窮若 ...,△A?2B?2C?2,△A?1B?1C?1,△A0B0C0,△A1B1C1,△A2B2C2,...滿足△Ai+1Bi+1Ci+1是△AiBiCi(i∈Z)的旁心三角形,則稱此為△A0B0C0旁心變換雙向無窮序列.

定理2△ABC存在旁心變換雙向無窮序列的充分條件是該三角形的內(nèi)角表示為γ·π時(shí),γ/=其中為既約分?jǐn)?shù).

推論2 當(dāng)三角形的內(nèi)角表示為γ·π時(shí),當(dāng)γ為無理數(shù),該三角形存在旁心變換雙向無窮序列.

[1]凌明燦,吳康.怎樣的銳角三角形與其垂足三角形相似[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2014(4):60.

[2]吳康,黃邦德.鈍角三角形的垂足三角形[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2006(11):33-35.