用矩陣法求數(shù)列通項(xiàng)公式

遼寧省黑山縣第一高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)組(121400) 劉大鵬

用矩陣法求數(shù)列通項(xiàng)公式

遼寧省黑山縣第一高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)組(121400) 劉大鵬

選修系列4中的《矩陣與變換》已經(jīng)成為了有些省份的高考內(nèi)容.羅增儒教授在文[1]中提到了常見的數(shù)列的通項(xiàng)能統(tǒng)一為用二階矩陣的方冪來求解.這引起了筆者濃厚的興趣,經(jīng)過查閱文獻(xiàn)并仔細(xì)研究,感覺用矩陣法求數(shù)列通項(xiàng)公式不但方法簡(jiǎn)便易懂而且有很強(qiáng)的規(guī)律性.現(xiàn)整理成文,供同行參考.

一.數(shù)列{an},已知a1,a2,an+2=aan+1+ban,n∈N?型問題

1.矩陣及其方冪的引入

所以只需要求解An?1,即可求出{an}的通項(xiàng)公式.

2.用特征根理論求A的方冪

(其中E為單位矩陣).令f(λ)=0求得特征根λ1,λ2.

例1.(自編新題)已知數(shù)列{an},a1=1,a2=3,an+2=4an+1?4an,求{an}的通項(xiàng)公式.

例2.(自編新題)已知數(shù)列{an},a1=1,a2=3,an+2=3an+1?2an,求{an}的通項(xiàng)公式.

例3.(2009陜西文21)已知數(shù)列{an},a1=1,a2=2,(1)略;(2)求{a}的通項(xiàng)公式.n

二.函數(shù)f(x)=已知數(shù)列an+1=f(an),n∈N?型問題

1.矩陣及其方冪的引入

例4.(自編新題)數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=

3.特征根不相等時(shí)解法示例

例5. (自編新題)數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=求{a}的通項(xiàng)公式.n

例 6. (2008陜西理 22)數(shù)列 {an}中,的通項(xiàng)公式.(2)(3)略.

例7. (2010全國I卷理22)數(shù)列{an}中,a1=1,(1)求的通項(xiàng)公式.(2)n略.

三.數(shù)列{an},已知a1,an+1=qan+d型問題

1.矩陣及其方冪的引入

(n∈N,n≥2).所以

例8. (2014全國新課標(biāo)理II 17(I))數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=3an+1.求{an}的通項(xiàng)公式.

所以

例9. (2007全國II理21)數(shù)列{an}中,a1∈(0,1),n∈N?.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)略.

例10. (根據(jù)2012廣東理19改編)已知數(shù)列{an}.a1=1,an+1=3an+2n.求{an}的通項(xiàng)公式.

所以an=3n?2n.

[1]羅增儒.談中學(xué)教師的數(shù)學(xué)研究工作[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,1997,(7).

[2]陳唐明.矩陣法求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式再探[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2010(9).

[3]呂效國.分式線性遞推數(shù)列通項(xiàng)的矩陣求法[J].南通工學(xué)院學(xué)報(bào),1998(4).