淺談導數(shù)及其應用

陳晨

【摘 要】導數(shù)的概念及其運算是高考的必考內(nèi)容，導數(shù)的運算一般不單獨考查，而是滲透在其他題目中，導數(shù)的幾何意義往往與解析幾何結合考查；導數(shù)的應用主要考查用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、實際問題中的優(yōu)化問題等，往往與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等相關知識綜合考查，涉及的思想主要有：函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結合思想以及化歸與轉化思想等。

【關鍵詞】導數(shù)的運算；導數(shù)的幾何意義；導數(shù)的應用及思想方法

一、考綱解讀

在導數(shù)的概念及其運算中能夠了解導數(shù)概念的實際背景，理解導數(shù)的幾何意義，會求過曲線上某點的切線的斜率與切線方程，能將平行或垂直直線間的關系轉化為導數(shù)關系；熟記常見基本初等函數(shù)的導數(shù)公式并結合導數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，會求簡單復合函數(shù)（僅限于形如的復合函數(shù)）的導數(shù)；利用導數(shù)的幾何意義求曲線的切線斜率是高考熱點。

導數(shù)的應用中能夠了解函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關系，會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法；了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件與充分條件，掌握求函數(shù)極值與最值的方法，會利用導數(shù)求函數(shù)極值與最值及解決利潤最大、用料最省、效率最高等實際生產(chǎn)、生活中的優(yōu)化問題；利用導數(shù)求函數(shù)極值與最值、結合單調(diào)性與最值求參數(shù)范圍、證明不等式是高考熱點（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）。

二、解題方法與技巧

1.導數(shù)的運算

熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及四則運算法則，掌握導數(shù)運算的原則即：先化簡求解析式，再求導。掌握導數(shù)的運算方法：①連乘形式：先展開化為多項式的形式，再求導；②分式形式：觀察多項式的結構特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導；③對數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導；④根式形式：先化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，再求導；⑤三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉化為和或差的形式，再求導；⑥復合函數(shù)：由外向內(nèi)，層層求導。

2.導數(shù)幾何意義的應用

（1）已知切點P（x0，f（x0）求斜率k，即求該點處的導數(shù)值k=f?（x0）；

（2）已知斜率，求切點P（x1，f（x1），即解方程f?（x1）=k；

（3）求過某點Q（x1，f（x1）的切線方程，需分Q（x1，f（x1）是切點和不是切點兩種情況求解。若點Q（x1，f（x1）是切點，則切線方程為y-f（x1）=f?（x1）（x-x1）；若點Q（x1，f（x1）不是切點，則需先引入切點P（x0，f（x0），利用導數(shù)的幾何意義表示出切線方程y-f（x0）=f?（x0）（x-x0），再將Q（x1，f（x1）代入切線方程得到關于x0的方程求出x0，最后將x0代入y-f（x0）=f?（x0）（x-x0）即可得到所求。

3.利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法

法一：①求函數(shù)f（x）的定義域；②求導函數(shù)f?（x）；③在定義域內(nèi)解不等式f?（x）>0和f?（x）<0，若不等式中帶有參數(shù)，則一般需對參數(shù)進行分類討論；④利用導數(shù)與單調(diào)性的關系確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間。

法二：①求函數(shù)f（x）的定義域；②求導函數(shù)f?（x）；③求f?（x）=0在定義域內(nèi)的一切實根；④用求得的根劃分定義域；⑤確定f?（x）在各個開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)符號判斷函數(shù)在每個相應區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。

4.由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍方法

（1）可導函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，實質就是在該區(qū)間上f?（x）≥0（或f?（x）≤0）（f?（x）在該區(qū)間的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0）恒成立，可以直接構造函數(shù)求最值轉化為不等式問題或分離參數(shù)轉化為求函數(shù)的最值問題，從而求得參數(shù)的取值范圍；

（2）可導函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是f?（x）≥0（或f?（x）≤0）（f?（x）在該區(qū)間的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0）在該區(qū)間上存在解集，把函數(shù)的單調(diào)性問題轉化為不等式問題；

（3）若已知f（x）在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時，可先求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，令I是其單調(diào)區(qū)間的子集，轉化為集合間的基本關系討論，從而可求出參數(shù)的取值范圍。

5.利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最值方法

（1）求可導函數(shù)f（x）的極值步驟：求定義域→求導函數(shù)f?（x）→解方程f?（x）=0→檢驗f?（x）=0的根的左右兩側的函數(shù)值符號，若左正右負，則函數(shù)y=f（x）在這個根處取得極大值；若左負右正，則函數(shù)y=f（x）在這個根處取得極小值，可列表完成。

注意：上述過程中檢驗不可缺，因為f?（x）=0是x0為f（x）的極值點的必要不充分條件，如f（x）=x3，f（0）=0，但x=0不是極值點。已知函數(shù)極值求參數(shù)值時，利用極值點處的導函數(shù)為0和極值建立方程求出參數(shù)值后要檢驗，如人教A版選修2-2導數(shù)習題“已知函數(shù)f（x）=x（x-c）2在x=2處有極大值，求的值”利用f?（2）=0可求出的值為2或6，用上述求極值的步驟檢驗可得c=6。

求極值也可以按下列步驟解題：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間畫出函數(shù)的大致圖像（注意分析函數(shù)值的變化情況）結合極值的定義下結論。

（2）已知可導函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間上有極值，求參數(shù)取值范圍。

法一：由f?（x）在該區(qū)間上存在變號零點，轉化為函數(shù)與零點問題進行討論。

法二：由f?（x）=0分離參數(shù)，構造函數(shù)求在該區(qū)間上的值域，數(shù)形結合分析。

法三：直接求函數(shù)在定義域內(nèi)的極值，由整體到局部分析，轉化為集合間的基本關系討論。

（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的最值方法。若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增或遞減，則f（a）與f（b）一個為最大值，一個為最小值；若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上有極值，先求出[a，b]上的極值，再與端點的函數(shù)值f（a）與f（b）比較，其中最大的為函數(shù)的最大值，最小的為函數(shù)的最小值；若函數(shù)f（x）在（a，b）上有唯一的極值，則這個極值就是函數(shù)的最值，此結論在導數(shù)的實際應用中經(jīng)常用到。endprint

（4）利用導數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟：分析實際問題中各量之間的關系，找出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系y=f（x），根據(jù)實際意義確定定義域→求函數(shù)y=f（x）的最值→還原到實際問題中作答。

求最值含參數(shù)時解題思路是先“整體”后“局部”即：先求函數(shù)在整個定義域內(nèi)的最值，找出臨界點，再結合題目所給的區(qū)間數(shù)形結合分析所得圖像，利用最值定義可得。近幾年的高考題中，2011年山東卷21題在此部分有考查。

6.利用導數(shù)解決不等式問題

（1）不等式的證明問題的一般解題思路：從所證不等式的結構和特點出發(fā)，結合已有的知識利用轉化與化歸思想構造可導函數(shù)研究單調(diào)性或最值得出不等關系整理得到結論。如證明f（x）1。第（1）問考查的是導數(shù)的幾何意義，通過方程思想求出，利用分析法將命題轉化為證，構造函數(shù)h（x）=xlnx，g（x）=xe-x-可求得h（x）在（0，）上單減，在（，+∞）上單增，從而有h（x）min=h（）=-，g（x）在（0，1）上單增，在（1，+∞）上單減，從而有h（x）min=g（1）=-，即可得x>0時h（x）>g（x），即證f（x）>1。

（2）不等式的恒成立問題?！昂愠闪ⅰ迸c“存在性”問題可看作一類問題，一般都可通過求相關函數(shù)的最值來解決，如：

若∈D，f（x）≥a或g（x）≤a恒成立，只需在給定區(qū)間中滿足f（x）min≥a或g（x）max≤a即可；若∈D，f（x）≥a或g（x）≤a成立，只需在給定區(qū)間中滿足f（x）min≥a或g（x）max≤a即可。

7.利用導數(shù)研究函數(shù)的零點或方程的根

研究函數(shù)圖像的交點、方程的根、函數(shù)的零點實質是研究函數(shù)的性質，如單調(diào)性、極值等。用導數(shù)研究函數(shù)的零點，一方面可以用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點存在性定理判斷；另一方面，也可以將零點問題轉化為函數(shù)圖像的交點問題，利用數(shù)形結合來解決。

三、例題分析

1.（2017全國卷II第21題，12分）已知函數(shù)f（x）=ax2-ax-xlnx，且f（x）≥0。（1）求a；（2）證明：f（x）存在唯一的極大值點x0，且e-2

解題思路：求解第（1）問時，構造函數(shù)g（x）=ax-a-lnx，由g（1）=0，g（x）≥0可知g?（1）=0，可得a=1，當a=1時，易知g（x）在（0，1）單減，在（1，+∞）上單增，從而有g（x）min=g（1）=0，故a=1；求解第（2）問時，令h（x）=2x-2-lnx，則h?（x）=2-，易知，當00，h（）<0，h（1）=0，由零點存在性定理及單調(diào)性可得h（x）在（0，）上有唯一零點x0，在[，+∞）上有唯一零點1，然后證明f（x）有唯一的極大值點x0，進而得到e-2

本題主要考查導數(shù)的運算，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求極值點、最值點，零點存在性定理，意在考查考生的運算求解能力、推理論證能力、函數(shù)與方程思想以及分類討論思想。

2.（2017全國卷I第21題，12分）已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x。（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍。

解題思路：求解第（1）問時，先求函數(shù)的定義域，再求出導函數(shù)f?（x）=（aex-1）（2ex+1）分a≤0和a>0結合不等式的性質得到函數(shù)的單調(diào)性：a≤0，f（x）在（-∞，+∞）上單減，a>0，f（x）在（-∞，-lna）上單減，在（-lna，+∞）上單增；（2）結合第一問的單調(diào)性易知a>0，求出此時f（x）min=f（-lna）=1-+lna，由f（x）min與0的大小關系可分a=1，a>1，0

本題主要考查導數(shù)的運算以及導數(shù)的應用，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點等知識，意在考查學生的運算求解能力，分析問題與解決問題的能力。

導數(shù)的題綜合性較強，求解導數(shù)有關題的前提是掌握導數(shù)的基本知識：導數(shù)的計算、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值和最值等，學會綜合應用函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結合思想以及化歸與轉化思想，靈活運用其它知識解決問題。