例談小學(xué)數(shù)學(xué)教育的三個“不等式”

張世明

摘要：學(xué)生在學(xué)習(xí)中常常出現(xiàn)“不懂”“不會”“不通”的情況，教師往往將責任歸咎于學(xué)生一方，恰恰忽視了三個教育不等式，即 “講”不等于“懂”、“懂”不等于“會”、“會”不等于“通”。教學(xué)中如果關(guān)注這三個不等式，反思教育的過程，采取有效的策略，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，我們就會對學(xué)生多一份理解，對自己多一份教學(xué)的清醒。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；講授；理解；融通

中圖分類號：G622.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2017）07B-0097-04

我們時常聽到老師這樣抱怨學(xué)生：“這道題老師都講過好幾遍了，你怎么還是不懂？”“剛才你不是舉手表示聽懂了嗎，怎么現(xiàn)在又不會了？”“你做題怎么不知道變通？”我們常常把學(xué)生“不懂”“不會”“不通”的原因都一味地歸咎于學(xué)生一方。其實，在這一過程中，我們忽視了幾個教育的不等式，是更為重要的原因。

一、“講”不等于“懂”

有些教師會認為：我講了，學(xué)生就會懂。但實踐告訴我們，很多時候并非如此。教師講了，并不能保證學(xué)生一定就能懂，因為由講到懂，應(yīng)當以學(xué)生深度參與為橋梁。如果在教師講的過程中，學(xué)生的思想游離于教師所講內(nèi)容之外，這時教師的講就變成了一廂情愿；或者當學(xué)生處于被動學(xué)習(xí)的狀態(tài)時，學(xué)生只是看起來像在聽，其思維并未能進入深層次的學(xué)習(xí)；或者明明對其中有不理解的地方，卻不善于問，或礙于面子不敢問，這樣就給后續(xù)的學(xué)習(xí)或做題埋下了隱患。

比如，一次作業(yè)中有這樣一道題：“35分鐘=____時”，我以為這類題不應(yīng)該再出現(xiàn)問題，因為做題方法我已經(jīng)向?qū)W生講過多遍，可還是有好幾個學(xué)生做錯了。講評時，我想了解一下到底在哪個環(huán)節(jié)出了問題，便請其中一位做錯的學(xué)生說說自己的思路過程，幫他分析一下產(chǎn)生錯誤的原因，形成正確的認知。

師：這道題你做錯了，能說說做錯的原因嗎？

生1：我不知道要用“35÷60”。

師：那你現(xiàn)在知道為什么用“35÷60”嗎？

生1：還是不知道。

師：誰來幫忙解釋一下？

生2：因為“時”和“分”之間的進率是60，“35分鐘=____時”是把小單位的名數(shù)改寫成大單位的名數(shù)，要除以進率60。

師：你現(xiàn)在聽懂了嗎？

（生l還是似懂非懂的樣子。生2已經(jīng)把解題方法講這么清楚了，但生1為什么還是不懂呢？）

師：好，我們先來看看這道題中的兩個單位，它們分別是什么？

生1：分和時。

師：分和時之間的進率是多少？

生1：60。

師：這題是把小單位的名數(shù)改寫成大單位的名數(shù)，還是把大單位的名數(shù)改寫成小單位的名數(shù)？

生1：把小單位的名數(shù)改寫成大單位的名數(shù)。

師：把小單位改寫成大單位，方法就是：用35除以進率60，現(xiàn)在明白了嗎？

（從表情上看，生l似乎還不太理解。這時有學(xué)生舉手想發(fā)言。）

生3：老師，我雖然知道小單位改寫成大單位要除以進率，但不知道為什么要“除以”進率。

生1點頭，頗有同感的樣子。

為什么我自以為講得很清楚了，學(xué)生卻還是不懂呢？仔細想想，這里忽視了一個問題，那就是師生之間客觀存在的差距。要知道，教師學(xué)科知識、思維經(jīng)驗一般都優(yōu)于學(xué)生，思維往往具有很大的跳躍性。以“35分鐘=____時”這題為例，學(xué)生要想清晰地理解并熟練解決這個問題，一般要對三個問題進行思考：（1）分與時之間的進率是多少；（2）分與時這兩個單位的大小比較；（3）求“35分鐘=____時”，就是看35分中有多少個60分鐘。老師對這幾個問題中的前兩個問題要進行思考，對第三個問題，基本是一種直覺性的思維，在無意識間就可以迅速求解。而這個問題恰恰是卡住學(xué)生思維的“結(jié)點”。教學(xué)時，如果我們對這個“結(jié)點”關(guān)注不夠，只是把解題的思路過程簡化為兩個程序傳授給學(xué)生：一是牢記進率，二是小單位改成大單位要除以進率，學(xué)生便不能真正理解“小單位改寫大單位要除以進率”這樣一個原理。倘若學(xué)生在不理解的情況下，又沒有主動詢問老師，這就會使解題變成執(zhí)行程序，機械套用。由于缺少對原理的理解，一旦當他們對該思路過程記錯或忘記時，只能靠“猜測”來解題，難免會出現(xiàn)錯誤。

教學(xué)中，學(xué)生做錯了題，我們不能因為自己把該講的知識都講了，好像方法也教給學(xué)生了，就責怪學(xué)生，而要注意觀察學(xué)生有沒有深度參與，多與學(xué)生進行心靈的溝通，善于“蹲下來”，多聽聽他們的聲音，聽他們講學(xué)習(xí)中的疑點、盲點，同時還要善于突破自己“教”的思維定勢，多從自身“教”這方面細細查找原因，或許就能找到問題的癥結(jié)。

二、“懂”不等于“會”

我們在新授完某一知識以后，有時習(xí)慣性地問學(xué)生：“今天老師講的內(nèi)容大家都聽懂了嗎？”如果學(xué)生齊刷刷地回答：“懂了”，教師似乎就有一種心理上的自我安慰。然而到了學(xué)生獨立運用有關(guān)知識進行解題時，只要將題目背景一變，有的學(xué)生還是不會做。這到底是什么原因？其實，我們常常有一個誤判，他們所說的“懂”只是淺層次的，“懂”和“會”之間還是有一定距離的，我們不能滿足于學(xué)生所說的“懂了”，而要重點考察學(xué)生有沒有真正掌握數(shù)學(xué)的思想方法。

比如，一位老師教學(xué)蘇教版六年級上冊《解決問題策略——替換》，書中的例題是：“小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒?jié)M。已知小杯容量是大杯的三分之一，小杯和大杯的容量各是多少毫升？”教學(xué)中，這位老師根據(jù)教材中的情境圖，制作了多媒體課件進行演示，通過直觀演示，學(xué)生似乎都明白了。例題講完之后，老師進行了追問：“對今天講的用‘替換這一知識來解決問題，大家聽懂了嗎？”學(xué)生沒有提出問題。在接下來的知識運用環(huán)節(jié)，教師出示了這樣一道平行練習(xí)題：“3輛大貨車和4輛小貨車共運貨30噸，已知大貨車的載重量是小貨車的2倍。這兩種貨車的載重量各是多少噸？”這時我發(fā)現(xiàn)身旁的一名學(xué)生嘴咬筆端，遲遲不動筆。我悄悄地問他：“你怎么不做？”他回答說：“不會做?！蔽医又鴨枺骸斑@道題的解題思路與例題差不多，剛剛老師講完例題之后問大家聽懂了沒有，我發(fā)現(xiàn)你是舉手的，現(xiàn)在為什么又不會做了呢？”他說：“老師講例題時是有圖的，我好像是聽懂了，可這道題沒有圖，我就不知道怎么做了?！痹谧鳂I(yè)反饋環(huán)節(jié)，教師請做對的學(xué)生舉手，結(jié)果全班有近四分之一的學(xué)生沒有舉手，引起了我的反思。這節(jié)課教師在教授例題時，采用了直觀教學(xué)，對所要講的知識似乎也講了，之后，教師問了全班學(xué)生：“大家聽懂了嗎？”學(xué)生也齊聲回答：“聽懂了！”但為什么到了鞏固練習(xí)時還有那么多的學(xué)生不會做題呢？

回顧講授例題的過程，教師和學(xué)生都過度關(guān)注直觀演示，學(xué)生的認知只是停留在感性的“生活化認知”的層面，整個教學(xué)過程是奔著找到一種解決問題方法的單一目標而去的。例題講完之后，教師只是簡單地問學(xué)生：“聽懂了嗎？還有什么問題？”并沒有讓學(xué)生通過回顧對方法、策略、思想的形成過程進行再認和梳理，因而學(xué)生的認知并沒能發(fā)展為“數(shù)學(xué)化認知”。其實，方法、策略、思想這三者有著遞進的關(guān)系，數(shù)學(xué)方法上升到一定高度便形成策略，數(shù)學(xué)策略通過進一步凝練則形成數(shù)學(xué)思想。就上述這一例題來講，將兩種不同的杯子轉(zhuǎn)換成同一種杯子來求解，是其解題方法。利用不同背景的相關(guān)題目，讓學(xué)生在觀察比較中發(fā)現(xiàn)這類題蘊含著相同的解題思路，即都是“提出替換—進行轉(zhuǎn)化—獲得解題思路”這一解題策略。但這里僅僅讓學(xué)生掌握解題的方法和策略還不夠，更需要在此基礎(chǔ)上幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)思想。就本例題而言，根據(jù)“小杯容量是大杯的三分之一”，既可將“6個小杯”替換成“2個大杯”，又可將“1個大杯”替換成“3個小杯”，滲透“對應(yīng)”的思想；將兩種不同的杯子替換成同樣的杯子，杯子數(shù)量變了，但“720毫升果汁”不變，體現(xiàn)了“變與不變”的思想。這類題有一種帶有“模型”意義的思路過程：第一步，確定替換掉哪一種量；第二步，尋找替換的依據(jù)；第三步，思考如何替換；第四步，替換之后相等于多少個什么樣的杯子來裝720毫升果汁，進而求出該杯的容量。這些，都滲透了“有序思維”及簡單的“建?！彼枷搿?/p>

由此看來，具體的解題過程與指導(dǎo)并不是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，而發(fā)掘和提煉數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心知識，從數(shù)學(xué)思想方法的層面引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)分析和思考，學(xué)生才能真正學(xué)得扎實，認清形式背后的本質(zhì)內(nèi)涵及其變化規(guī)律，從整體上深刻地理解數(shù)學(xué)，充分體驗、領(lǐng)悟思想方法和解題策略的普遍意義，從而以不變應(yīng)萬變，提高他們的解題效率和應(yīng)用能力。教學(xué)中如果我們長期地關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的沉積和凝練，便能使學(xué)生逐步養(yǎng)成善于反思和總結(jié)的習(xí)慣，促進他們主動地從數(shù)學(xué)思想方法的高度去把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。

三、“會”不等于“通”

在講完一個例題之后，當我們出一些同類的題讓學(xué)生練習(xí)時，發(fā)現(xiàn)學(xué)生一般都會做，但只要將題目稍加變化，不少學(xué)生就難以應(yīng)對。因為就某一知識而言，學(xué)生僅僅是停留在“會”的層面，而沒有達到“通”的境界。如果我們以“會”為“通”，就降低了認知與思維的等級。其實，由“會”到“通”，當以學(xué)生獨立地思悟作為橋梁。教學(xué)有三重境界，教之以“知”，教之以“法”，悟之以“智”。教之以“知”如授人以“魚”，教之以“法”如授人以“漁”，而最高境界乃是學(xué)生悟之得“智”，真正變得聰慧起來。這就提醒我們，教學(xué)中要懂得給學(xué)生以適當?shù)臅r間和空間去感悟。

比如，蘇教版五年級下冊“圓的周長和面積”的教學(xué)。如果省去教師直觀演示和讓學(xué)生操作、觀察的過程，直接告知學(xué)生圓面積公式及計算方法，相信學(xué)生在已知半徑、直徑、周長的情況下也能求出圓的面積。但是，圓面積公式是前人經(jīng)過高度的提煉加工然后用簡約化和抽象化的符號表達出來的，如果將這一符號化的結(jié)果知識直接告知學(xué)生，學(xué)生就缺少了知識形成過程的真實經(jīng)驗和體驗。在實際教學(xué)中，我先采用課件直觀演示，將圓剪拼成一個近似的長方形，讓學(xué)生觀察得知：長方形的面積與圓的面積相等，長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑。之后又讓學(xué)生模仿老師的演示，用學(xué)具進行了操作。最后推導(dǎo)出圓面積公式。這樣的教學(xué)，學(xué)生不僅會求圓面積，也知道了圓面積公式的來龍去脈。

但問題還是出現(xiàn)了。這部分內(nèi)容結(jié)束后，到了復(fù)習(xí)階段，我給學(xué)生出了如下幾道題：

（1）如圖1，長方形周長比圓周長長20厘米，求圓面積。

解這道題需要學(xué)生清楚地知道將一個圓切拼成近似的長方形后周長所產(chǎn)生的變化。

（2）如圖2，已知圓周長40厘米，如果圓的面積和長方形面積相等，計算陰影部分的周長。

這道題需由“圓面積和長方形面積相等”這一條件，推知長方形兩條長之和即為圓的周長，從而求出解。

（3）如圖3，長方形和圓面積相等，圓的半徑等于長方形的寬，已知陰影面積是120平方厘米。求圓面積。

這道題需由“長方形和圓面積相等，圓的半徑等于長方形的寬”推知陰影部分的面積即為圓面積的四分之三，進而求解。

（4）如圖4，陰影部分是一個長6.28厘米的長方形，它的面積與圓面積相等。求圓面積。

這道題需由“長方形的面積與圓面積相等”推知長方形的長即圓周長的一半，進而求解。

經(jīng)統(tǒng)計，這幾道題一開始全班只有極少數(shù)學(xué)生能夠解答。我暗自怪罪學(xué)生，當初明明對圓轉(zhuǎn)化成長方形進行了演示，學(xué)生自己也動手進行了操作，可到了這里怎么就不知道變通？再轉(zhuǎn)念一想，自己的“教”有沒有不足的地方呢？反思教學(xué)環(huán)節(jié)，在講授圓面積這一知識時，教師直觀演示的目的很大程度上是直奔圓面積公式的推導(dǎo)的，教學(xué)過程是依照教材來展開的。就學(xué)生的“學(xué)”而言，其操作則完全模仿了老師的演示，只是被動、機械地完成規(guī)定程序，其認知停留在表象上，并沒有在觀察、比較和推理的過程中去理解圓與拼合的長方形之間的關(guān)系，因而沒能真正形成數(shù)學(xué)的思維。就教師的“教”而言，只是停留在對教材本身所傳達的文字信息上，沒有做適度的延伸和拓展，沒能很好地促成學(xué)生實現(xiàn)認知的深化和發(fā)展，這些正是造成學(xué)生不能將知識內(nèi)化并遷移運用的重要原因。鑒于此，在圓面積公式得出之后，可以再做一些回顧與拓展，請同學(xué)們仔細觀察剛才的剪拼圖，思考：（1）如果告訴你長方形與圓面積相等，圓半徑等于長方形的寬，你能推知出什么？（2）如果告訴你長方形的長，你能推知出什么？（3）由圓變成長方形，什么產(chǎn)生了變化？有怎樣的變化？

通過這些逆向性和延伸性的追問，加深了學(xué)生對知識的記憶和理解，今后他們在遇到上述這類拓展性題目時，就會通過聯(lián)想，讓相關(guān)知識復(fù)活起來，去辨認問題的特征，將之納入相應(yīng)的知識系統(tǒng)中去，進一步找到解決問題的途徑與方法。

對于教學(xué)中學(xué)生出現(xiàn)的“不懂”“不會”“不通”，我們除了要從學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)習(xí)慣等方面進行分析之外，更多的還是要善于從我們自身“教”的角度去反思。比如，我們在教學(xué)理念、教學(xué)行為等方面有哪些不足？卡住學(xué)生思維的結(jié)點在哪里，又如何進行改進等等，這樣，我們就會對學(xué)生多一份理解，對自己多一份教學(xué)的清醒。

責任編輯：宣麗華