MKT教學取向下的高中數(shù)學教學

蔣珊珊

[摘 要] MKT是“面向教學的數(shù)學知識”，其強調(diào)以有效的數(shù)學知識質(zhì)量支撐教學，強調(diào)在教學的視角下關注數(shù)學知識. MKT教學取向下，有一些容易忽視的問題會被凸顯并能彰顯其意義，如對學生在數(shù)學學習困難中的關注，如教師的數(shù)學學科知識質(zhì)量等. 理解“面向教學的數(shù)學知識”，需要教師從學生知識建構的角度思考知識的發(fā)生過程，從而讓數(shù)學知識真正具有教學意義. MKT理論還可以促進教師的專業(yè)成長.

[關鍵詞] 高中數(shù)學；數(shù)學教學；MKT理論；等差數(shù)列

MKT是Mathematical Knowledge for Teaching的簡稱，是“面向教學的數(shù)學知識”的意思，其包括“數(shù)學學科知識”與“數(shù)學學科教學知識”兩個方面. MKT之所以能夠引發(fā)廣大數(shù)學教學研究者以及一線教師的興趣，一個很重要的方面，就是因為其秉承了一個觀點，即在深刻理解學科知識的基礎之上能夠形成對教育教學的見解. 這對于傳統(tǒng)的數(shù)學教學理解來說還是有一定的啟發(fā)意義的. 傳統(tǒng)的高中數(shù)學教學所堅持的一個重要觀念是面向數(shù)學知識進行教學，強調(diào)數(shù)學知識對教學的導向性. 而MKT則是強調(diào)學科知識對學科教學的支撐作用，也強調(diào)學科知識在學科教學的環(huán)境中的特殊理解，這就使得教師在數(shù)學教學中可以重新建立一個角色，即認真研究數(shù)學學科知識并發(fā)掘其教學意義的角色. 基于這樣的理解，筆者對一些重要數(shù)學概念的教學進行了嘗試，取得了一些認識. 此處試以“等差數(shù)列”的教學為例，談談筆者的收獲.

[?] MKT理論強調(diào)對數(shù)學學習困難的關注

教學是面向?qū)W生的，高中數(shù)學教學橫比異于其他學科的特征在于其高度繁雜、高度抽象，要真正建構起完整的高中數(shù)學知識的結構是很不容易的；縱比相對于義務教育階段的數(shù)學學習而言，其表現(xiàn)出來的邏輯體系是此前的數(shù)學知識所難以比擬的. 因此，無論是橫比還是縱比，學生在數(shù)學學習中所表現(xiàn)出來的困難都是不可小覷的. MKT理論強調(diào)對學生在數(shù)學學習中表現(xiàn)出來的困難要高度關注，并認為良好的教學水平表現(xiàn)之一，就是對學生學習困難的有效預測和診斷.

以“等差數(shù)列”為例，學生在建構這一概念的時候可能會遇到什么困難？經(jīng)驗與研究表明，學生對于等差數(shù)列的簡單例子是可以順利建構理解的，因為這可以由他們生活中所熟知的諸如奧運會舉行的年份、自然數(shù)集合等事例來支撐. 但是對于用數(shù)學語言來描述等差數(shù)列是存在困難的，尤其是在定義首項、公差和通項的基礎上去對等差數(shù)列的概念作一個抽象的表述，以及通過等差數(shù)列的通項公式來描述等差數(shù)列，對于超過一半的學生來說都是一個不小的挑戰(zhàn). 而學生出現(xiàn)這樣的困難也是正常的，因為即使是高中的學生，他們在數(shù)學學習中也更擅長于對包含具體數(shù)據(jù)的數(shù)學事例進行思維加工，而對于概括性較強的、以符號表示某種數(shù)學規(guī)律的數(shù)學語言加工比較困難.

在這樣的基礎上再次思考MKT的本義即“面向教學的數(shù)學知識”，可以發(fā)現(xiàn)學生在等差數(shù)列學習中所遇到的困難應當尋找一定的化解途徑. 對此，筆者的分析是：從純粹數(shù)學的意義來看，等差數(shù)列的概念“一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)”的表述，是高度概括的；而從教學的視角來看，這一知識的形成過程是需要精心設計的，而結合學生的思維特點，讓學生尋找生活中的等差數(shù)列事例并通過分析、綜合的學習過程，去逐步獲得對等差數(shù)列的層次越來越高的概括，以逐步幫學生從自己的經(jīng)驗走向抽象的數(shù)學定義，是有效的教學方式.

在具體的實踐中，學生在舉例環(huán)節(jié)是沒有問題的，在分析、綜合的環(huán)節(jié)，往往通過一兩個例子的分析，再通過第三或第四個例子的佐證，也都能發(fā)現(xiàn)這些等差數(shù)列的例子中后一項與前一項的差為常數(shù). 于是進入概念形成的關鍵環(huán)節(jié)，此時筆者將重心放在通項公式的探究上，這個探究從一個問題開始：既然等差數(shù)列表現(xiàn)出一種強烈的規(guī)律性，那么在表示等差數(shù)列的時候，除了將其一一列出之外，還有沒有一種概括性更高的辦法，不用寫每一項，而是用一個符號能夠代表每一項呢？這個問題通俗易懂，也符合學生此時的思維需要——學生的內(nèi)心實際上也是有類似的想法的. 而有了這個想法之后，對于用首項和公差來獲得通項公式的關鍵其實就在于首項的加入，因為公差是一目了然的，只要引導學生發(fā)現(xiàn)并概括其等差規(guī)律加上首項，即可完成對通項的描述.

在這樣的教學思路中，基于對學生學習存在的困難的關注，進而確定教學的重點，使得等差數(shù)列的概念及通項公式的構建，成為一個適切學生學習需要的過程，有效地彰顯了MKT理論的指導意義.

[?] 數(shù)學教師學科知識的質(zhì)量影響著教學

實際上，MKT理論不僅是一個指導教師教學的理論，還是一個指導教師專業(yè)成長的理論，很多國內(nèi)資深的教育專家都對該理論在教師專業(yè)成長方面作出了研究. 筆者這里想結合等差數(shù)列知識的教學，談談如何在該理論之下關注自身的學科知識的質(zhì)量.

通常情況下，我們認為高中數(shù)學教師的知識質(zhì)量與教學是匹配的，這可以由當前的考試評價看出來. 但是仍然需要注意的是，如果高中數(shù)學教師能夠?qū)ψ陨淼闹R結構有一個更高層次的把握，那在教學中必定能夠站在一個更高的角度去觀察學生的學習，而這正是MKT理論的重要要求. 當然，我們所說的學科知識質(zhì)量不只是對學科知識的掌握質(zhì)量，還包括教學視角下的學科知識運用的質(zhì)量.

等差數(shù)列對于絕大多數(shù)高中數(shù)學教師來說并不是一個高深的知識，很多時候甚至因為其簡單而重視不夠（畢竟等差數(shù)列是數(shù)列知識體系中最基本的一個）. 而事實上，無論是從數(shù)學發(fā)展中來看，還是從學生的數(shù)學學習過程來看（MKT理論要求面向教學去建構數(shù)學知識，所需要的其實也就是對學生數(shù)學學習過程的研究），等差數(shù)列都不是想象的那么簡單.

比如說，在建構等差數(shù)列概念的時候，筆者似乎很少看到將此知識與學生所學的一次函數(shù)產(chǎn)生聯(lián)系的情形，但等差數(shù)列的an=a+（n-1）d的表達式與y=kx+b何其像也！而教學經(jīng)驗也表明，在本知識學習的過程中，確實有學生就將兩者結合起來了，在學習的過程中就在下面吱唔：咦！怎么與一次函數(shù)的表達式有點像？其實這種聯(lián)系在教師的思維中就應當是存在的；又比如，也很少有教師在教授等差數(shù)列的時候能夠想到矩陣的知識，但實際上等差數(shù)列的通項公式是可以表示成矩陣的，而這也應當成為教師等差數(shù)列知識結構中的知識.

像這樣的例子還有很多，可以肯定地講，教師大腦中關于等差數(shù)列的知識越豐富，那知識的質(zhì)量也就越高，在教學中也就更有可能高屋建瓴. 在這里顯然可以看到的是，像等差數(shù)列知識的質(zhì)量提升，不僅來源于更高層次的系統(tǒng)性知識的學習，也在于對學生學習過程的關注. 做到這兩點，教師知識質(zhì)量便真的能夠服務于教學，從而也就可以真正做到“面向教學”去建構“數(shù)學知識”. 于是這里也就涉及對“面向教學的數(shù)學知識”的進一步的理解.

[?] “面向教學的數(shù)學知識”的數(shù)學教學理解

“面向教學的數(shù)學知識”與“數(shù)學知識”的理解顯然不完全相同，因為“面向教學”的條件限定，決定了這是隸屬于教師教育教學專業(yè)的數(shù)學知識的掌握，其與純粹的數(shù)學研究視角下數(shù)學知識的掌握顯然并不相同. 而這其中最大的不同在于，MKT理論所說的“面向教學的數(shù)學知識”是要賦予“數(shù)學知識”以“面向教學”的意義的，也意味著教師要關注的不只是數(shù)學知識的形成過程，更要在學生的認知視角下發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識是如何形成的.

等差數(shù)列在數(shù)學史中的形成過程較為復雜，不同文獻給出的解釋也有所不同，但這種對數(shù)學史及其細節(jié)的追究并不影響等差數(shù)列的教學，因為對于教師來說，我們更需要關注的是學生在學過了集合、函數(shù)、數(shù)列等基本概念的基礎上，如何有效地構建出等差數(shù)列的概念，并能夠用高度抽象的文字語言、公式語言來描述等差數(shù)列. 只要解決了這個問題，等差數(shù)列這一“數(shù)學知識”就是真正的“面向教學”了.

也因此，MKT理論下的教師，更多要關注的其實是學生思維中數(shù)學知識的形成過程，當然如上面第二點所說，這一過程的關注離不開教師的知識質(zhì)量這一基本面. 但無論如何，“面向教學”才是核心，才是方向性引領的關鍵. 而根據(jù)筆者的經(jīng)驗，用MKT理論視角來研究高中數(shù)學教學，還是需要有一定的層次性的，教師占有了一個知識，或者有了一個新發(fā)現(xiàn)之后，要思考如何將其有效地納入數(shù)學教學，這也是一個具有挑戰(zhàn)性的方面. 像上面提到的等差數(shù)列的通項公式與一次函數(shù)的形似，就可以成為教學的一個基礎；而像其與矩陣的關系，只適宜作為教師的一種知識架構，想向?qū)W生傳遞是需要慎重考慮的.

總之，高中數(shù)學教學中基于MKT理論視角來研究教學，是一個非常有益的嘗試，教學作為一種特殊的師生交流活動，其意義可以在MKT理論視角下得到更清晰的映照.