立足高處，敢于創(chuàng)新

尤柳青

[摘 要] 數(shù)學(xué)知識是相互聯(lián)系的，但學(xué)生學(xué)習(xí)時的各知識點間卻是相互獨立的. 如何讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更生動連貫、更具邏輯性？這就需要我們在平時教學(xué)時，立足系統(tǒng)高度、大膽創(chuàng)新. 本文以《導(dǎo)數(shù)的幾何意義》為例加以闡述.

[關(guān)鍵詞] 聯(lián)系；系統(tǒng)；全面

[?] 研究緣起

“一葉障目”告訴我們不能被局部或暫時的現(xiàn)象所迷惑，否則將看不到事物的全貌，無法認(rèn)清根本問題. 當(dāng)我們處于城市之中，我們可能只能發(fā)現(xiàn)交通的擁堵、人潮的匆忙，而當(dāng)我們站在高處時，我們將會發(fā)現(xiàn)交通的井然有序與城市的大局之美.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也是一樣，當(dāng)我們學(xué)習(xí)一個個知識點的時候，我們可能會覺得它們雜亂無章而又晦澀難懂，但當(dāng)我們跳出局部，立足高處看待時，我們就會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識點之間的聯(lián)系與優(yōu)美，甚至是數(shù)學(xué)與生活、與其他學(xué)科的綜合之美.

站在高處看問題，從系統(tǒng)層面看知識. 正如，一百個人看《哈姆雷特》，就有一百個哈姆雷特，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也是一樣的. 課本是編排好的，都一樣的，但每個人心中都有一本屬于自己個人的數(shù)學(xué)書，這是不同的，它們有著不同的建構(gòu)、聯(lián)系.

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)不是簡單的知識的傳遞，而是學(xué)習(xí)者建構(gòu)自己的知識經(jīng)驗的過程，這種建構(gòu)是通過新舊經(jīng)驗之間的雙向的、反復(fù)的相互作用而實現(xiàn)的. 知識的建構(gòu)是一個積極主動的活動. 首先，知識建構(gòu)試圖將新知識與更廣泛的知識經(jīng)驗聯(lián)系起來，成為整合的知識體系，而不只是與某一兩個觀念建立聯(lián)結(jié). 其次，學(xué)習(xí)者不只是理解和記憶現(xiàn)成的結(jié)論，而是要形成屬于自己的知識.

作為一個數(shù)學(xué)教師，我們要幫助學(xué)生更好地完成、完善這本數(shù)學(xué)書，讓學(xué)生能更符合學(xué)情和認(rèn)知規(guī)律地構(gòu)建知識框架. 數(shù)學(xué)知識之間都有著緊密的聯(lián)系，我們應(yīng)當(dāng)用聯(lián)系的眼光來看問題，根據(jù)學(xué)情大膽超越、重構(gòu). 以《導(dǎo)數(shù)的幾何意義》教學(xué)中的探究新知環(huán)節(jié)為例進(jìn)行闡述.

[?] 教學(xué)片段

數(shù)學(xué)，是研究數(shù)與形的學(xué)科，函數(shù)更是數(shù)與形的完美結(jié)合體.在研究了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的代數(shù)定義之后，我們要引導(dǎo)學(xué)生從圖形角度進(jìn)行研究，嘗試是否有新的發(fā)現(xiàn).

師：同學(xué)們，在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的定義后，我們知道了導(dǎo)數(shù)f ′（x0）就是函數(shù)f（x）在x=x0處的瞬時變化率，那么在函數(shù)圖像上，你能否找出導(dǎo)數(shù)所代表的含義呢？

合作探究：以函數(shù)f（x）=x為例，若x0=1時，求當(dāng)Δx取以下值時函數(shù)的平均變化率：①Δx=1；②Δx=；③Δx=；④Δx=；⑤Δx→0.

請分組分別求出，并在圖上進(jìn)行表示（其中⑤為共同完成的思考題）.

小組合作探究并展示（以①為例，其余省略）：根據(jù)公式，得當(dāng)Δx=1時，平均變化率為===-1≈0.4142. 并得圖1.

引導(dǎo)學(xué)生觀察.

生1：當(dāng)點Pn趨向于點P時，割線PPn趨近于點P處的切線.

追問：那么平均變化率表示的是什么呢？

生1：平均變化率表示的是割線PPn的斜率，且當(dāng)Δx→0時，平均變化率就變成了瞬時變化率，即導(dǎo)數(shù).也就是說，導(dǎo)數(shù)表示的就是點P處的切線的斜率.

師生：當(dāng)點Pn趨向于點P時，割線PPn趨近于確定的位置，這個確定的直線稱為點P處的切線，記為PT.

利用幾何畫板動態(tài)展示、驗證，并得到當(dāng)Δx→0時，割線PPn的斜率無限趨近于曲線f（x）在P點處的切線PT的斜率. 因此，函數(shù)f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即

k==f ′（x0）.

例：請分組分別求出以下函數(shù)在x=x0時的導(dǎo)數(shù)值：①f（x）=c（c為實常數(shù)）；②f（x）=x；③f（x）=x2；④f（x）=x3.

其中前3題直接小組板演展示，最后一題展示并解說：

根據(jù)f ′（x0）=

=

=

=

=[3x+3x0·Δx+（Δx）2]

=3x.

師點評：根據(jù)整體板演情況，對學(xué)生的學(xué)習(xí)與努力表示充分的肯定，同時對各種符號的錯誤進(jìn)行再一次的更正與強調(diào).

集體小結(jié)：從解題過程中，可以清晰地感受到，當(dāng)x=x0時，f ′（x0）是一個確定的數(shù). 這樣，當(dāng)x變化時，f ′（x0）便是x的一個函數(shù)，我們稱它為f（x）的導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)）.

y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)有時也記作y′，即f ′（x）=y′=.

追問：根據(jù)解答，我們可以知道例題中的四個函數(shù)的相應(yīng)導(dǎo)函數(shù)：

①f（x）=c（c為實常數(shù)） f ′（x）=0

②f（x）=x f ′（x）=1

③f（x）=x2 f ′（x）=2x

④f（x）=x3 f ′（x）=3x2

你能找到它們之間的規(guī)律嗎？如果把函數(shù)和它的導(dǎo)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中畫出，你又能找到什么規(guī)律呢？請分組討論、研究.

組1：我們組發(fā)現(xiàn)，如果函數(shù)是f（x）=xn，那么導(dǎo)函數(shù)是f ′（x）=nxn-1.

追問：n有何要求嗎？

組1：正整數(shù).

追問：n為負(fù)數(shù)行嗎？比如n=-1？

組1（猶豫）：好像可以.

師：組1對于“如果函數(shù)是f（x）=xn，那么導(dǎo)函數(shù)是f ′（x）=nxn-1”的發(fā)現(xiàn)并推廣非常不錯，但我們?nèi)孕鑼的范圍進(jìn)行研究，請作為課后作業(yè)進(jìn)行思考，期待大家下節(jié)課的精彩解答.

組2：我們把函數(shù)和它的導(dǎo)函數(shù)畫在同一直角坐標(biāo)系中，如下：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，我們知道導(dǎo)數(shù)就是曲線在各點處的斜率. 而初中我們知道，斜率k>0，則函數(shù)為增函數(shù)；反之，為減函數(shù). 所以我們組將函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)聯(lián)系起來看，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時，函數(shù)單調(diào)遞增；反之，則單調(diào)遞減.

該回答得到了班里的一陣叫好聲，講解準(zhǔn)確，規(guī)律清晰，引起了同學(xué)的共鳴，并立即引發(fā)了同學(xué)的下一個思考.

組3：根據(jù)初中知識，我們知道，斜率k越大，函數(shù)變化越快、圖像越陡峭. 同樣的，當(dāng)f ′（x）的值越大時，就相當(dāng)于斜率k越大，則函數(shù)變化越快、圖像越陡峭.

小結(jié)：根據(jù)組2和組3的規(guī)律得：導(dǎo)數(shù)的正負(fù)決定函數(shù)的增、減，且導(dǎo)數(shù)絕對值越大，函數(shù)圖像越陡峭. 其中，“導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)決定函數(shù)的增、減”是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，也是我們考試的重點之一，往往作為壓軸題出現(xiàn)，此時，數(shù)形結(jié)合是我們解題的一個重要思想方法.

設(shè)計意圖： f（x）=c（c為實常數(shù)）， f（x）=x， f（x）=x2， f（x）=x3是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的幾個常用函數(shù)，對它們進(jìn)行求導(dǎo)，既可以鍛煉、鞏固學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的理解與應(yīng)用，又為下節(jié)課“幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”的學(xué)習(xí)做好鋪墊. 同時，又因為這幾個函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是較為常見的簡單函數(shù)，通過對它們的探索、研究，可以更有利于學(xué)生對導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間關(guān)系的尋得與理解. 由淺入深，更符合學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律.

[?] 反思與提升

立足高處，可從“三高”入手：

（1）高在系統(tǒng)，從知識之間的相互聯(lián)系、前后關(guān)系入手. 高中數(shù)學(xué)知識看似一個個相互獨立，實際有著千絲萬縷的聯(lián)系. 比如，當(dāng)我們用“類比”的眼光看數(shù)學(xué)時，我們會發(fā)現(xiàn)：平面向量和空間向量有著從“二維”到“三維”變化的聯(lián)系；指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，有著極為密切的對稱關(guān)系；圓、橢圓、雙曲線、拋物線是不同截面對雙圓錐截取而得，也有著離心率逐漸變化的聯(lián)系.

（2）高在綜合，從學(xué)科之間的聯(lián)系入手. 培根說：“數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙.”幾千年來，凡是有意義的科學(xué)理論與實踐成就，無一例外地借助于數(shù)學(xué)的力量. 我們在教學(xué)過程中，應(yīng)該滲透這種思想，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的實用性與趣味性.

如在對數(shù)教學(xué)時，我們將無理數(shù)e=2.71828…稱為自然常數(shù)，該數(shù)是我們高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要常數(shù)，然而學(xué)生對其很難理解. 此時，如果我們將其具有的特性進(jìn)行闡述，學(xué)生將會非常樂于接受：數(shù)學(xué)家歐拉把

1+

=2.71828…記作e；e與對數(shù)螺線、阿基米德螺線、回旋螺線等有著密切關(guān)系，而正是這些螺線在自然界的應(yīng)用（如向日葵花盤、樹葉生長），才有了我們現(xiàn)在生存的美麗世界.

（3）高在生活，從知識應(yīng)用的角度入手. 越來越熱門的數(shù)學(xué)建模競賽，比的就是學(xué)生自身對于知識的應(yīng)用能力. 在我們高中教學(xué)中，我們也可以將建模思想逐漸滲透，既可以增加課堂的趣味性，又可以讓知識得到很好的運用.

在選修2-2《1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)》中的例3，就是一個很好的立足高處、應(yīng)用實際的問題：

如圖7，水以恒速（即單位時間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度h與時間t的函數(shù)關(guān)系圖像.

[?] 結(jié)束語

“要給學(xué)生一杯水，老師要有一桶水.” 這句話曾經(jīng)在教育界一度非常流行，意思是教師要比學(xué)生懂得更多、更豐富的知識，才有資格成為一名教書育人的老師. 但在信息高速發(fā)達(dá)、社會快速進(jìn)步的今天，這句話也給我們提出了更高的要求. 學(xué)無止盡，立足高處，敢于創(chuàng)新. 為了給學(xué)生更好的教育，讓我們教育工作者不斷努力，不斷學(xué)習(xí)，拓開思路，攜手共進(jìn).