高中數(shù)列概念教學(xué)中的邏輯與直覺

戴蓓蓓

[摘 要] 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要知識，數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建需要重視學(xué)生的直覺思維與邏輯思維. 利用數(shù)學(xué)故事創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境的關(guān)鍵，是體現(xiàn)其中的思維特征，因此對于學(xué)生熟悉的故事可讓他們自己去表述，以推動他們進(jìn)一步自覺運(yùn)用不同的思維方式；概念構(gòu)建的過程中要注意邏輯思維的運(yùn)用，而數(shù)列問題解決的過程中，則需要強(qiáng)化直覺思維決定解題方向，邏輯思維決定解題過程與結(jié)果的意識.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；數(shù)列概念；概念教學(xué)；思維方式

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思維往往受邏輯思維與直覺思維的支配，但由于這兩種思維方式有時(shí)協(xié)調(diào)不是太好，因此無論是在新知構(gòu)建過程中，還是在利用數(shù)列知識解題的過程中，總不能表現(xiàn)出很強(qiáng)的技巧，這也給數(shù)學(xué)教師帶來了困擾，不知道怎樣的教學(xué)才是有效的. 當(dāng)然，面對這一困難，同行們作出的探討也很多，筆者本文試圖從學(xué)生的思維方式的角度提出自己的見解.

從思維角度來尋找數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)的問題的解法，其在筆者看來是一種費(fèi)力但很直接的方式，因?yàn)閷W(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最需要的就是思維的支撐，數(shù)學(xué)本身也是思維的產(chǎn)物，尤其是高中數(shù)學(xué)，如果忽視了思維那將寸步難行. 但如果任憑學(xué)生的原有思維去自然發(fā)揮作用，其與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的要求往往又是不匹配的，因此研究思維方式，更多的是研究其如何促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 數(shù)列對于高中學(xué)生來說，既好玩，又難學(xué)，唯有梳理好思維，才能讓學(xué)生學(xué)習(xí)的思路更為清晰.

[?] 直覺思維打破學(xué)生的認(rèn)知平衡

在數(shù)列學(xué)習(xí)的最初階段，教師總喜歡用一些數(shù)學(xué)故事來作為引入，而筆者在對相關(guān)文獻(xiàn)作了簡單的統(tǒng)計(jì)之后，發(fā)現(xiàn)最常用的數(shù)學(xué)故事有兩個(gè)：一是數(shù)學(xué)家高斯小時(shí)候計(jì)算“1+2+3+4+…+100=？”的例子；二是一個(gè)國王賞賜立功大臣大米的例子，即在棋盤上按第一格放1粒大米，第二格放2粒大米，第三格放4粒大米，第四格放8粒大米……以此類推，直至棋盤放滿. 應(yīng)當(dāng)說這樣的例子之所以得到教師的喜愛，其中重要的原因就是這些例子不僅與數(shù)學(xué)知識密切相關(guān)，而且能夠迅速激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，應(yīng)當(dāng)說同時(shí)具備這兩個(gè)功能的數(shù)學(xué)例子還不多見，因此其受到歡迎也就順理成章了.

但是在實(shí)際教學(xué)中筆者卻注意到另一種現(xiàn)象，那就是對這些例子的使用其實(shí)并沒有達(dá)到更好的境界，這就使得這些例子的作用沒有能夠全部發(fā)揮. 這就如同中醫(yī)治病一樣，因?yàn)榛鸷虿粔?，使得中藥的功能不能全部發(fā)揮，這顯然是一件非常可惜的事情. 為什么筆者這么認(rèn)為呢？原因一，不少學(xué)生其實(shí)是聽說過這兩個(gè)數(shù)學(xué)故事的，對于高中數(shù)學(xué)教學(xué)來說，如果僅滿足于故事的直接呈現(xiàn)，那么對學(xué)生的興趣激發(fā)的作用其實(shí)是非常有限的；另一個(gè)更重要的原因是，如果只滿足于簡單呈現(xiàn)這兩個(gè)事例，而沒有學(xué)生的思維參與，那么對其后的數(shù)列知識的構(gòu)建也是沒有效果的.

那么，對于這兩個(gè)事例，如何有效地滲透思維含金量呢？筆者以為，或許可以這樣進(jìn)行：

其一，不妨讓學(xué)生來敘述這兩個(gè)數(shù)學(xué)故事. 學(xué)生不是知道這兩個(gè)故事嗎？不是在教師呈現(xiàn)這兩個(gè)故事的時(shí)候，有學(xué)生總表現(xiàn)出因?yàn)橐阎行┎恍家活檰?？那就讓學(xué)生來說. 這倒不是為了與學(xué)生較勁，而是教師必須知道，如果讓學(xué)生來敘述這兩個(gè)故事，那他們一定就要確保自己講的這個(gè)數(shù)學(xué)故事具有邏輯特征！這是最為關(guān)鍵的一點(diǎn)，這就意味著他們要通過思維的加工確保自己所說的故事在邏輯上是自洽的. 這對于學(xué)生來說就是一個(gè)挑戰(zhàn)了，因?yàn)榇饲八麄兟牴适聲r(shí)只是一種低水平的直覺思維，所得到的感覺也就是好玩；而現(xiàn)在需要邏輯思維的加工，需要他們對故事中的計(jì)算過程有所預(yù)測，這時(shí)就邏輯思維起作用了. 而且在實(shí)際教學(xué)中有一個(gè)技巧，那就是要給出一定時(shí)間讓所有學(xué)生進(jìn)行思考，不能急于叫某個(gè)學(xué)生起來回答，否則其他學(xué)生就會選擇不思考了. 本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，要的就是全員思考的效果.

其二，讓學(xué)生去比較兩個(gè)故事中的素材與計(jì)算過程的異同. 比較思維一定是學(xué)生學(xué)習(xí)中需要且必須常用的思維，因?yàn)楹芏嘟Y(jié)論其實(shí)都是比較的結(jié)果. 通過對這兩個(gè)數(shù)學(xué)故事的比較，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)高斯這個(gè)事例中所呈現(xiàn)的數(shù)的規(guī)則是自然數(shù)1至100的累加，是等差數(shù)列；而下棋事例中的數(shù)字則是一個(gè)等比數(shù)列. 盡管此時(shí)等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念還沒有出現(xiàn)，但本身這個(gè)比較的過程作為思維的一種方式，其就是服務(wù)于學(xué)生建構(gòu)這兩個(gè)數(shù)列概念的（兩個(gè)數(shù)列概念建立之后再分別實(shí)施教學(xué)）.

在這樣的過程中，將學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給了學(xué)生，而學(xué)生通過將低水平的直覺思維轉(zhuǎn)換為高水平的邏輯思維之后，他們就會在尋求邏輯自洽的過程中發(fā)現(xiàn)自己原來所了解的其實(shí)只是故事的情節(jié)，與數(shù)學(xué)無關(guān)，而正是這種感覺會讓學(xué)生的認(rèn)知失去平衡，從而驅(qū)動他們進(jìn)一步思考以尋求新的平衡. 正是因?yàn)檫@個(gè)過程，使得學(xué)生在建構(gòu)數(shù)列基本概念的時(shí)候能形成一個(gè)較好的基礎(chǔ).

[?] 邏輯思維撬動數(shù)列的有效建構(gòu)

在上面的闡述中其實(shí)已經(jīng)涉及了邏輯思維，這也是沒有辦法的事，因?yàn)樵趯W(xué)生的思考中，確實(shí)是做不到將不同的思維方式截然分開的. 但這里筆者還是想將其中的邏輯思維提取出來，以研究其對數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的作用.

在上面的兩個(gè)例子打開了數(shù)列的大門之后，教師有必要告訴學(xué)生：在數(shù)學(xué)中按一定順序排列的數(shù)就被稱為是數(shù)列. 而對數(shù)列的研究，可以讓數(shù)學(xué)的內(nèi)涵更為豐富. 這樣的簡單敘述基礎(chǔ)上，當(dāng)然必須讓學(xué)生接觸更多的數(shù)列——事實(shí)上，上面的闡述已經(jīng)暗示了自然界里存在的按一定順序排列的數(shù)是多樣的. 這里可以設(shè)計(jì)一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，即讓學(xué)生去尋找生活中存在的數(shù)列.

這個(gè)環(huán)節(jié)的實(shí)質(zhì)是讓學(xué)生通過邏輯推理的方式，由數(shù)列的定義出發(fā)建構(gòu)新的數(shù)列理解. 于是有學(xué)生提出：將1至100倒過來排列，那同樣可以得到一個(gè)數(shù)列；將1至100前面增加一個(gè)負(fù)號，也可以得到一個(gè)數(shù)列. 于是自然也就有人會問：這些數(shù)列相同嗎？教師則可以反問：這些數(shù)列是不是相同，不是教師說了算的，那要通過自己的思考去判斷！在這個(gè)要求的驅(qū)動之下，學(xué)生會進(jìn)一步思考：自己面前的這三個(gè)數(shù)列，要么從數(shù)的構(gòu)成上來看是不一樣的，要么排列順序是不一樣的，這種不一樣其實(shí)體現(xiàn)為數(shù)列中的某種規(guī)律不一樣，但是這種規(guī)律是什么呢？在學(xué)生思維到這一步的時(shí)候，他們往往是無法突破的，這個(gè)時(shí)候就需要教師提供幫助了. 筆者在這個(gè)時(shí)候，就是提醒學(xué)生：數(shù)列中的一些數(shù)常常表現(xiàn)出某種規(guī)律性，因此在表達(dá)數(shù)列的時(shí)候也常常會有一些具體的技巧，這種技巧就是用符號來表示數(shù)列，在此基礎(chǔ)上教師向?qū)W生提供首項(xiàng)、通項(xiàng)等概念，并從集合與函數(shù)的角度來給數(shù)列以進(jìn)一步的定義. 待到這一定義出現(xiàn)之后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來數(shù)列還可以進(jìn)行這種高度概括性的表述，于是對數(shù)列的理解就進(jìn)入了一個(gè)新的層次.

在此時(shí)，一個(gè)不可忽視的教學(xué)環(huán)節(jié)應(yīng)當(dāng)是給點(diǎn)讓學(xué)生去反思，新的數(shù)列理解是如何形成的，必須要讓學(xué)生認(rèn)識到在剛才的學(xué)習(xí)過程中其實(shí)已經(jīng)經(jīng)過了一番復(fù)雜的邏輯思考，因?yàn)樽约旱乃季S在不知不覺當(dāng)中已經(jīng)從幾個(gè)特殊的數(shù)列例子，變成了對數(shù)列的一般性描述，而這種從特殊到一般的思路，正是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式. 對于高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，這樣的總結(jié)時(shí)間是必要的，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)的一個(gè)關(guān)鍵.

當(dāng)然，此過程中用到的具體的邏輯思維的方式是不必明示的，因?yàn)樗季S本身通常就是數(shù)學(xué)教學(xué)的暗線，只需要學(xué)生在用這種思維方式即可.

[?] 問題解決中多思維的共同運(yùn)用

數(shù)列教學(xué)中遇到的另一個(gè)挑戰(zhàn)就是問題解決中相關(guān)知識的運(yùn)用，要讓學(xué)生在新知學(xué)習(xí)中形成的知識體系與能力有效地遷移到問題解決過程中去，這需要教師在精選習(xí)題以作為學(xué)生思維臺階的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步綜合學(xué)生的思維方式，以形成合力效果. 這里僅就邏輯思維與直覺思維作一闡述，至于另一種重要的思維方式——形象思維，則不贅述.

數(shù)列概念構(gòu)建完畢之后，最適宜呈現(xiàn)的自然就是與概念直接相關(guān)的數(shù)學(xué)問題. 比如，可以選擇這樣的一道習(xí)題：已知某等差數(shù)列{an}滿足a1+a2=10，a4-a3=2，求{an}的通項(xiàng)公式. 這樣的試題在教學(xué)中主要起的作用就是鞏固概念并向高層次問題過渡，通常不需要太多的時(shí)間，但不能忽視在問題解決過程中對學(xué)生思維的關(guān)注. 筆者通過觀察發(fā)現(xiàn)，此時(shí)學(xué)生遷移困難主要體現(xiàn)在通項(xiàng)公式的假設(shè)上，這是一個(gè)看起來奇怪但很正常的現(xiàn)象，因?yàn)椴簧賹W(xué)生確實(shí)缺少根據(jù)數(shù)學(xué)概念形成數(shù)學(xué)問題解決思路的能力，而筆者之所以強(qiáng)調(diào)思維方式，其實(shí)也就是強(qiáng)調(diào)這個(gè)過程中能力的形成. 教師必須讓學(xué)生知道，因?yàn)轭}目中明確指出了這是等差數(shù)列，因此我們（學(xué)生）的思維出發(fā)點(diǎn)，就應(yīng)當(dāng)是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，只有將題目中出現(xiàn)的信息與通項(xiàng)公式聯(lián)系起來時(shí)，才會有清晰的解題思路.

顯然，這種聯(lián)系必須是一種直覺思維，而后的計(jì)算等則是邏輯推理的結(jié)果，這樣的闡述背后，是直覺思維與邏輯思維在問題解決過程中的同時(shí)存在，前者決定解題方向，后者決定解題正確性. 再想想，是不是幾乎所有的數(shù)學(xué)問題都是這樣的？良好的解題一定是直覺思維決定方向，邏輯思維決定過程與結(jié)果，明白了這一點(diǎn)，以后的數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)的思路也就清晰了.