高中數(shù)學(xué)解題中向量方法的應(yīng)用研究

鐘桂珍

摘要：在目前我國(guó)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，向量方法解題被廣泛的應(yīng)用，甚至在物理學(xué)習(xí)中都有所涉及。向量方法不單單是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中較為重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，它也是作為一種常見(jiàn)的解題手段而存在。其數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，可以將多方面的知識(shí)連接在一起，更為直觀和形象的建立成為一個(gè)整體。本文作者通過(guò)閱讀大量資料和習(xí)題，著重分析高中數(shù)學(xué)解題中向量方法的使用，對(duì)于實(shí)際的向量方法教學(xué)有一定的參考意義。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；向量；應(yīng)用研究

一、向量解題方法對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的必要性：

1.加深學(xué)生理解 目前我國(guó)數(shù)學(xué)教育教材的設(shè)置，在高中以前的初中數(shù)學(xué)教育階段，主要涉及數(shù)學(xué)常量和變量的一些基礎(chǔ)知識(shí)，也是主要為高中包括后面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。高中數(shù)學(xué)中向量的學(xué)習(xí)則是在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)之上幫助學(xué)生初步構(gòu)建數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)知識(shí)體系，對(duì)于學(xué)生從初中數(shù)學(xué)意識(shí)向高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思路的轉(zhuǎn)型起到過(guò)渡作用?？梢杂行У募由顚W(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理解。

2.提升高中生解題能力 向量知識(shí)作為重要的解題方法存在，對(duì)于思維推理能力以及空間能力正在塑造過(guò)程中的高中生來(lái)說(shuō)，可通過(guò)簡(jiǎn)單、形象、直觀的表現(xiàn)方式，幫助學(xué)生快速解答問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生初步建立數(shù)學(xué)模型有一定的幫助。

3.數(shù)形結(jié)合，提升學(xué)生發(fā)散式思維 數(shù)形結(jié)合思維是向量解題方法中非常重要的部分。它可以將本身比較復(fù)雜和繁瑣的數(shù)字和文字描述，通過(guò)向量構(gòu)建成形象直觀的模型，并且結(jié)合命題數(shù)據(jù)展示出來(lái)。對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，在課程設(shè)計(jì)上面，要注重將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為概括性、抽象性等形式，再通過(guò)教師的思路引導(dǎo)，可以有效的幫助學(xué)生建發(fā)散式思維。

二、數(shù)學(xué)解題中影響向量解題法的一些因素分析：

數(shù)學(xué)解題過(guò)程中因素分析：在實(shí)際的解題過(guò)程中，影響向量解題法的因素眾多，本文將這些因素進(jìn)行了匯總和分析：

第一，情感因素。情感因素在高中生學(xué)習(xí)過(guò)程中占據(jù)重要位置。包括我們常見(jiàn)到的學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、愛(ài)好、學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力來(lái)源等等，這些對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)和解題過(guò)程起到主導(dǎo)作用。

第二，經(jīng)驗(yàn)因素。數(shù)學(xué)解題是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，其經(jīng)驗(yàn)因素主要體現(xiàn)在它對(duì)于學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)儲(chǔ)備、個(gè)人解題偏好、思路等方面也是有所要求的。

三、高中數(shù)學(xué)解題中向量方法的實(shí)際應(yīng)用

1.三角函數(shù)解題中向量的使用 三角函數(shù)同樣作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)知識(shí)，在結(jié)合向量方法解答三角函數(shù)問(wèn)題的時(shí)候，往往可以將問(wèn)題思路清晰直接的展現(xiàn)出來(lái)，使得解題過(guò)程變得更加輕松。

例：已知f（x）=2sin（x+π3），

（1）若向量，m=（cosx2，3cosx2），n（-cosx2，sinx2）并m//n。求f（x）的值。

（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范圍.

解答：（1）由m//n，可得cosx2sinx2=-3cosx2cosx2，所以cosx2=0。或tanx2=-3，所以x=2kπ+π或x=2kπ-2π3（kεZ），f（x）=-3.

因?yàn)椋?a﹣c）cosB=bcosC

由正弦定理可知2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，所以2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC。

2sinAcosB=sin（B+C），因?yàn)锳+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，且sinA≠0。 所以，cosB=12，B=π3

最后可得，f（A）的取值范圍為（0，2]。

這道例題就是典型的利用向量知識(shí)，結(jié)合三角函數(shù)正弦定理等知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用。

2.向量問(wèn)題在不等式中的實(shí)際應(yīng)用 求解不等式的問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用也是相當(dāng)?shù)膹V泛，但是在實(shí)際的解題過(guò)程中如果能夠很好的結(jié)合使用向量方法，往往可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程，提高解題效率，開(kāi)闊解題思路。

例題：應(yīng)用向量證明不等式√（a12+a22+a32）√（b12+b22+b32）≥|a1b1+a2b2+a3b3|

解答：

構(gòu)造向量m=（a1，a2，a3），n=（b1，b2，b3），

則m·n=（a1b1，a2b2，a3b3）.

故依向量模不等|m|·|n|≥|m·n|，得

√（a12+a22+a32）·√（b12+b22+b32）≥√（a1b1+a2b2+a3b3）2=|a1b1+a2b2+a3b3|.

故原不等式成立。

在不等式證明的問(wèn)題中，對(duì)一些變形技巧的應(yīng)用比較的廣泛，否則是很難進(jìn)行證明的。在實(shí)際的不等式證明過(guò)程中，如果能夠把一些數(shù)字裝換為向量，就能夠有效的將不等式中抽象的關(guān)系轉(zhuǎn)化成為更加形象具體的向量關(guān)系，幫助解答問(wèn)題。因此在實(shí)際的不等式解題中，如何找到向量切入點(diǎn)是很關(guān)鍵的。

3.利用向量解決幾何問(wèn)題 向量本身的方向和長(zhǎng)度是能夠代表實(shí)際的數(shù)值以及位置坐標(biāo)關(guān)系的。因此在解決幾何問(wèn)題的時(shí)候適當(dāng)?shù)募尤胂蛄拷忸}方法，可以直觀有效的建立解題模型，對(duì)于解題過(guò)程有很大的幫助。

例：已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為三角形ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于？（根號(hào)2/3）是以A1在底面投影O為原點(diǎn)建系，AO為X軸.設(shè)邊長(zhǎng)1，請(qǐng)講一下如何表示A，B1坐標(biāo)？

解答：設(shè)邊長(zhǎng)為6，延長(zhǎng)AO與BC交於D，則AD=3√3

由等邊三角形中心性質(zhì)可知OA=2√3，∴A（2√3，0，0）

AA1=6，勾股定理得OA1=2√6，∴A1（0，0，2√6）

BD=BC/2=3，OD=√3，且BD⊥AD

∴B（-√3，3，0）

∵A1B1∥=AB，∴A1B1→=AB→

設(shè)B1（x，y，z），則A1B1→=（x，y，z-2√6）

AB→=（-3√3，3，0）

∴B1（-3√3，3，2√6）

AB1→=（-5√3，3，2√6）

易證OA1→=（0，0，2√6）是面ABC的法向量

設(shè)AB1與面ABC所成角為θ，則sinθ=|cos|=|AB1→·OA1→|/|AB1→||OA1→|=|0+0+24|/[√（75+9+24）*√（0+0+24）]=√2/3

結(jié)束：通過(guò)上面的舉例分析，我們可以實(shí)際看到向量方法在高中數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用。因此對(duì)于向量方法的學(xué)習(xí)和使用，需要我們的教師切合實(shí)際的引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)放思維。從而不斷提高學(xué)習(xí)效率和質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

[1]李卓潔.關(guān)于向量在解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用研究[J].信息化建設(shè).2015年6月

[2]劉爽.高中數(shù)學(xué)解題中向量方法的應(yīng)用分析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究.2015年7月

（作者單位：江西省贛州市興國(guó)縣平川中學(xué) 342400）endprint