高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的變式訓(xùn)練探討

王旭

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)作為高中教學(xué)的重要組成部分，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好壞，不僅影響到學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，還關(guān)系到學(xué)生的高考，甚至今后的發(fā)展，高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性不言而喻。尤其是數(shù)學(xué)解題教學(xué)，不僅可以讓學(xué)生掌握更多的解題技巧，還可以提升學(xué)生的思維能力，已經(jīng)成為了高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)的重點(diǎn)。為了能夠?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)解題教學(xué)提供更多的參考，本文首先闡述了變式訓(xùn)練的基本概念，然后分析了高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中存在的問題，最后針對(duì)高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中變式訓(xùn)練的開展進(jìn)行了探討。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 解題教學(xué) 變式訓(xùn)練

對(duì)高中階段的學(xué)生而言，數(shù)學(xué)科目的學(xué)習(xí)對(duì)他們的影響至關(guān)重要，高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中一定要利用各種有效的教學(xué)方法傳授學(xué)生更多的解題技巧。變式訓(xùn)練的提出，能夠?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)解題教學(xué)提供更多的參考，通過變式訓(xùn)練，學(xué)生能夠從中獲取更多的解題思路，幫助學(xué)生解決問題的同時(shí)，也培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展。

一、變式訓(xùn)練的基本內(nèi)容分析

何為變式訓(xùn)練？所謂變式訓(xùn)練指的是數(shù)學(xué)教師對(duì)公式、定理、概念等數(shù)學(xué)命題進(jìn)行巧妙轉(zhuǎn)化，在不改變本質(zhì)因素的情況下，讓學(xué)生充分掌握數(shù)學(xué)中的本質(zhì)屬性，逐漸提升思維能力的過程，這就是變式訓(xùn)練。

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中存在的問題

1.數(shù)學(xué)教師教學(xué)觀念陳舊

受到傳統(tǒng)教學(xué)觀念的束縛，高中數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行教學(xué)的時(shí)候會(huì)受到高考功利的影響，關(guān)注的只是學(xué)生的考試成績(jī)以及排名，在學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和運(yùn)用方面重視程度嚴(yán)重不夠。其實(shí)，高中數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用性非常強(qiáng)的學(xué)科，尤其是涉及到應(yīng)用性以及邏輯性較強(qiáng)的知識(shí)內(nèi)容時(shí)，如果只傳遞給學(xué)生一定的理論知識(shí)，但不加強(qiáng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行實(shí)踐的話，學(xué)生將會(huì)認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常枯燥，再加上高中數(shù)學(xué)確實(shí)存在一定的難度，久而久之，學(xué)生將逐漸失去對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，最后無法運(yùn)用所學(xué)教學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際遇到的問題，從而不利于培養(yǎng)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)人才。

2.數(shù)學(xué)教師教學(xué)方式落后

在進(jìn)行教學(xué)的過程中，因?yàn)槭艿絺鹘y(tǒng)應(yīng)試教育觀念的束縛，許多高中數(shù)學(xué)教師的解題教學(xué)方式缺乏一定的科學(xué)性和合理性。在實(shí)際的教學(xué)過程中，高中教師仍然“單向式”地向?qū)W生傳授知識(shí)內(nèi)容，將自己視為教學(xué)的中心，忽視了學(xué)生的主觀感受，也忽視了學(xué)生的接受能力。在這種“滿堂灌”的教學(xué)形式下，學(xué)生只能被動(dòng)地接受知識(shí)的“洗禮”，聽從教師的指揮，按部就班地完成教師布置的教學(xué)任務(wù)，這種教學(xué)方式對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)將其不利。

三、變式訓(xùn)練在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

1.一題多變，提高學(xué)生解題的思維深度

一題多變是指將一道數(shù)學(xué)母題合理地演變出多道子題。高中數(shù)學(xué)教師在開展教學(xué)活動(dòng)的時(shí)候，可以選擇學(xué)生出錯(cuò)率較高的題型進(jìn)行講解，將其演變成具有不同解題思路和方法的數(shù)學(xué)題，培養(yǎng)學(xué)生從不同的角度思考問題，理解題目的意義，通過對(duì)改變的數(shù)學(xué)題目的聯(lián)系，提高學(xué)生的思維深度。所以，在實(shí)際教學(xué)操作的時(shí)候，數(shù)學(xué)教師一定要突破傳統(tǒng)教學(xué)觀念的限制，不能單純地為了解題而解題，而是要培養(yǎng)學(xué)生的解題思維，提升學(xué)生的應(yīng)變能力，讓學(xué)生在解題過程中學(xué)會(huì)舉一反三，為學(xué)生今后的發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

例如，面對(duì)這樣一道數(shù)學(xué)題：已知圓O的方程x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上一點(diǎn)M（x0，y0）的切線方程。高中數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行這道數(shù)學(xué)題的教學(xué)過程中，可以將這道母題變式成三道子題。

第一，已知M（x0，y0）在圓O：x2+y2=r2的內(nèi)部（異于圓心O），請(qǐng)求出直線x0x+y0y=r2和圓O總共有多少個(gè)交點(diǎn)？

第二，已知M（x0，y0）在圓O：x2+y2=r2的外部，那么直線x0x+y0y=r2代表的幾何意義是什么？請(qǐng)說明。

第三，已知M（x0，y0）在圓O：x2+y2=r2的內(nèi)部（異于圓心O），請(qǐng)證明：過M點(diǎn)的弦（直徑除外）的兩個(gè)端點(diǎn)在圓上兩切線的交點(diǎn)軌跡為直線x0x+y0y=r2。

在解決該題的時(shí)候，通過變式訓(xùn)練，讓學(xué)生能夠掌握如何求出過已知圓上一點(diǎn)的切線問題，數(shù)學(xué)教師根據(jù)學(xué)生的接收情況，從中總結(jié)出不同題目的相同規(guī)律，進(jìn)而提高學(xué)生的解題技巧，深化學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解。

2.一題多解，擴(kuò)展學(xué)生的思考范圍

一題多解是變式訓(xùn)練的另一種方法。通過一題多解，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維將會(huì)得到充分的激發(fā)，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中需要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)各已知條件之間的聯(lián)系，不要局限于對(duì)單一已知條件的思考，從而導(dǎo)致思維受到限制，無法展開，最終造成解題困難。其實(shí)，一題多變的解題方式，從名稱上便能得知，主要是訓(xùn)練學(xué)生解題的靈活性和發(fā)散性。

例如，在面對(duì)：如果sin2x+cosx+a=0存在實(shí)根，那么a的取值范圍是多少？的時(shí)候，我們可以嘗試多種解題方法。

第一，原方程sin2x+cosx+a=0可以變換成cos2x-cosx-1=a，假設(shè)a是為x的函數(shù)，從已知條件可以得到：cosx的取值范圍在-1至1之間，所以a=（cosx-1/2）2-5/4，若cosx為1/2的時(shí)候，a是最小值，此時(shí)a=-5/4；若cosx為-1的時(shí)候，a是最大值，此時(shí)a=1，。因此，該題中a的取值范圍為（-5/4，1），這表明如果a處在（-5/4，1）區(qū)間內(nèi)，cosx一定在（-1，1）之間取值，與x有實(shí)數(shù)根相對(duì)應(yīng)。

第二，假設(shè)cosx=m，原方程可以轉(zhuǎn)化為：1-m2+m+a=0，從而得到函數(shù)f（m）=-（m2-m+1/4）+5/4+a，如果方程有（-1，1）中的實(shí)數(shù)解，則說明二次函數(shù)f（m）的圖像在區(qū)間（-1，1）內(nèi)和m軸存在交點(diǎn)。然后，再結(jié)合圖形進(jìn)行解答，當(dāng)拋物線和m軸在（-1，1）區(qū)間內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f（-1）f（1）≤0的時(shí)候，也就是（1-a）（-1-a）≤0，此時(shí)可以得到a的取值范圍為（-1，1）；當(dāng)拋物線和m軸在（-1，1）區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)交點(diǎn)，并且a的取值范圍在（-5/4，-1）的時(shí)候，y=f（m）和m軸在（-1，1）內(nèi)存在交點(diǎn)，說明方程存在實(shí)數(shù)解。

3.多題歸一，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，基本上都是考察學(xué)生的理論知識(shí)應(yīng)用能力，盡管每次考試的題量非常多，但是都是考察學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的理解和應(yīng)用，通常都是在原有的數(shù)學(xué)規(guī)律和常規(guī)解題模式上進(jìn)行變化。高中數(shù)學(xué)教師在實(shí)際教學(xué)過程中，可以利用直線方程帶入圓錐曲線方程的方法，設(shè)計(jì)成考查一元二次方程知識(shí)的數(shù)學(xué)試題，也可以利用方程根和系數(shù)的關(guān)系改變成新的數(shù)學(xué)試題，但是萬變不離其宗，無論怎么變，考查的都是幾何基本方法的掌握，這就是數(shù)學(xué)解題教學(xué)多題歸一思想的具體體現(xiàn)。

例如，求出：x+2x2+3x3+4x4+…+nxn（x不為0）。

在解這道題的時(shí)候，先假設(shè){an}是一個(gè)等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)數(shù)列都為正數(shù)的等比數(shù)列，并且a1和b1都為1，a3與b5的和為21，a5與b3的和為13，（1）求出{an}和{bn}通項(xiàng)公式，（2）求數(shù)列{an/bn}的前n項(xiàng)和Pn。分析之后，我們不難發(fā)現(xiàn)，這道題運(yùn)用了“錯(cuò)位相減法”，如果數(shù)列{Rn}滿足Rn=an·bn，并且{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，那么數(shù)列{Rn}的前n項(xiàng)和可以使用“錯(cuò)位相減法”求出。

四、結(jié)語

總而言之，高中數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)具有一定的難度，再加上學(xué)生面臨高考的壓力，如果數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不理想，將會(huì)對(duì)學(xué)生的自信心造成嚴(yán)重打擊。因此，高中數(shù)學(xué)教師需要在進(jìn)行解題教學(xué)的過程中應(yīng)用變式訓(xùn)練的教學(xué)思路，提升學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生掌握更多的解題技巧，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的提升。

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