淺談數(shù)形結(jié)合思想之“以形助數(shù)”

李蕙琳

一、數(shù)形結(jié)合思想的起源

早在數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期，人們?cè)诙攘块L(zhǎng)度、面積和體積的過程中，就把數(shù)和形聯(lián)系起來了。我國(guó)宋元時(shí)期，系統(tǒng)地引進(jìn)了幾何問題代數(shù)化的方法，用代數(shù)式描述某些幾何特征，把圖形之間的幾何關(guān)系表達(dá)成代數(shù)式之間的代數(shù)關(guān)系。17世紀(jì)上半葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒以坐標(biāo)為橋梁，在點(diǎn)與數(shù)對(duì)之間、曲線與方程之間建立起來對(duì)應(yīng)關(guān)系，用代數(shù)方法研究幾何問題，從而創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。

二、數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)

數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來。這里的“數(shù)”指數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)公式及用語(yǔ)言文字表現(xiàn)的數(shù)量信息和呈現(xiàn)方式；“形”不僅僅指幾何圖形，還包括各類圖像、實(shí)物類教學(xué)資源等形象材料，以及用這些材料呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息的方式。

數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)重要方面。一方面，借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，給人以直覺的啟示。由于概念的抽象與概括性，教學(xué)時(shí)要向?qū)W生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在數(shù)小棒、搭多邊形中認(rèn)識(shí)整數(shù)，在等分圖形中認(rèn)識(shí)分（小）數(shù)；利用交集圖理解公因數(shù)與公倍數(shù)等等。另一方面，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，以獲得精確的結(jié)論。

三、數(shù)形結(jié)合思想在課堂教學(xué)中的滲透

例如，在教學(xué)《認(rèn)識(shí)因數(shù)》一節(jié)時(shí)，課初呈現(xiàn)了一串小球（12個(gè)）。請(qǐng)學(xué)生思考：如何才能做到“一份一份地?cái)?shù)，每份同樣多”且“數(shù)到最后，正好數(shù)完”？經(jīng)過思考，全班交流和動(dòng)手實(shí)踐，得出了可以一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，兩個(gè)兩個(gè)地?cái)?shù)……六個(gè)六個(gè)地?cái)?shù)……從而引發(fā)了對(duì)“因數(shù)”的認(rèn)識(shí)。

這一串小球就是數(shù)形結(jié)合思想中的“以形助數(shù)”最明顯的體現(xiàn)。

（1）它為認(rèn)識(shí)“因數(shù)”這一概念提供了直觀的教學(xué)資源。

（2）它為幫助學(xué)生理解因數(shù)是在整除背景上建立的，作了一個(gè)前期的鋪墊。（“正好數(shù)完”）

（3）它已經(jīng)暗示了學(xué)生找因數(shù)的具體方法：一對(duì)一對(duì)地找。（“3個(gè)3個(gè)地?cái)?shù)，數(shù)4次正好數(shù)完”）

在后來的教學(xué)中，這一串小球多次發(fā)揮它的作用。課后訪談時(shí)，很多同學(xué)提到這節(jié)課印象最深的就是這串小球。當(dāng)然，此時(shí)，在孩子們腦中的小球已經(jīng)不再局限于12個(gè)了。

在實(shí)施“如何把因數(shù)找全”這一教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)，我們還可以用到數(shù)軸?！霸跀?shù)軸上找出28的因數(shù)，什么時(shí)候就找全了？”這個(gè)最簡(jiǎn)單的一維幾何圖形，不僅在區(qū)間思維的角度上揭示出因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，一個(gè)數(shù)的最小因數(shù)與最大因數(shù)是誰(shuí)，而且為后來學(xué)習(xí)倍數(shù)的無限性以及公因數(shù)、公倍數(shù)的概念提供了一個(gè)好的工具，它的運(yùn)用使學(xué)生的思維水平又提高了一個(gè)層次。

小球和數(shù)軸，是工具，也是方法，教學(xué)中借助于這些有“形”的材料，才使得抽象的概念變得形象，無形的概念變得直觀。其實(shí)，這和心理學(xué)家張梅玲教授所提到的“實(shí)現(xiàn)圖像思維與符號(hào)思維的互動(dòng)”這一理念是一致的。

再如，在教學(xué)《雞兔同籠》一節(jié)時(shí)，我們會(huì)引導(dǎo)學(xué)生使用假設(shè)法的思路，這個(gè)方法對(duì)于邏輯思維能力差的同學(xué)會(huì)有難度。如果配合圖形來分析，就容易理解了。例如：雞兔同籠，上有5個(gè)頭，下有14只腳，問雞兔各幾只？我們把5只總量用圓圈來表示，把14只腳用線段來表示。

（1）假設(shè)5只都是雞。

（給每只雞“裝上”2只腳）

共裝了5×2=10只腳，

（2）此時(shí)，還剩14-10=4只腳，

（3）把剩余的這4只腳，2只一組全給“裝上”，此時(shí)有4只腳的就是兔。（2只）

我把這種方法叫“畫頭安腳”法，用它來輔助假設(shè)法的思路，學(xué)生更容易理解和掌握。

小學(xué)學(xué)段的數(shù)學(xué)書中，多次出現(xiàn)了線段圖——《分?jǐn)?shù)乘法》一章中幾乎每一個(gè)例題下面都配有線段圖。它和數(shù)軸一樣，是數(shù)形結(jié)合思想下最基本，最常用的思考工具。所以，在實(shí)施教學(xué)時(shí)，我很注重引導(dǎo)學(xué)生理解和使用這一工具。它的直觀、易操作性在分?jǐn)?shù)乘除法教學(xué)中起到了不可替代的作用：

（1）線段圖從“平均分”的角度強(qiáng)化了單位“1”的概念。

（2）線段圖直觀展示了數(shù)量之間的分率關(guān)系。不僅僅是多與少，而是更為細(xì)化的倍比關(guān)系，分率關(guān)系等。

（3）利用線段圖能解決更為復(fù)雜的綜合性問題。

由于學(xué)生對(duì)于線段圖的理解和使用情況參差不齊，所以在教學(xué)之初總要花掉大把的時(shí)間。但多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，這一模型一旦在學(xué)生的思維中建立起來，后續(xù)的教學(xué)就會(huì)變得很輕松了。

四、結(jié)語(yǔ)

以上所述只是在教學(xué)實(shí)踐中最普通的“以形助數(shù)”的案例，數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用極為廣泛，它實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形的結(jié)合，引發(fā)了抽象思維與形象思維的互動(dòng)，從而大大簡(jiǎn)化了解決問題的過程，成為15種數(shù)學(xué)思想之首。在教學(xué)中，要注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，既要用“形”來輔助“數(shù)”，又要用“數(shù)”來理解“形”，經(jīng)過長(zhǎng)期的滲透、訓(xùn)練，達(dá)到數(shù)與形的靈活轉(zhuǎn)化，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力。