高級(jí)數(shù)學(xué)思維及其培養(yǎng)策略（上）

鄧友祥

當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中，不少學(xué)生反映：為什么老師講的我都懂，但自己做就不會(huì)或一做就錯(cuò)呢？為什么有時(shí)感覺都會(huì)，但對(duì)而不全呢？為什么解答做過多次（甚至比較熟悉）的題，反而容易粗心出錯(cuò)呢？對(duì)此，擔(dān)任過多年江蘇省高考數(shù)學(xué)閱卷負(fù)責(zé)人的涂榮豹教授曾披露：“江蘇省數(shù)學(xué)高考近20年沒有幾個(gè)滿分考生，而零分考生卻是一大把。因?yàn)槔蠋煕]有把‘讓學(xué)生自己會(huì)做的方法教給學(xué)生，學(xué)生只是機(jī)械記憶解題方法?！盵1]喻平教授針對(duì)我國(guó)目前數(shù)學(xué)教育存在的問題，指出高級(jí)數(shù)學(xué)思維是一個(gè)值得研究的問題[2]。進(jìn)一步了解發(fā)現(xiàn)，目前數(shù)學(xué)教學(xué)中80%的時(shí)間都花在低級(jí)思維能力訓(xùn)練上，只有20%的時(shí)間學(xué)生才真正運(yùn)用高級(jí)思維能力。大多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)教師的依賴程度較高，學(xué)生雖進(jìn)行了大量數(shù)學(xué)練習(xí)，方法技巧掌握了一大堆，但其數(shù)學(xué)思維更多地處于低級(jí)水平。此外，教師也未必清楚學(xué)生的數(shù)學(xué)思維狀況，僅憑自己的經(jīng)驗(yàn)、直覺，甚至主觀臆斷強(qiáng)化學(xué)生的解題訓(xùn)練。這就使得學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏深層次的思考，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率和水平普遍不高，到了中學(xué)階段（高中尤為明顯）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)顯得后勁（數(shù)學(xué)思維）不足。許多學(xué)生可能直到大學(xué)都無(wú)法發(fā)展出高級(jí)思維能力。由此看來(lái)，加強(qiáng)高級(jí)數(shù)學(xué)思維的研究，對(duì)提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率和學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平具有十分重要的意義。

1高級(jí)數(shù)學(xué)思維的基本內(nèi)涵

高級(jí)數(shù)學(xué)思維是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)理應(yīng)具備的重要數(shù)學(xué)素養(yǎng)。目前，國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)教育界與此類似的提法還有“高層次數(shù)學(xué)思維”“高等層次數(shù)學(xué)思維”等，西方研究者還提出了“高層次數(shù)學(xué)思維能力”的概念。但其實(shí)質(zhì)都是指學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中發(fā)生的（相對(duì)其現(xiàn)有數(shù)學(xué)思維水平）較高層次的思維。目前數(shù)學(xué)教育界對(duì)這個(gè)概念的內(nèi)涵界定還不清晰。研究高級(jí)數(shù)學(xué)思維，必須要對(duì)高級(jí)思維有所了解。

1.1高級(jí)思維的研究現(xiàn)狀

高級(jí)思維是相對(duì)于低級(jí)思維而言的，其研究大多是在布盧姆、斯騰伯格、弗拉維爾等理論的基礎(chǔ)上展開的。

當(dāng)前，關(guān)于高級(jí)思維的研究雖存在多種具有較高認(rèn)可度的界定，但這些解釋是基于不同的理念，存在顯著差異。如Resnick認(rèn)為高層次思維這個(gè)術(shù)語(yǔ)抵制精確形式的定義，因?yàn)樗囊恍╆P(guān)鍵特征無(wú)法定義得非常準(zhǔn)確，但是當(dāng)高層次思維能力在實(shí)踐中發(fā)生時(shí)卻能夠被識(shí)別出來(lái)[3]。又如，Lewis和Smith從心理學(xué)的視角對(duì)高層次思維的定義是[4]：高層次思維發(fā)生在當(dāng)個(gè)體需要將新知識(shí)和已有知識(shí)建立聯(lián)系，或者改變及拓展這些知識(shí)來(lái)達(dá)到一個(gè)復(fù)雜的認(rèn)知目的，或者在復(fù)雜的情境中發(fā)現(xiàn)可能的答案。這兩種界定，理論性均較強(qiáng)，不便于一線教師理解和掌握。

目前，得到一線教師廣泛認(rèn)同的是依據(jù)布盧姆教育目標(biāo)分類學(xué)對(duì)高層次思維的界定，其將認(rèn)知領(lǐng)域的教育目標(biāo)分為六級(jí)[5]：知道、領(lǐng)會(huì)、運(yùn)用、分析、綜合和評(píng)價(jià)。通常，前三者稱為低級(jí)思維能力，后三者稱為高級(jí)思維能力。但此種分類并非是從思維深度上劃分的，也不夠準(zhǔn)確和全面。

由此看來(lái)，高級(jí)思維的研究尚存在差異，要對(duì)高級(jí)數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵進(jìn)行科學(xué)合理的界定，同時(shí)又有助于一線數(shù)學(xué)教師理解、掌握和應(yīng)用，顯然不是一件易事。筆者認(rèn)為，此項(xiàng)工作的開展，前提是必須在理論研究的基礎(chǔ)上加強(qiáng)實(shí)證研究，對(duì)數(shù)學(xué)思維作出深度的層次劃分。

1.2數(shù)學(xué)思維層次的劃分

1959年，荷蘭數(shù)學(xué)教育家赫爾經(jīng)過研究，提出學(xué)生的幾何思維發(fā)展可分為視覺期、描述期、關(guān)系期、推理期、公理期等逐級(jí)升高的五個(gè)層次[6]：只能按圖形形狀來(lái)區(qū)分———能對(duì)認(rèn)識(shí)的圖形形狀加以分析———邏輯地認(rèn)識(shí)幾何圖形———整體上理解演繹法的意義———超出對(duì)理論的任何具體解釋而發(fā)展理論。

1974年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家A.A.斯托利亞爾在此基礎(chǔ)上，提出代數(shù)（包括算術(shù)）領(lǐng)域也可相應(yīng)分為五種思維水平層次[6]：認(rèn)為數(shù)與它所表征的具體對(duì)象的集合是不可分割的，運(yùn)算是直接在對(duì)象集合上進(jìn)行的———數(shù)由它們所表征的集合對(duì)象中抽象出來(lái)，運(yùn)算的性質(zhì)是歸納地建立起來(lái)的———實(shí)現(xiàn)了由數(shù)字表示的具體數(shù)到抽象的字母表示的過渡，局部地實(shí)現(xiàn)了數(shù)的性質(zhì)的邏輯整理———在給定的具體解釋下，能演繹地建立整個(gè)代數(shù)———舍棄了計(jì)算對(duì)象的具體性質(zhì)、運(yùn)算的具體含義，并將代數(shù)建立成不作任何解釋的抽象演繹體系。

基于上述理論研究，筆者曾在十多所中小學(xué)校，采用實(shí)驗(yàn)法、觀察法、個(gè)案研究法、問卷調(diào)查法、行動(dòng)研究法、文獻(xiàn)研究等方法，就學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新思維、情緒智力（情商）、數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的層次等進(jìn)行了多年實(shí)證研究。研究表明，中小學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)水平可以劃分為直觀水平、直覺水平、經(jīng)驗(yàn)水平、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)水平、邏輯水平、方法論水平等六個(gè)層次；學(xué)生自知力、自控力的強(qiáng)弱程度與正確數(shù)學(xué)觀念的建立、良好思維習(xí)慣等數(shù)學(xué)素質(zhì)的養(yǎng)成密切相關(guān)；學(xué)生自激力、移情力、駕馭力的強(qiáng)弱程度對(duì)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)熱情和數(shù)學(xué)交流的積極性、主動(dòng)性有直接影響[7～12]。

據(jù)此并結(jié)合我國(guó)實(shí)際，筆者認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)思維必須要經(jīng)歷直觀到抽象、有形到無(wú)形、外在到內(nèi)在、非邏輯到邏輯的過程。具體可將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維分為如下五個(gè)層次（由低到高）。

第一層次：視覺期。學(xué)生只能認(rèn)識(shí)眼前有形的、實(shí)在的事物，不能判斷概念的屬種等邏輯關(guān)系。此時(shí)，數(shù)與運(yùn)算的認(rèn)識(shí)還離不開其所表征的具體對(duì)象的集合，幾何圖形的認(rèn)識(shí)僅憑視覺整體觀察，只會(huì)按其形狀（尚未加以分析）來(lái)區(qū)分。

第二層次：描述期。學(xué)生能依據(jù)已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，將欲認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)對(duì)象從其所表征的具體對(duì)象中抽象出來(lái)，但不能得到數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)概念可從其所表征的具體對(duì)象中抽象出來(lái)，數(shù)學(xué)規(guī)則（法則、公式、性質(zhì)、定律等）是歸納地建立起來(lái)的，但不能理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的邏輯關(guān)系。

第三層次：關(guān)系期。學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)有時(shí)仍需一定的經(jīng)驗(yàn)，但能接受并使用定義，能認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)規(guī)則之間的邏輯關(guān)系，通過分析作一些簡(jiǎn)單的非正式推理，局部地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯整理，但不能從整體上理解演繹法的意義。

第四層次：推理期。學(xué)生不再僅憑經(jīng)驗(yàn)、觀察得出結(jié)論，習(xí)慣于強(qiáng)調(diào)定義（界定概念），能綜合分析和運(yùn)用已有知識(shí)通過邏輯推理建立定律、定理等數(shù)學(xué)知識(shí)，能建構(gòu)命題的證明過程，在整體上理解演繹法的意義。

第五層次：公理期。學(xué)生能理解數(shù)學(xué)知識(shí)體系及抽象性，合理評(píng)判并舍棄對(duì)象的具體性質(zhì)和其間關(guān)系的具體含義，超出對(duì)理論的任何具體解釋而發(fā)展理論，在不同的公理系統(tǒng)下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟?shù)學(xué)知識(shí)并能分析、比較這些系統(tǒng)。

上述各層次的發(fā)展是循序漸進(jìn)的，任何教學(xué)法都不可能讓學(xué)生跳過某一層次而直接達(dá)到高一級(jí)層次，但過渡之后有時(shí)仍需回到較低水平以便更好地理解它們，思維層次的進(jìn)步往往依賴于教學(xué)而非年齡的增長(zhǎng)。實(shí)踐表明，就目前我國(guó)絕大多數(shù)學(xué)生而言，小學(xué)一、二年級(jí)達(dá)到第一層次水平，小學(xué)三至六年級(jí)達(dá)到第二層次水平，初中達(dá)到第三層次水平、局部達(dá)到第四層次水平，高中達(dá)到第四層次水平，第五層次水平目前在中小學(xué)任何階段較難實(shí)現(xiàn)。

值得說(shuō)明的是，上述關(guān)于數(shù)學(xué)思維劃分的五個(gè)層次中所涉及的關(guān)鍵要素，與當(dāng)前《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的“高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既有獨(dú)立性，又相互交融，形成一個(gè)有機(jī)整體”有較高的吻合度。

1.3高級(jí)數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵界定

要對(duì)高級(jí)數(shù)學(xué)思維概念的內(nèi)涵作出較為科學(xué)合理的界定，除了基于上述數(shù)學(xué)思維層次劃分來(lái)進(jìn)行以外，還必須基于數(shù)學(xué)思維概念來(lái)界定。所謂數(shù)學(xué)思維，就是以空間形式和數(shù)量關(guān)系為思維對(duì)象，以數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)為思維載體，以認(rèn)識(shí)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維[13]。

至此，我們雖難以對(duì)高級(jí)數(shù)學(xué)思維的概念給出一個(gè)十分準(zhǔn)確的定義，但仍可將其內(nèi)涵界定如下：高級(jí)數(shù)學(xué)思維是指人腦在與數(shù)學(xué)對(duì)象（空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系）交互作用的過程中，以認(rèn)識(shí)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的，合理運(yùn)用抽象思維結(jié)構(gòu)，經(jīng)過分析與綜合，將信息整合為一個(gè)完整體系，并能進(jìn)行合理評(píng)判的內(nèi)在理性活動(dòng)。

2高級(jí)數(shù)學(xué)思維的核心要素

從操作層面來(lái)看，要有助于一線數(shù)學(xué)教師深入理解、掌握和應(yīng)用，并能有效培養(yǎng)學(xué)生的高級(jí)數(shù)學(xué)思維，必須明確其核心要素。這就有必要先弄清高級(jí)思維過程所包含的內(nèi)容。對(duì)此，心理學(xué)家爭(zhēng)論了幾十年，基本達(dá)成了共識(shí)[14]：從信息獲得的角度看，高級(jí)思維體現(xiàn)為簡(jiǎn)單識(shí)記層面上的篩選、估計(jì)、信息價(jià)值的評(píng)估等，與布盧姆提出的分析、綜合、評(píng)價(jià)密切相關(guān)；從信息加工的角度看，高級(jí)思維體現(xiàn)為領(lǐng)會(huì)、理解層面之上的分析、綜合等，并能夠跨越知識(shí)門類限制實(shí)現(xiàn)廣域范圍的信息統(tǒng)合；從思維監(jiān)控的角度看，高級(jí)思維注重更強(qiáng)的元認(rèn)知能力，要求個(gè)體習(xí)慣于對(duì)整個(gè)思維過程進(jìn)行高位的監(jiān)控和評(píng)價(jià)。

基于上述共識(shí)，依據(jù)高級(jí)數(shù)學(xué)思維概念的基本內(nèi)涵，從其深度剖析，高級(jí)數(shù)學(xué)思維應(yīng)包括如下核心要素。

（1）邏輯分析。即能將要學(xué)習(xí)或研究的數(shù)學(xué)對(duì)象分解成若干組成因素和組成部分，以便弄清各種觀念的有關(guān)層次或其間的邏輯關(guān)系。

（2）信息表征。指能將各種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（或研究）要素組成一個(gè)有機(jī)整體，以構(gòu)成更為清楚的模式或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)加以存儲(chǔ)，并通過適當(dāng)方式表達(dá)出來(lái)。

（3）資源調(diào)配。就是能針對(duì)所要學(xué)習(xí)或研究的對(duì)象，合理調(diào)動(dòng)其大腦已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)信息，并將之與學(xué)習(xí)或研究對(duì)象發(fā)生有機(jī)聯(lián)結(jié)與作用，從而有助于形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（4）策略選擇。指能針對(duì)所要解決的問題，在綜合判斷和信息資源調(diào)配的基礎(chǔ)上，選擇合理的問題解決策略。

（5）思維監(jiān)控。為確保達(dá)到預(yù)期目的，能在思維過程中將思維個(gè)體作為意識(shí)對(duì)象，不斷對(duì)其進(jìn)行積極主動(dòng)定向、控制和調(diào)節(jié)。

（6）合理評(píng)判。指為了一定的目的，對(duì)某些觀念和方法等的價(jià)值作出判斷與評(píng)價(jià)。評(píng)判是最高水平的認(rèn)知學(xué)習(xí)結(jié)果，也是批判性思考的核心內(nèi)容，包含根據(jù)內(nèi)部準(zhǔn)則判斷和依據(jù)外部準(zhǔn)則判斷兩方面的內(nèi)容，其高級(jí)形式是思辨、多元思考[5]。

3高級(jí)數(shù)學(xué)思維的主要特征

心理學(xué)研究表明，對(duì)任何個(gè)體而言，都有高級(jí)思維與低級(jí)思維之分。如何正確區(qū)分學(xué)生所表現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思維是高級(jí)的還是低級(jí)的，是廣大一線數(shù)學(xué)教師面臨的不可回避的現(xiàn)實(shí)問題。區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)思維是高級(jí)還是低級(jí)雖沒有絕對(duì)的標(biāo)準(zhǔn)，但不能單純以年齡大小或數(shù)學(xué)思維水平層次高低來(lái)論。筆者認(rèn)為，就某個(gè)具體問題而言，學(xué)生只要能在某一點(diǎn)上超越其現(xiàn)有數(shù)學(xué)思維水平，此時(shí)其數(shù)學(xué)思維都可認(rèn)為是高級(jí)的。通俗地說(shuō)，能引發(fā)深入數(shù)學(xué)思考并能促進(jìn)思維水平層次提升的思維就是高級(jí)數(shù)學(xué)思維，那些不需要多少努力就能完成的思維是低級(jí)數(shù)學(xué)思維。具體判斷時(shí)，可參照如下主要特征。

3.1邏輯性

既然高級(jí)數(shù)學(xué)思維強(qiáng)調(diào)分析、綜合與評(píng)價(jià)，以及對(duì)抽象思維結(jié)構(gòu)的利用，那么其必然表現(xiàn)出較強(qiáng)的邏輯性。這一特征要求數(shù)學(xué)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)思考，促其依據(jù)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)則和相關(guān)程序步驟，通過邏輯推理得出科學(xué)結(jié)論。

3.2整體性

具有高級(jí)數(shù)學(xué)思維能力的學(xué)生，往往善于從層次、關(guān)系、類別及系統(tǒng)等角度看待事物，并將所獲得的信息整合為一個(gè)完整體系，這是一種整體結(jié)構(gòu)觀。這一特征要求數(shù)學(xué)教學(xué)要確立整體聯(lián)系觀，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的區(qū)別和聯(lián)系，幫助學(xué)生把頭腦里的知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)清晰、融會(huì)貫通的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

3.3批判性

批判性是一種基于充分的理性和客觀事實(shí)而進(jìn)行理論評(píng)估與客觀評(píng)價(jià)的能力。學(xué)生只有具備較強(qiáng)的批判性思維能力，其思維才可能表現(xiàn)為較高層次水平。這一特征要求數(shù)學(xué)教學(xué)要重視引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行批判性回顧，實(shí)施多層次變式訓(xùn)練，不斷提高學(xué)生的合理評(píng)判能力。

3.4自控性

學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)或研究對(duì)象作出合理分析與邏輯判斷，有時(shí)需要涉及理性之外的認(rèn)識(shí)、意識(shí)、心理等非理性因素[15]。這就要求學(xué)生進(jìn)行高級(jí)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)時(shí)，要具有辨別是非及控制自己數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為的能力，這種能力的體現(xiàn)就是自控性。

3.5反省性

實(shí)踐研究表明，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的角度出發(fā)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)進(jìn)行深入研究，重視引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我反省，以達(dá)到有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力及提高數(shù)學(xué)教學(xué)整體水平的目的[16]。這就是說(shuō)，具有高級(jí)數(shù)學(xué)思維能力的學(xué)生，往往有較強(qiáng)的辨析力和良好的批判性數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，在平時(shí)學(xué)習(xí)中能自覺反思自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為與結(jié)果。

（待續(xù)）