矩陣論教學改革探索

杜海順+李國棟

摘要：矩陣論是控制科學與工程學科的一門碩士研究生學位課程，具有很強的理論性。本文針對該課程的特點，從教學內容、教學方法與手段等方面進行了教學改革探索。教學實踐表明，改革后的教學模式能夠調動學生學習積極性和主動性，取得教學相長的教學效果。

關鍵詞：矩陣論；教學內容；教學方法與手段；教學改革

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）32-0080-02

矩陣論是我?？刂瓶茖W與工程學科開設的一門碩士研究生學位課程。本課程以線性代數和微積分為基礎，全面講述了線性空間及線性空間上的線性映射、矩陣分解、Hermite矩陣與正定矩陣、范數和極限、矩陣函數與矩陣值函數、廣義逆矩陣等內容。通過本課程的教學，培養(yǎng)研究生在有限維線性空間框架下分析和解決工程實際問題的能力，進一步激發(fā)研究生的學習主動性、積極性和科研興趣。本課程理論性很強，教學內容具有高度的抽象性和概括性。學生在學習時容易感到枯燥無味，進而失去學習興趣。然而，矩陣論作為工科研究生的一種基本數學工具，在各個研究領域都有著廣泛的應用。在工程技術中引入矩陣理論不僅能使問題的表達更加簡潔，而且對問題本質刻畫也更為深刻。為此，本文通過對已有教學成果的集成、整合和研究，并結合我校研究生教育教學改革的思路，重點從教學內容、教學方法與手段等方面進行教學改革探索，以達到提高課程教學質量，增強學生學習興趣，提高研究生應用矩陣相關理論解決工程實際問題的能力，實現教學相長的教學效果。

一、課程教學內容改革

根據控制科學與工程學科特點，精選恰當的教學內容是提高課程教學質量的關鍵。在控制科學與工程學科領域內，幾乎涉及到了矩陣論的所有分支。然而，我校矩陣論課程僅有36學時，不可能學完矩陣論的所有內容。因此，必須精選一些重要的內容作為課堂教學內容。此外，矩陣論中的某些內容在本科線性代數課程中已經學過。為了避免重復教學，在挑選內容時必須具有新意和較高的難度。為此，我們制定了“重要、實用、先進”的原則，并在這一原則指導下，制定了教學大綱，確定了教學內容。目前，我們將線性空間及線性空間上的線性映射、矩陣分解、Hermite矩陣與正定矩陣、范數和極限、矩陣函數與矩陣值函數、廣義逆矩陣作為主要課堂教學內容。確定了課堂教學內容后，我們又將課堂教學內容分為詳講和略講兩個層次。比如，對于線性空間及線性空間的線性映射、Hermite矩陣與正定矩陣、范數和極限、矩陣函數的微分等詳講內容，我們分配了24個學時，在課堂上詳細講解其理論意義、定理證明和相關方法；對于矩陣分解、矩陣函數與矩陣值函數、廣義逆矩陣等略講內容，我們分配了12個學時，在課堂上僅簡要介紹其思想和相關方法。在課堂教學中，我們不僅講授矩陣論的相關理論，還非常注重對理論的工程應用介紹。例如，在講解矩陣特征值問題時，我們會介紹矩陣特征值在線性定常系統中就是系統的極點，可以用其來確定控制系統的穩(wěn)定和可控性；在講解線性空間基的概念時，我們會介紹基在子空間學習中的應用實例；在講解矩陣奇異值分解時，我們會給出奇異值分解在圖像壓縮的應用實例；在講解矩陣微分時，我們會給出其在非負矩陣分解中的應用實例等。通過這些實例簡介，使學生對矩陣理論有了直觀的認識，從而提高了學生的學習興趣，同事也有助于學生在以后的科研工作中更好地理解和應用相關矩陣理論知識。在課堂教學中，我們還會對教學內容進行及時地更新，補充矩陣理論的新方法和最新研究成果。我校矩陣論課程的主講教師，都是活躍在科研第一線的科研工作者。我們總是會及時地把與課程內容相關的最新理論、方法和技術介紹給學生。不僅如此，我們有時也會把自己的、與矩陣論課程內容有關的最新科研成果，拿到課堂上作為實例講解，使學生能更深入地了解導師的研究方向與該課程的聯系，從而產生濃厚的學習興趣。此外，我們還將數學建模與數學軟件引入了課堂教學中。數學建模是將工程實際問題表達為數學模型的關鍵，是學生運用數學相關理論和方法解決實際工程問題的前提?？茖W計算已成為現代科研的重要手段之一，掌握常用的科學計算軟件是一個工科研究生應具備的基本條件。因此，在矩陣論課堂教學中，我們會介紹一系列的計算軟件，如Malab，Maple，Ansys，SAS等。尤其是Matlab，它將矩陣的計算、分析、可視化編程多個功能集成起來，豐富的函數庫幾乎覆蓋了矩陣論的所有分支。在整個教學過程中，我們都采用Matlab輔助教學，并要求學生能夠用Matlab完成部分課后作業(yè)。

二、課程教學方法與手段改革

1.以問題驅動教學，培養(yǎng)研究生問題意識。問題驅動教學法是一種以學生為主體、以學生研究領域內的問題為起點，讓學生圍繞相關問題尋找答案的一種教學方法。這種教學方法中的主講教師，僅充當問題的設計者、過程的組織者及結果的評估者。這種教學方法能顯著提高學生學習主動性，培養(yǎng)學生的問題意識。在整個教學過程中，學生處于主動地位，因此有著濃厚的學習興趣。我們在設計問題時，總是緊緊圍繞教學目標。設計的問題大多是學生科研領域內的常見問題，由易及難，由淺入深，循序漸進，既不讓學生感到突兀，自信心受挫，又能引導學生積極思考，提高學生分析和解決問題的能力。例如，在第一次課上，我們講解過線性空間的基本概念后，會設計如下的一些問題：“在大家研究的領域內，那些可以用線性空間描述？”“這些線性空間，如何表述？”等等。此外，我們還按學生的研究方向，3—5人分成一組，給他們提出一些應用性的工程問題，并要求他們在學術刊物或者參考書中尋找解決方案。對于學生給出的解決方案，我們會在課堂上進行討論，最后給出評價以及改進方案。

2.充分利用網絡資源，多樣化教學。在矩陣論課程教學過程中，我們充分利用信息時代交流方式的多樣性，通過門戶網站、微信平臺等多種方式，為學生提供學習咨詢和學習指導服務。在我們的門戶網站上，專門設置有“學習心得”、“資料下載”、“經典應用案例”等模塊，通過這些模塊，學生可以將自己的心得體會拿出來與大家分享，也可以下載期刊論文、參考書、軟件等資料，還可以瀏覽與課程有關的實際工程案例。通過微信平臺，我們和學生可以隨時隨地交流，解決有關課程的相關疑難問題。這種多樣化的交流方式，能夠有效地將老師與學生緊密地聯系起來，及時解決學生在科研工作中遇到的數學難題。此外，我們還探索了微課、慕課等授課方式。微課一般時間在20—30分鐘。這種授課方式能夠在有限的時間內突出重點和難點，教學效果良好；慕課可以在門戶網站上保存課堂視頻。如果學生在課堂上有問題沒聽明白，可以將課堂視頻下載下來再次學習。此外，我們還嘗試了交互式教學方法。課前預先指定某個學生講解某一部分內容，并提出具體明確的要求。課堂上，讓該生走上講臺，闡述對該部分內容的理解并與其他學生討論交流，我們再對共同的疑難問題做補充講解。

3.滲透科研思想，培養(yǎng)研究生獨立科研能力。研究生課程教學是影響研究生創(chuàng)新能力的一個重要因素。由于研究生已經具備了較強的自學能力、分析與解決問題能力，因此，研究生課程教學不能像本科生教學那樣，教學內容局限于某一兩本參考書，教師講學生聽，缺乏培養(yǎng)學生研究能力的環(huán)節(jié)。在矩陣論課程教學中，為了培養(yǎng)學生的獨立科研能力，我們每周都會要求學生至少閱讀1篇與課程相關的學術論文，并分組研討。在課堂上，我們會選出1—2名學生對閱讀的學術論文做出總結歸納，提出自己的觀點和問題，與同學們進行課堂分析討論。通過這種方式，不僅加深了學生對課程知識的理解，還培養(yǎng)了學生的文獻閱讀能力、發(fā)現和解決理論問題的能力，從而達到鍛煉培養(yǎng)學生科研思維能力的目的。

三、結束語

近幾年來，我們通過對矩陣論課程在教學內容、教學方法與手段等方面的改革探索，使教學內容更加合理、教學方法更加科學、教學手段更加豐富，提高了教學質量，取得了不錯的教學效果。

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