國(guó)際與國(guó)內(nèi)高中數(shù)學(xué)課程教材內(nèi)容的比較研究

溫小英

摘 要：國(guó)內(nèi)高中數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容少而精，對(duì)知識(shí)理論的掌握程度要求高，注重公式的精確應(yīng)用和抽象邏輯思維的訓(xùn)練；國(guó)際高中數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容廣而泛，跟實(shí)際生活聯(lián)系很緊密，注重知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，注重批判性和發(fā)散性思維的訓(xùn)練。

關(guān)鍵詞：國(guó)際高中 數(shù)學(xué)課程 數(shù)學(xué)教材

一、問(wèn)題的提出

近年來(lái)，國(guó)際教育熱愈演愈烈，國(guó)際課程被紛紛引進(jìn)，國(guó)際高中數(shù)學(xué)課程可以說(shuō)是最熱門的引進(jìn)課程，引進(jìn)的教材版本也各不相同，但內(nèi)容和風(fēng)格差不多。引進(jìn)的這些數(shù)學(xué)課程教材跟國(guó)內(nèi)的數(shù)學(xué)課程教材在內(nèi)容的呈現(xiàn)方式上有什么不同呢？它對(duì)學(xué)生的思維方式的訓(xùn)練能起到什么作用呢？本文將結(jié)合本人的工作經(jīng)歷對(duì)國(guó)際與國(guó)內(nèi)高中數(shù)學(xué)課程教材做簡(jiǎn)要的比較分析。[1]

二、國(guó)內(nèi)與國(guó)際高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的對(duì)比分析

筆者從事國(guó)際高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)七年有余，對(duì)國(guó)際O-LEVEL，A-LEVEL，SAT及IB數(shù)學(xué)教材有比較深入的研究，同時(shí)也將它們與國(guó)內(nèi)普通高中的數(shù)學(xué)教材作了一番比較，發(fā)現(xiàn)國(guó)際數(shù)學(xué)教材的主要特點(diǎn)有：內(nèi)容比較具體，覆蓋面比較廣，跟實(shí)際生活的聯(lián)系很緊密，問(wèn)題的設(shè)置上也比較直觀，不需要很強(qiáng)的理論技巧。不需要很復(fù)雜的抽象思維，很少有復(fù)雜抽象的證明，更多的是形象有趣的生活應(yīng)用。[2]

國(guó)際課程標(biāo)準(zhǔn)明確強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要保證學(xué)生變成有自信，有創(chuàng)新性的數(shù)學(xué)應(yīng)用型人才和交流者；能夠探究、呈現(xiàn)以及解釋工作中和生活中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，而大數(shù)學(xué)家華羅庚也一針見(jiàn)血地分析過(guò)：“人們對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生枯燥無(wú)味、神秘難懂的印象，原因之一是數(shù)學(xué)教學(xué)脫離了實(shí)際.也許正是基于這些理念，國(guó)外的高中數(shù)學(xué)課程教材特別接地氣，內(nèi)容圖文并茂，栩栩如生，涵蓋了很多的生活場(chǎng)景，融入了很多國(guó)外的文化特色，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活的思想。

以下以加拿大11年級(jí)教材---預(yù)微積分（pre-calculas）和國(guó)內(nèi)高中數(shù)學(xué)必修4的教材做簡(jiǎn)要比較分析。[3]

1.理論呈現(xiàn)和應(yīng)用（以三角函數(shù)求值為例）

（1）教材內(nèi)容展示

國(guó)內(nèi)必修4數(shù)學(xué)教材（原文片段）：三角函數(shù)求值（誘導(dǎo)公式）

思考：我們利用單位圓定義了三角函數(shù)，而圓具有很好的對(duì)稱性。能否利用圓的這種對(duì)稱性來(lái)研究三角函數(shù)的性質(zhì)呢？例如，能否從單位圓關(guān)于x軸、y軸、直線y=x的軸對(duì)稱性以及關(guān)于原點(diǎn)O的中心對(duì)稱性等出發(fā)，獲得一些三角函數(shù)的性質(zhì)呢？

探究：給定一個(gè)角α

（1）角π-α、π+α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？

（2）角-α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？

（3）角-α的終邊與α有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？

……

設(shè)任意角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為P1（x，y）。由于角π+α的終邊與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，角π+α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P2與點(diǎn)P1關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，因此點(diǎn)P2的坐標(biāo)是（-x，-y）。由三角函數(shù)的定義得

Sinα=y， cosα=x， tanα=；

sin（π+α）=-y， cos（π+α）=-x， tan（π+α）=

從而得公式二

……

我們可以用下面一段話來(lái)概括公式一～四：

α+k·2π（k∈Z），-α，π±α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。

……

加拿大11年級(jí)數(shù)學(xué)教材（片段節(jié)選）

Pre-calculus 11： Trigonometric Ratios of Any Angle（三角函數(shù)值）

The Athabasca Oil Sands are located 40 km north of Fort McMurray， AB. They are the worlds largest source of synthetic crude from oil sands， and the greatest single source in Canada. （阿沙巴斯克油砂位于麥克默里堡北部40千米，他是世界上最大的合成原料來(lái)源，也是加拿大最豐富的能源）。Massive machinery has been developed specifically for the excavation of the oil sands. Power shovels are equipped with a global positioning system （GPS） to make digging more exact. The operator must understand the angles necessary to operate the massive shovel. The design of power shovels uses the laws of trigonometry.（特制的大型的機(jī)械設(shè)備如安裝了GPS的挖掘機(jī)可以更準(zhǔn)確的挖掘油砂， 它的設(shè)計(jì)運(yùn)用了三角函數(shù)的知識(shí)，操作者需要懂得操作角度。）[4]

Hint： Reference angle（參考角的定義）

· the acute angle whose vertex is the origin and whose arms are the terminal arm of the angle and the x-axis（參考角即角的終邊與x軸形成的銳角）

Signs of trigonometric ratios in the four quadrants.

（三角函數(shù)值在四個(gè)象限的符號(hào)）

The length of the line OA is unit.endprint

In the first quadrant， the coordinates of A are （a，b） and the reference angle α

sinθ==sinα cosθ==cosα tanθ==tanα （如圖，θ在第一象限，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），參考角為α，則sinθ，cosθ，tanθ與sinα，cosα， tanα的關(guān)系為

sinθ=sinα cosθ=cosα tanθ=tanα） 。

In the second quadrant， the coordinates of A are （-a， b） and the basic angle

α=180°-θ ； sinθ==sinα cosθ==-cosα tanθ==-tanα ，（在第二象限，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-a，b），參考角為α，則sinθ，cosθ，tanθ與sinα，cosα， tanα的關(guān)系為

sinθ=sinα cosθ=-cosα tanθ=-tanα）

……

（2）教材內(nèi)容對(duì)比分析

相比較來(lái)看，國(guó)內(nèi)普通版的教材內(nèi)容理論性非常強(qiáng)，語(yǔ)言抽象度高，知識(shí)理論的掌握程度要求很高，邏輯要求更為嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)學(xué)生的抽象推理能力要求比較高。不僅要掌握軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、單位圓定義，還需要理解抽象的角α、π-α、π+α、-α、-α的位置表示及角之間的關(guān)系。誘導(dǎo)公式的應(yīng)用不僅需要記憶大量的數(shù)學(xué)公式（誘導(dǎo)公式一～四共12個(gè)），還需要很強(qiáng)的抽象轉(zhuǎn)化能力及運(yùn)算能力。

應(yīng)用展示如下：將sin（-1300°）化為銳角三角函數(shù)

解：sin（-1300°）=-sin1300°（公式三）

=-sin（3×360?+220）=-sin220?（公式一）

=-sin（180?+40?）=-（-sin40?）（公式四）

=sin40?

國(guó)際版的教材內(nèi)容則很生活化，先從一個(gè)本土化問(wèn)題引入，進(jìn)而提出問(wèn)題，然后闡述理論，最后應(yīng)用理論解決實(shí)際問(wèn)題。語(yǔ)言也比較通俗易懂，邏輯推理要求沒(méi)那么高，還比較形象生動(dòng)。整個(gè)理論的推導(dǎo)過(guò)程，就圍繞一個(gè)參考角展開(kāi)，并將所有的求值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為跟參考角的關(guān)系問(wèn)題， 簡(jiǎn)化了公式的記憶。因此在理論的應(yīng)用方面，只要知道兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)：參考角及角在各個(gè)現(xiàn)象的符號(hào)，也就是說(shuō)學(xué)生只需要能把角準(zhǔn)確的畫(huà)在坐標(biāo)軸上，能找到參考角，能熟記各個(gè)三角函數(shù)的每個(gè)象限的符號(hào)就能很快的解決問(wèn)題。

解題過(guò)程展示：Express sin（-1300°）as a trigonometric ratio of acute angle.

Solution：Draw the angle -1300°in standard position， it is easy to know the reference angle is 40° and the terminal arm is in quadrant Ⅱ

i.e. sin（-1300°）= sin40?（將-1300°畫(huà)在直角坐標(biāo)系中，可知參考角為40°，終邊在第二象限，所以sin（-1300°）= sin40?）

總而言之，國(guó)內(nèi)高中的數(shù)學(xué)教材在三角函數(shù)求值這一節(jié)，需要綜合應(yīng)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，而國(guó)際數(shù)學(xué)課程則通過(guò)找參考角，將任意角的求值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參考角三角函數(shù)來(lái)求；國(guó)內(nèi)高中的三角函數(shù)求值，需要融匯貫通誘導(dǎo)公式和符號(hào)法則，對(duì)邏輯思維和抽象轉(zhuǎn)化能力有很高的要求，而國(guó)際課程，則顯得直觀也不需要深層次的思考，無(wú)非是先找出參考角，再結(jié)合三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)，就能達(dá)到求值目的，學(xué)生不需要記太多的東西，也不需要深層次的邏輯推理，這對(duì)于抽象思維能力比較弱的同學(xué)是很有好處的。

2.練習(xí)題問(wèn)題的設(shè)置

國(guó)內(nèi)的高中數(shù)學(xué)教材涉及的問(wèn)題跟實(shí)踐結(jié)合的比較少，應(yīng)用題的數(shù)量也不多，而這些應(yīng)用題較少地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的實(shí)際應(yīng)用，更多的是一種理想化或假想的應(yīng)用。[5]

國(guó)際數(shù)學(xué)教材中則有許多有趣的生活實(shí)際問(wèn)題和富有批判性的問(wèn)題。例如：

a）Explain why there are exactly two non-quadrantal angles between 0°and 360° that have the same sine ratio.（請(qǐng)解釋為什么在0至360度間，恰好有兩個(gè)位于不同象限的角具有相同的正弦值？）

這個(gè)問(wèn)題能引發(fā)學(xué)生深層次多維度的思考，有益于學(xué)生思維的拓展，也有益于學(xué)生再次鞏固所學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈。[6]

b） A rancher has 100 m of fencing available to build a rectangular corral.

Write a quadratic function in standard form to represent the area of the corral. Identify any assumptions you made in modelling this situation mathematically.（建模過(guò)程你做了哪些假設(shè)呢？）

國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)也有類似的應(yīng)用題：給定一定長(zhǎng)度的籬笆，建成一個(gè)長(zhǎng)方形的圍欄，用二次函數(shù)來(lái)表示圍欄的面積。國(guó)內(nèi)的數(shù)學(xué)一般會(huì)求圍欄的最大值，然而國(guó)際版的教材除了要求最大值外，還要求思考所采用的數(shù)學(xué)模型的假設(shè)條件是什么？用這個(gè)函數(shù)模型在現(xiàn)實(shí)生活中會(huì)遇到哪些限制？這種問(wèn)題，能極大的提高學(xué)生全面思考問(wèn)題的能力，同時(shí)能提高學(xué)生對(duì)生活細(xì)節(jié)的關(guān)注度。

c）A siksik， an Arctic ground squirrel， jumps from a rock， travels through the air， and then lands on the tundra. The graph shows the height of its jump as a function of time. Use the graph to answer each of the following， and identify which characteristic（s） of the graph you used in each case.

Would this type of motion be possible for a siksik in real life？ Explain why or why not.（在現(xiàn)實(shí)生活中，松鼠Sisik可能發(fā)生這樣的運(yùn)動(dòng)嗎？請(qǐng)解釋理由）

這個(gè)問(wèn)題先介紹一只松鼠，接著描述了一次松鼠跳躍的運(yùn)動(dòng)軌跡，要求根據(jù)運(yùn)動(dòng)圖像判斷現(xiàn)實(shí)生活中這種跳躍運(yùn)動(dòng)能否發(fā)生？這個(gè)問(wèn)題學(xué)生剛開(kāi)始接觸時(shí)是非常棘手的，學(xué)生一般會(huì)從形的角度去考慮，很少會(huì)從時(shí)間的角度去考慮，這類問(wèn)題有益于訓(xùn)練學(xué)生辯證的批判的看問(wèn)題。endprint