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    判別式的簡便解法及其延伸應(yīng)用

    2017-08-23 23:21陳宥伊
    東方教育 2017年12期
    關(guān)鍵詞:判別式

    陳宥伊

    摘要:眾所周知,當(dāng)我們求解與圓錐曲線相關(guān)的題目時,常需要求解判別式,而聯(lián)立方程中又有一個或多個參數(shù),故而判別式的求解較為復(fù)雜。因此筆者在此介紹一種判別式的簡易解法,并擬用接下來的例題講述此方法。

    關(guān)鍵詞:判別式;求解;延伸應(yīng)用

    例1,已知與相交于兩點,試求聯(lián)立后的判別式。

    解析,聯(lián)立得到聯(lián)立方程 ,化簡后得,再根據(jù)判別式的一般解法,可得

    評注 通過此題,我們可以驚奇的發(fā)現(xiàn),而其中的即為聯(lián)立方程中的二次項系數(shù),即為聯(lián)立時一次函數(shù)截距的平方。因此便推出判別式的簡易求法,當(dāng)然在使用該方法時,也有兩點注意事項,第一,橢圓聯(lián)立時需要消去分母。即將化為。第二,當(dāng)不互質(zhì)時不可化簡,約分。例如僅可化為,不可化為

    在推導(dǎo)出判別式的簡易算法后,便可對其加以應(yīng)用,下面是幾個應(yīng)用實例

    1.橢圓的面積最大值問題

    例2,已知,兩點是橢圓上的動點,求的最大值。

    解析 設(shè)的解析式為,則聯(lián)立,得到聯(lián)立方程

    化簡后可得,故而因此可以將表示為,而到的距離,所以面積即可表示為,在使用均值不等式,即當(dāng)時,

    評注 利用判別式的簡便算法竟成功推出橢圓中特殊三角形的最大值等于(在時)有了這一結(jié)論,就可以“秒殺”出部分題目。

    例3.(2014年濰坊二模)橢圓的短軸長為2,點為上頂點,圓,將橢圓的長軸三等分,直線與橢圓交于兩點

    (I)求橢圓C的方程;

    (Ⅱ)求證△APB為直角三角形;

    并求出該三解形面積的最大值.

    (1)易得

    (2)證明過程略

    當(dāng)時,即

    易知

    評注 利用推論可以輕易求解此題,注意前提條件是,若無法滿足此條件,則不可使用此推論,而應(yīng)用普通方法求解。

    2、橢圓的面積定值問題

    例4:已知橢圓,橢圓上的兩動點滿足,證明的面積為定值,并求出該定值。

    解析 設(shè)直線解析式為,則聯(lián)立,得到聯(lián)立方程

    化簡得

    所以可以得到,因此可以將表示為

    可以將由到的距離,最終表示出面積

    評注:其實由此題我們可以發(fā)現(xiàn)即為,那么此時的面積即為最大值為,只要滿足或,就為的最大值。

    3、橢圓中的軌跡問題

    (上接第147頁)

    例5:已知橢圓,動點,作切橢圓于兩點,,求的運動軌跡。

    解析 設(shè)過的直線解析式為,

    聯(lián)立,得到聯(lián)立方程:

    ,

    則判別式,

    ,即為的兩個根,

    因為所以而所以解得軌跡

    評注 利用判別式方程,找到斜率之間的關(guān)系,最終求得軌跡。

    綜上所述,熟練掌握判別式的簡易求法,不僅可以幫助學(xué)生在考試中節(jié)約大量時間,還可以再多類題型中加以應(yīng)用,使其更易求解。

    鞏固練習(xí),已知橢圓,若線段是曲線的一條動弦,且,求坐標(biāo)原點到動弦距離的最大值。

    參考答案:

    參考文獻:

    [1]趙福民.判別式法的應(yīng)用.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究[J],2013,(20)

    [2]王海波.判別式法在解析幾何中的應(yīng)用[J]中學(xué)生數(shù)理化:教與學(xué),2011,(4)

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