橫看成嶺側(cè)成峰 遠(yuǎn)近高低各不同
——以一道題目為例談探索式論證與一題多解

安徽省合肥市第一中學(xué) 范可欣 任孝輝 (郵編:230601)

橫看成嶺側(cè)成峰 遠(yuǎn)近高低各不同
——以一道題目為例談探索式論證與一題多解

安徽省合肥市第一中學(xué) 范可欣 任孝輝 (郵編:230601)

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).數(shù)學(xué)研究的過程應(yīng)該是我們從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的過程.正如“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”所描述的那樣,從不同的視角出發(fā),會看到同一研究對象的不同現(xiàn)象面.

對于中學(xué)生而言,數(shù)學(xué)解題是我們經(jīng)常從事的數(shù)學(xué)活動.我們必須從數(shù)學(xué)研究意識的高度來從事這一活動,才能經(jīng)歷從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的過程,體會到數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系與發(fā)展,提高數(shù)學(xué)問題解決的能力,提升我們的創(chuàng)新意識與應(yīng)用意識.“一題多解”就是我們實現(xiàn)這一目的的有效途徑.

“一題多解”的過程,應(yīng)該是解題者“運(yùn)籌”的過程,即根據(jù)客觀現(xiàn)實制定切實可行、行之有效的解題計劃與方案,從而實現(xiàn)“運(yùn)籌帷幄于一題之中,順利決勝于千題之外”.波利亞在《怎樣解題》和《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中早就給出了“運(yùn)籌策略”,那就是“怎樣解題表”和“探索式論證”策略.現(xiàn)以一題為例,分享探索式論證與享受的過程.

1 探索式論證的過程與表示

波利亞指出,探索式論證的目的是發(fā)現(xiàn)當(dāng)前問題的解,過程是依據(jù)題目的已知條件,通過滿足于一個或多個看似可信的猜測,得到當(dāng)前問題的求解思路.為了將探索式論證的思維過程直觀化,波利亞還給出了解題過程的幾何圖示方法.

1.1 題意的理解與幾何圖示

“題意的理解(理解題目)”是波利亞“怎樣解題表”的第一步,分為熟悉題目和深入理解題目兩個階段[1].首先,我們應(yīng)該在理解題目語言陳述的基礎(chǔ)上,確定題目的主要部分,即未知量、已知數(shù)據(jù)及條件;其次,將已知條件和未知量(求解目標(biāo))幾何表示.

圖1

1.2 思路的探索、圖示與實現(xiàn)

波利亞認(rèn)為,為了提高猜測的可信度,在思路的探索過程中要注意兩點.一是緊盯求解目標(biāo)不放,二是深挖求解目標(biāo)和已知條件的數(shù)學(xué)背景[2].這些工作是必須的.它不但可以一直保證思路探索方向的正確性,還能為一題多解提供豐厚的土壤,從而多角度地尋求已知條件和求解目標(biāo)的聯(lián)系,構(gòu)建盡可能多的思維路徑.

對于本題而言,求解目標(biāo)為:a2＋b2＝1.常規(guī)而言,該目標(biāo)的背景有兩個.一個是表示a、b關(guān)系的方程,第二個是平面上圓心為原點,半徑為1的圓.在圖1基礎(chǔ)上,就可以將求解目標(biāo)具體化,將點O根據(jù)不同視角(背景)進(jìn)行分解,分別為點O

1,O2(圖2).

圖2

思路1 (尋求從A到O1的思路):條件A和B表示的是實數(shù)a、b之間的關(guān)系,求解目標(biāo)也是實數(shù)a、b之間的關(guān)系.從A點應(yīng)該怎樣繼續(xù)前進(jìn)呢?一個常規(guī)的想法就是對條件A進(jìn)行變形,重要的節(jié)點是化無理為有理,表示為點C,則圖2可進(jìn)一步改進(jìn)為圖3(虛線表示該思路只是一個探索性的猜想).

圖3

波利亞特別強(qiáng)調(diào),探索式論證只是暫時的和看似合理的,并不能作為最終嚴(yán)格的論證,二者不可以混淆.所以,接下來,我們就要沿著思路1進(jìn)行嚴(yán)密論證.

兩邊平方得,a2(1－b2)＝1＋b2(1－a2)(1,整理得(1－a2)＝0.

上述證明過程表明,思路1是可行的,圖3中有向線段AC和CO1就可以改為實線段了.

2 解題思路的回顧與反思:其他思路介紹

思路的探索、圖示和實現(xiàn)的過程相當(dāng)于波利亞“怎樣解題表”中的第二步和第三步,即擬定方案和執(zhí)行方案的過程.通常,我們一般都會終止解題活動,因為答案已經(jīng)出來了,求解目標(biāo)已經(jīng)實現(xiàn)了.但是,波利亞特別指出,如果這樣做,你會遺漏了解題中的一個重要而且有益的階段——回顧與反思.在這一階段,我們可以進(jìn)一步鞏固知識,將解題方法加以改進(jìn),深化我們對答案的理解.

一般地,在回顧與反思階段,我們需要問自己3個問題:你能檢驗這個論證(結(jié)果)嗎?你能以不同的方式推得這個結(jié)果嗎?這個題目能進(jìn)行推廣嗎?現(xiàn)僅以第2個問題為例來說明反思過程.

思路2 (尋求從A到O2的思路)

求解目標(biāo)O2表示平面上圓心為原點,半徑為1的圓,即讓我們證明滿足條件A和B的點(a,b)都在該圓上.條件A表示點(a,b)滿足a.顯然,若＝a,,結(jié)論顯然成立.于是可將點O2向前推進(jìn)到點D:＝b.將條件A和條件D進(jìn)一步比較,就可以發(fā)現(xiàn)三角換元,將之表示為條件E.至此,思路2形成(圖4).

圖4

故a2＋b2＝1.

可見,思路2也是可行的,那么圖4中有向線段AE、ED和DO2也可以改為實線段了.

當(dāng)然,如果我們頭腦中存儲與已知條件、求解目標(biāo)關(guān)聯(lián)的知識多、解題經(jīng)驗豐富,還可以看到柯西不等式、向量、單位圓切線、點線距、基本不等式和函數(shù)等背景.這些探索式論證思路的形成與表示與思路1和思路2是相同的,在此不多贅述,只簡要敘述思路.

按照波利亞的“怎樣解題表”和“探索式論證方法”可以實現(xiàn)有序思考,從盡可能高的深度和廣度來認(rèn)識每一道題,領(lǐng)悟解題過程中的數(shù)學(xué)思想方法,不斷提高數(shù)學(xué)解題能力.波利亞認(rèn)為“沒有任何一個題目是可以徹底完成了的”.因此,只有對每一道題目一題多解,找出聯(lián)系,進(jìn)行推廣,才能避免“不識廬山真面目,只緣身在此山中”.

1 [美]G波利亞.涂泓,馮承天譯.怎樣解題—數(shù)學(xué)思維的新方法[M].上海:上?？萍冀逃霭嫔?2011

2 [美]G波利亞.劉景麟,曹之江,鄒清蓮譯.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)—對解題的理解、研究和講授[M].北京:科學(xué)出版社,2013

2017-06-12)