創(chuàng)新思維在構(gòu)造中升華
——以三角函數(shù)問題為例

浙江省寧波市第四中學(xué) 蔣亞軍 (郵編:315016)

浙江省寧波市李惠利中學(xué) 蘇茂鳴 (郵編:315016)

創(chuàng)新思維在構(gòu)造中升華
——以三角函數(shù)問題為例

浙江省寧波市第四中學(xué) 蔣亞軍 (郵編:315016)

浙江省寧波市李惠利中學(xué) 蘇茂鳴 (郵編:315016)

三角函數(shù)與代數(shù)、幾何聯(lián)系密切,題型豐富,變化萬千,對(duì)某些用常規(guī)方法不易解決的三角問題,通過改變策略,依據(jù)題設(shè)的條件以及結(jié)構(gòu)特點(diǎn),挖掘問題的隱含條件,構(gòu)造新的對(duì)應(yīng)關(guān)系或新的數(shù)學(xué)模型,可以是代數(shù)構(gòu)造,如函數(shù)、方程(組)、對(duì)偶式等;也可以是幾何構(gòu)造,如幾何圖形、幾何意義等;呈現(xiàn)出問題的本質(zhì)規(guī)律和數(shù)學(xué)的內(nèi)在美,使復(fù)雜問題的求解變得簡(jiǎn)潔明了,給人耳目一新的感覺.

1 構(gòu)“數(shù)”解題

從三角問題本身的特點(diǎn)出發(fā)構(gòu)造輔助函數(shù)和方程(組),以溝通問題中條件與結(jié)論的聯(lián)系,使問題中的隱含關(guān)系明朗化,從而簡(jiǎn)捷迅速地使問題獲解.

圖1

證明2 本例幾何意義如下:

因f(x)＝sinx,x∈(α,β)為增函數(shù),0＜f′(x)＜1,f″(x)＜0,x∈(α,β),故,存在x0∈(α,β),使得y＝f(x)在 T(x0,f(x0))處的切線l平行于AB.即kAB＝即

評(píng)注 巧妙的構(gòu)造函數(shù),利用學(xué)生熟悉的函數(shù)性質(zhì)來解決棘手問題,不僅訓(xùn)練了學(xué)生的思維,而且增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性,使解答別具一格,耐人尋味.例2的幾何意義更是直觀地將問題本質(zhì)顯現(xiàn)出來.

評(píng)注 解法1利用同角三角恒等式聯(lián)立方程(組),思路自然,突出對(duì)三角公式的直接運(yùn)用.解法2則是根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn),構(gòu)造等差數(shù)列,在知識(shí)交匯處有效地展示了創(chuàng)新思維,讓學(xué)生體會(huì)構(gòu)造是自然的,數(shù)學(xué)是清楚的、自然的.

2 造“形”破題

三角問題較為抽象,將題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系以形象、直觀的方式直接在圖形中得到體現(xiàn),利用幾何性質(zhì)(意義)使問題得到解決.

圖2

例4 求sin223°＋sin237°＋sin23°sin37°的值.

解 如圖2,取α＝23°, β＝37°,則a＝BC＝sin23°, b＝AC＝sin37°,c＝AB＝原問題轉(zhuǎn)化為:在三角形ABC中,角 A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知A＝23°,B＝37°,求a2＋b2＋ab的值.因?yàn)閏osC＝,所以

評(píng)注 基于三角形外接圓與正弦定理之間聯(lián)系的構(gòu)造,巧妙地將三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為給定直徑的圓的弦長(zhǎng),結(jié)合余弦定理使問題獲解,避免了利用二倍角余弦公式降冪,積化和差以及和差化積公式帶來的繁瑣計(jì)算.

例5[2]函數(shù)f(x)＝(x∈[0,2π])的值域是( )(2008年重慶高考數(shù)學(xué)理科試題第10題)

圖3

評(píng)注 以上兩種解法將問題巧妙地轉(zhuǎn)化兩個(gè)距離以及點(diǎn)到直線的距離,使得看似復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化,從而有效的減少計(jì)算量.

數(shù)學(xué)解題的過程就是把復(fù)雜的、生疏的、抽象的、困難的、未知的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、熟悉的、具體的、容易的、已知的問題來解決[3].構(gòu)造法恰能起到橋梁的作用,讓隱含得以顯露,使抽象變得直觀,將三角函數(shù)與代數(shù)、幾何有機(jī)地聯(lián)系起來.在解題中要注重對(duì)學(xué)生思維深度的挖掘,透過問題的表象抓住本質(zhì),細(xì)致觀察大膽構(gòu)造,迅速制定解題策略,辯證地思考問題,加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力,拓寬學(xué)生的解題思路,從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.

1 梁慧.三角函數(shù)變量代換解題方法探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2016(5):47-48

2 李紅春.構(gòu)造法巧解三角函數(shù)題[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué), 2009(4):25-26

3 武松.運(yùn)用劃歸求通項(xiàng)[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2009(5): 14-16

2017-05-20)