三角函數(shù)在解題中的應(yīng)用研究

余升璟++郭玲

摘 要：三角函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)公式之一。它的綜合運(yùn)用主要是，簡化數(shù)學(xué)運(yùn)算和溝通形和數(shù)之間的關(guān)系。本文主要闡述了三角函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，在解中學(xué)代數(shù)或幾何問題時(shí)對(duì)其進(jìn)行三角代換，再結(jié)合三角函數(shù)的定義、定理、性質(zhì)等進(jìn)行解題，用三角函數(shù)解題不僅可以化繁為簡，還可以啟發(fā)學(xué)生的思維，開拓學(xué)生的解題思路，從而提高學(xué)生分析問題解決問題的能力。-------

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；三角代換；三角函數(shù)線

文中進(jìn)一步研究三角函數(shù)在中學(xué)解題中的應(yīng)用，特別是其它數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，探究其在解題中作為“工具”的功能。

一、三角函數(shù)在求解代數(shù)問題中的應(yīng)用。

三角函數(shù)在代數(shù)問題中的應(yīng)用就是把代數(shù)式轉(zhuǎn)換成三角表達(dá)式，變代數(shù)問題為三角問題去求解，這就是三角代換法解代數(shù)問題，運(yùn)用這個(gè)方法，不但能使某些代數(shù)題的解法化難為易，化繁為簡，而且能幫助我們溝通數(shù)學(xué)中不同學(xué)科之間的知識(shí)和方法，提高分析問題和解決問題的能力。

用三角代換法解代數(shù)問題的關(guān)鍵是設(shè)法選擇合適的三角函數(shù)進(jìn)行代換，由于三角代換是用三角函數(shù)去代換代數(shù)中的變數(shù)所以選擇三角函數(shù)時(shí)，首先應(yīng)從題中變數(shù)的允許值去考慮，再從解題的需要通過分析選擇合適的三角函數(shù)進(jìn)行代換。在進(jìn)行三角代換后再根據(jù)所求問題采取對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解。

一般來說，形如 或 可用 、 或 、 進(jìn)行代換；形如 或 可用 、 或 、 進(jìn)行代換；形如 可用 或 進(jìn)行代換；形如 可用 或 進(jìn)行代換等等。也可以根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征用三角函數(shù)公式進(jìn)行代換：比如形如 因與 的結(jié)構(gòu)相似可以用 進(jìn)行代換； 形如 與 的結(jié)構(gòu)相似可以用 進(jìn)行代換； 再結(jié)合代換后三角函數(shù)的定義、性質(zhì)、定理對(duì)題進(jìn)行求解。

二、三角函數(shù)在求解幾何問題中的應(yīng)用。

三角法解幾何題，就是將幾何問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，運(yùn)用三角學(xué)的知識(shí)來完成幾何命題證明或及方法。

某些平面幾何題，線段與線段，角與角，線段與角的關(guān)系比較復(fù)雜，單純采用幾何的知識(shí)進(jìn)行證明解答，有時(shí)不易找到證明解答0的途徑，如改用三角法來證，不僅證明過程簡捷，而且證明思路也比較自然，易于達(dá)到證題。

（一）解三角形

1.判定三角形的形狀

判斷三角形的形狀，推理時(shí)要注意三點(diǎn)：（1）利用正弦或余弦定理，把已知恒等式中的變化為角，再利用三角公式加以證明；或把角化為變，再用代數(shù)公式加以證明；（2）判斷的完整性。如△ABC中，若sin2A=sin2B則A=B，或A+B=90°，可得△ABC為等腰三角形或直角三角形；（3）一般情況下，判斷三角形的條件是充要的，因此可以用逆推的方法；

（二）解三角形

解三角形是用三角函數(shù)研究幾何圖形的基礎(chǔ)，在解題過程中應(yīng)注意三點(diǎn)。

（1）掌握三角形中非基元素（如三角形的內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑，三角形的面積）

（2）已知三角形中的三個(gè)元素（其中至少有一條邊），就可以求出其他元素，如果在解題過程中，多設(shè)一個(gè)中間變量，就多用一個(gè)三角形，從而多列出一個(gè)方程；

（3）在解立體幾何或解析幾何等問題時(shí)，必須充分運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)。

（三）結(jié)合解析法研究幾何圖形

在用解析法研究幾何圖形時(shí)，利用解三角形的方法，可以減少解題的運(yùn)算量；利用含有三角函數(shù)式的極坐標(biāo)方程，有利于求曲線的軌跡和研究圓錐的共同屬性；利用含參數(shù)角的參數(shù)方程，便于建立幾何量間的函數(shù)解析式。

三、求幾何量的最大值和最小值

在解最大值，最小值問題時(shí)采取的步驟是：先設(shè)變量（如選擇參數(shù)角），再根據(jù)圖形的特征建立目標(biāo)函數(shù)，然后求函數(shù)的最大（小）。因?yàn)?都有界，所以可適當(dāng)變換，將解析幾何最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，以求得最值，如若 ，則函數(shù) 有最大值 ，最小值 解題的關(guān)鍵是，靈活地選擇參數(shù)，運(yùn)用解析法或解三角形方法，建立函數(shù)的解析式。

例1設(shè)過圓 上的一點(diǎn)A（ ）的直線與圓交于另一點(diǎn)P

（ ），試求 的最大值與最小值，又當(dāng) 取最大值和最小值時(shí)，P點(diǎn)位置如何？

解 如圖示，設(shè)AP的傾斜角為 ，連接OP，令 ，則 .圓的參數(shù)方程 （ 為參數(shù)），則

）= .

當(dāng) 時(shí)， P點(diǎn)坐標(biāo)（ ）.當(dāng) 時(shí)，（ ） P點(diǎn)坐標(biāo) .

四、三角函數(shù)線在解題中的應(yīng)用

三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何形式，它的功能就是使角的三角函數(shù)值通過有向線段直觀地表示出來，使抽象的函數(shù)變得具體，便于在動(dòng)態(tài)中對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行研究和應(yīng)用，用它來處理三角函數(shù)中的某些問題，可得到明快簡捷的解答。同時(shí)又可以加強(qiáng)代數(shù)，三角，幾何間的聯(lián)系。

結(jié)論

本文主要探討三角函數(shù)的應(yīng)用，它不僅用于函數(shù)中，而且在不等式，解析幾何等都有著重要的作用。利用三角函數(shù)的思想解題可以使問題變得簡單，達(dá)到意想不到的效果。 如在解決代數(shù)問題時(shí)，適當(dāng)?shù)膽?yīng)用三角代換不僅可以化繁為簡，還可以啟發(fā)學(xué)生的思維，開拓學(xué)生的接替思路，提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，在選擇利用三角換元時(shí)，要從函數(shù)問題中字母的允許范圍來考慮選擇合適的三角公式，使已知條件與所求的結(jié)論通過“三角代換”建立恰當(dāng)?shù)穆?lián)進(jìn)行溝通轉(zhuǎn)化。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙廣華，三角代換在解題中的應(yīng)用[J]，上海中學(xué)數(shù)學(xué)。2005（4）：43

[2]周 斌，三角法在解代數(shù)題中的應(yīng)用[J]，數(shù)學(xué)大世界。2003（3）：32

[3]戚德江，張新全，談三角代換解題[J]，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。2003（5）：39