“猜想教學”在初中數(shù)學教學中的應(yīng)用研究

劉貝貝

摘 要：猜想是一種創(chuàng)造性的思維活動，它既是科學發(fā)現(xiàn)的先導(dǎo)，也是實現(xiàn)問題解決的一種重要手段。在數(shù)學教學中應(yīng)用猜想教學，能使學生根據(jù)已有的知識和材料，通過直覺觀察、動手操作、歸納和類比等方法猜想新知，并對猜想的內(nèi)容進行驗證。學生由“猜想—驗證”的學習方式，再現(xiàn)數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)過程，不僅能夠扎實獲得數(shù)學知識和技能，靈活運用思想和方法，還能獲得學習的美好體驗，享受發(fā)現(xiàn)學習帶來的愉悅，這將有利于改變長期以來數(shù)學課堂教學中過分重視學生知識、技能的習得而忽視知識的形成過程和學生的體驗。

關(guān)鍵詞：數(shù)學猜想教學；應(yīng)用；主體性

數(shù)學猜想即關(guān)于數(shù)學學術(shù)方面的猜想（或稱猜測、假設(shè)等），這些猜想有的被驗證為正確的，并成為定理；有的被驗證為錯誤的；還有一些正在驗證過程中。

著名科學家牛頓有句名言：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明?！辈孪胧菍ρ芯康膶ο蠡騿栴}進行觀察、實驗、分析、比較、聯(lián)想、類比、歸納等，依據(jù)已有的知識和材料作出符合一定的經(jīng)驗與事實的推測性想象的思維形式。

數(shù)學猜想就是依據(jù)某些已知事實和數(shù)學知識，對未知量及其關(guān)系所做出的一種推斷，是數(shù)學中的合情推理。波利亞指出：數(shù)學中有“論證推理和合情推理”兩種推理，它們是思維的兩種形式、兩個方面，它們之間并不矛盾，在數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明過程中起交互作用。在嚴格的推理之中，首要的事情是區(qū)別證明與推測，區(qū)別正確的論證與不正確的嘗試；而在合情推理中，要區(qū)別理由較多的推測與理由較少的推測。所以說，數(shù)學猜想是合情的推理，而不是不合理的亂猜。本文就“猜想教學”在初中數(shù)學中的應(yīng)用談點個人見解。

一、猜想論證可以激發(fā)學生的學習興趣，充分發(fā)揮學生學習數(shù)學的主體性

實現(xiàn)猜想的途徑，可以是探索試驗、類比、歸納、構(gòu)造、聯(lián)想、審美以及它們之間的組合等。數(shù)學猜想是有一定規(guī)律的，如類比的規(guī)律、歸納的規(guī)律等，并且要以數(shù)學知識和經(jīng)驗為支柱。在證明一個數(shù)學問題之前，應(yīng)猜想這個問題的內(nèi)容；在完全做出詳細證明之前，應(yīng)先有猜想證明的思路。例如，在《等腰三角形的性質(zhì)》一節(jié)中，教師就可以讓學生動手操作—猜想—論證—等出結(jié)論，學生已認識等腰三角形，課前可以讓學生找（或做）一些等腰三角形的模型，經(jīng)歷動手操作的過程，猜想出等腰三角形的對稱性，再由對稱性得到等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)，最后歸納出猜想，一一加以驗證其正確性。這一過程充分激發(fā)了學生學習的興趣，調(diào)動了學生探索數(shù)學問題的積極性。這樣獲得的知識就不再是由老師講解分析，學生理解記憶而得的，而是學生通過“猜想——驗證”的方法自主獲得的。學生對新知進行猜想后急于求知和驗證，學習數(shù)學的積極性也就會被充分調(diào)動，學生能積極參與接下去的數(shù)學活動。在接下去的探索活動中教師引導(dǎo)學生驗證猜想，修正猜想，完善猜想，最終獲得新知，學生由此經(jīng)歷了數(shù)學知識的再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，從中獲得了成就和滿足的情感體驗，對數(shù)學學習也就會產(chǎn)生濃厚的興趣。另外，應(yīng)用“猜想教學”，使學生的學習變成一個自主探索的過程。猜想教學要求學生在教師引導(dǎo)下，利用材料，主動探索發(fā)現(xiàn)而不是消極接受知識。這種教學體現(xiàn)了學生參與和發(fā)現(xiàn)的主體地位。學生在學習過程中以主人翁的姿態(tài)出現(xiàn)，以積極的心態(tài)調(diào)動原有的知識和經(jīng)驗猜想新知識，同化新知識并不斷構(gòu)建整個知識體系。

二、數(shù)學猜想的方法

1.運用不完全歸納法進行猜想

這種猜想是對研究對象或問題從一定的數(shù)量進行觀察、分析，從而得出有關(guān)命題、結(jié)論、方法。歸納推理是針對一類事物而言的。一類事物A中的部分個體A1、A2…An都具有性質(zhì)P，那么A中的全部個體是否都具有性質(zhì)P呢？這就是一個歸納猜想的思維過程。例如，在等邊三角形的兩邊截取BE=CD，那么可以求出則∠APD的度數(shù)為60°。在正方形的兩邊截取BE=CD，那么可以求出∠APD=90°。在正五邊形的兩邊截取BE=CD，可以求出∠APD=108°。因此，學生可以根據(jù)歸納法得到猜想，當多邊形是正n邊形，兩條線段的一個夾角等于這個正n邊形的每一個內(nèi)角。

2.運用類比法進行猜想

這種猜想是通過比較兩個對象或問題的相似性得出數(shù)學命題的猜想。在A和B兩類事物中，A有性質(zhì)P成立，B也有性質(zhì)P成立，A類中還有性質(zhì)Q成立，B類中是否也有性質(zhì)Q成立呢？這是一個類比猜想的思維過程。例如，在特殊的平行四邊形判定的證明過程中，我們先掌握了平行四邊形的判定，可以從邊、角、對角線三個方面判定，那么對于特殊的平行四邊形是不是也可以從這三個元素來分析呢？在教學過程中，教師可以引導(dǎo)學生先猜想后論證，矩形的對角線相等，那么對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？也許在這一過程中，還會有學生提出，對角線相等的四邊形是矩形嗎？不完全歸納不僅能提高學生的數(shù)學猜想能力，還可以在這一過程將新知進行類比，幫助學生理解記憶。

3.運用對稱的思想進行猜想

這種方法是對研究的對象或問題，運用簡單性、對稱性、相似性、和諧性、奇異性等，結(jié)合已有的知識和經(jīng)驗所作出的知覺性猜想。例如，困難的問題可能存在著簡單的解答、對稱的條件可能存在對稱的結(jié)論以及可能會用對稱變換的方法加以解決、和諧的或奇異的構(gòu)思有助于問題的明朗化或簡單化就是因為使用了對稱的思想。

三、數(shù)學猜想的應(yīng)用

在數(shù)學教學實踐中，作為教師，我們應(yīng)當引導(dǎo)學生大膽地猜想假設(shè)，使學生在學好知識的同時，發(fā)展能力，激發(fā)潛力，教學中鼓勵學生猜想，并讓學生體會猜想的重要意義。

首先，數(shù)學猜想有利于更為透徹地理解和掌握數(shù)學知識。

數(shù)學的特點是邏輯性強，學生在學習時往往只注重知識的表層，或者去死記知識，這樣學生在做題時就出現(xiàn)了知道但是不會做的現(xiàn)象，所以在教學中，教師必須想方設(shè)法地讓學生理解所學知識，并掌握這些知識。

數(shù)學課本中的很多定理，并不是由純邏輯的演繹推理得到的。多數(shù)是由特例，通過觀察、歸納、猜想，最后才是給出證明。教師在講解這些結(jié)論時，可以不要先把結(jié)論直接告訴學生，而是讓學生一起參與歸納猜想論證。如果教師直接將這些結(jié)論拋給學生，學生就會感到很突然，而通過歸納猜想得出結(jié)論就顯得很自然。當然這樣的猜想，還要引導(dǎo)學生驗證。

例如在講解多邊形的內(nèi)角和時，我們可以先帶著學生復(fù)習三角形的內(nèi)角和知識，再鼓勵學生將多邊形分解成三角形，看看有多少種分割方法。這樣，讓學生通過討論，就出現(xiàn)了幾種不同的分割方法，一方面激發(fā)學生的學習興趣，另一方面培養(yǎng)學生的動手操作能力。接下來引導(dǎo)學生將多邊形內(nèi)角和的求法轉(zhuǎn)化成多個三角形的內(nèi)角和，其實，這一環(huán)節(jié)，學生自己也可以想到做到。最后再歸納總結(jié)出多邊形的內(nèi)角和公式：180°·（n-2），學生敘述的語言表達可能不是十分準確，但轉(zhuǎn)化的方法則非常清楚，學生理解得也更為透徹，這樣學生也更加清楚教材為什么要在講完三角形的內(nèi)角和后直接講多邊形的知識，引導(dǎo)學生注意數(shù)學學習的連貫性，體會類比和轉(zhuǎn)化的思想。

其次，數(shù)學猜想有利于更快捷地尋找解題思路。

數(shù)學猜想是數(shù)學認識過程中不可缺少的一環(huán)節(jié)，是數(shù)學思維的基本要素，歸納和類比是兩種主要表現(xiàn)形式。數(shù)學史上的許多重要成就是借助于數(shù)學猜想獲得的，各種數(shù)學新觀念的產(chǎn)生，都或多或少有它們的作用。

演繹推理是證明數(shù)學結(jié)論、表現(xiàn)數(shù)學體系的重要形式，但從數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程和數(shù)學研究方法的角度看，數(shù)學與自然科學一樣又是歸納的科學。中學數(shù)學教學應(yīng)使學生認識到數(shù)學既是演繹的科學，又是歸納的科學。數(shù)學教學不單單是重現(xiàn)現(xiàn)有的結(jié)論和結(jié)論的證明過程，問題和結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程也是重要內(nèi)容。在教學實踐中應(yīng)有意識地關(guān)注學生的學習過程，關(guān)注學生個性與潛能的發(fā)展，從而有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神。

參考文獻：

[1]郭東進.猜想在解析幾何教學中的應(yīng)用[J].大家，2012（1）.

[2]趙雄輝.讓我們教數(shù)學猜想[J].湖南教育，2000（21）.