一道用微元法求解物理題的推廣

韓福濟(jì)

(湖北省武漢市華中科技大學(xué)附屬中學(xué) 430074)

一、題目及微元法

例1 如圖1(a)，一質(zhì)量為m的均勻閉合細(xì)繩套在一光滑鐵圓錐上，鐵圓錐半頂角為α，求解當(dāng)細(xì)繩平衡時(shí)，繩中的張力為多少？

分析：細(xì)繩在光滑鐵圓錐上的每點(diǎn)受力相同，如以整個(gè)細(xì)繩為研究對(duì)象，則問(wèn)題變得很難，而將細(xì)繩用微元法化為小的微分弧段，也可以認(rèn)為是質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象，就可以分析其受力，從而將問(wèn)題迎刃而解.

解將細(xì)繩劃分為n個(gè)小弧段，取其中的一個(gè)弧段微元為來(lái)研究.

假設(shè)繩圈的半徑為R，這個(gè)小弧段的圓心角為θ,質(zhì)量為Δm，微元的受力分析如圖1(b)所示：重力為Δmg，彈力為N，合力為T，有平衡條件得到下列式子：

(1)N·cosα=T，N·sinα=Δmg.

現(xiàn)在設(shè)微元弧段的兩個(gè)端點(diǎn)的張力分別是T1、T2，并且它們的大小相等，其合力T，方向指向原點(diǎn)O. 由力的分解可知：

并且由于繩圈是均勻的，所以有

聯(lián)立(1)(2)(3)式，得到：

二、將圓錐體推廣為光滑鐵球體

例2 如圖2(c)，一質(zhì)量為m的均勻閉合細(xì)繩套在一光滑鐵球體上，鐵球體的半徑為R，繩套的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，且繩套長(zhǎng)度小于球的大圓周長(zhǎng). 求解當(dāng)細(xì)繩平衡時(shí)，繩中的張力為多少？

分析1 類比于例1，進(jìn)行分析計(jì)算.

重力為Δmg，彈力為N，合力為T，有平衡條件得到下列式子：

現(xiàn)在設(shè)微元弧段的兩個(gè)端點(diǎn)的張力分別是T1、T2，并且它們的大小相等，其合力T，方向指向原點(diǎn)O. 由力的分解可知：

并且由于繩圈是均勻的，所以有

聯(lián)立(5)(6)(7)式，得到：

分析2 在球體上，假設(shè)有一個(gè)圓錐體相切于繩套處，如圖3. 則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為例1中的圓錐體上繩套的張力問(wèn)題，就可用例1的結(jié)果.

所以利用例1的結(jié)果就得到所求的繩子的張力為

三、將圓錐體推廣為更一般的旋轉(zhuǎn)體

例3 如圖4，一質(zhì)量為m的均勻閉合細(xì)繩套在一光滑的花瓶上，花瓶表面是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體的表面. 旋轉(zhuǎn)體表面是由函數(shù)y=1-x2繞著y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的，繩套的長(zhǎng)度為L(zhǎng). 求解當(dāng)細(xì)繩平衡時(shí)，繩中的張力為多少？

分析在這個(gè)花瓶上，也同樣假設(shè)有一個(gè)圓錐體相切于繩套處，如圖4. 則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為例1中的圓錐體上繩套的張力問(wèn)題.

解(轉(zhuǎn)化法) 假設(shè)有一個(gè)圓錐體相切于繩套處，如圖4. 那么鐵球體上繩套中的張力就變?yōu)閳A錐體上的繩套的張力問(wèn)題. 所以只需要求出相切的圓錐體的半頂角α即可.

所以利用例1的結(jié)果就得到所求的繩子的張力為

最后再留一個(gè)問(wèn)題，對(duì)于更一般形狀的，比如光滑的橢球體，是否有解決辦法？