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    一道用微元法求解物理題的推廣

    2019-02-15 08:22:20韓福濟(jì)
    數(shù)理化解題研究 2019年1期
    關(guān)鍵詞:繩圈繩套旋轉(zhuǎn)體

    韓福濟(jì)

    (湖北省武漢市華中科技大學(xué)附屬中學(xué) 430074)

    一、題目及微元法

    例1 如圖1(a),一質(zhì)量為m的均勻閉合細(xì)繩套在一光滑鐵圓錐上,鐵圓錐半頂角為α,求解當(dāng)細(xì)繩平衡時(shí),繩中的張力為多少?

    分析:細(xì)繩在光滑鐵圓錐上的每點(diǎn)受力相同,如以整個(gè)細(xì)繩為研究對(duì)象,則問(wèn)題變得很難,而將細(xì)繩用微元法化為小的微分弧段,也可以認(rèn)為是質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象,就可以分析其受力,從而將問(wèn)題迎刃而解.

    解將細(xì)繩劃分為n個(gè)小弧段,取其中的一個(gè)弧段微元為來(lái)研究.

    假設(shè)繩圈的半徑為R,這個(gè)小弧段的圓心角為θ,質(zhì)量為Δm,微元的受力分析如圖1(b)所示:重力為Δmg,彈力為N,合力為T,有平衡條件得到下列式子:

    (1)N·cosα=T,N·sinα=Δmg.

    現(xiàn)在設(shè)微元弧段的兩個(gè)端點(diǎn)的張力分別是T1、T2,并且它們的大小相等,其合力T,方向指向原點(diǎn)O. 由力的分解可知:

    并且由于繩圈是均勻的,所以有

    聯(lián)立(1)(2)(3)式,得到:

    二、將圓錐體推廣為光滑鐵球體

    例2 如圖2(c),一質(zhì)量為m的均勻閉合細(xì)繩套在一光滑鐵球體上,鐵球體的半徑為R,繩套的長(zhǎng)度為L(zhǎng),且繩套長(zhǎng)度小于球的大圓周長(zhǎng). 求解當(dāng)細(xì)繩平衡時(shí),繩中的張力為多少?

    分析1 類比于例1,進(jìn)行分析計(jì)算.

    重力為Δmg,彈力為N,合力為T,有平衡條件得到下列式子:

    現(xiàn)在設(shè)微元弧段的兩個(gè)端點(diǎn)的張力分別是T1、T2,并且它們的大小相等,其合力T,方向指向原點(diǎn)O. 由力的分解可知:

    并且由于繩圈是均勻的,所以有

    聯(lián)立(5)(6)(7)式,得到:

    分析2 在球體上,假設(shè)有一個(gè)圓錐體相切于繩套處,如圖3. 則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為例1中的圓錐體上繩套的張力問(wèn)題,就可用例1的結(jié)果.

    所以利用例1的結(jié)果就得到所求的繩子的張力為

    三、將圓錐體推廣為更一般的旋轉(zhuǎn)體

    例3 如圖4,一質(zhì)量為m的均勻閉合細(xì)繩套在一光滑的花瓶上,花瓶表面是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體的表面. 旋轉(zhuǎn)體表面是由函數(shù)y=1-x2繞著y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的,繩套的長(zhǎng)度為L(zhǎng). 求解當(dāng)細(xì)繩平衡時(shí),繩中的張力為多少?

    分析在這個(gè)花瓶上,也同樣假設(shè)有一個(gè)圓錐體相切于繩套處,如圖4. 則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為例1中的圓錐體上繩套的張力問(wèn)題.

    解(轉(zhuǎn)化法) 假設(shè)有一個(gè)圓錐體相切于繩套處,如圖4. 那么鐵球體上繩套中的張力就變?yōu)閳A錐體上的繩套的張力問(wèn)題. 所以只需要求出相切的圓錐體的半頂角α即可.

    所以利用例1的結(jié)果就得到所求的繩子的張力為

    最后再留一個(gè)問(wèn)題,對(duì)于更一般形狀的,比如光滑的橢球體,是否有解決辦法?

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