巧找等量關(guān)系，破解圓錐曲線求離心率類高考題

黃昌杰

【摘要】圓錐曲線求離心率類的高考題如果能很好地抓住等量關(guān)系這一思想，解這類題思路會(huì)非常清晰，而且學(xué)生容易把握.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；離心率；等量關(guān)系

求圓錐曲線的離心率的高考題，對(duì)一些學(xué)生特別是基礎(chǔ)中等以下的學(xué)生來說，往往比較有迷惑性，有時(shí)隨意列出幾個(gè)式子，但卻不知道能不能解出自已想要的結(jié)果來.眾所周知，我們從小學(xué)開始，“找等量關(guān)系，列方程，解應(yīng)用題”的思想就慢慢在我們的大腦中根深蒂固，這種思想曾經(jīng)在我們解應(yīng)用題時(shí)給我們帶來過極大方便.對(duì)于高中圓錐曲線的題目來說，我們同樣可以用這種思想獲得一些靈感.下面結(jié)合筆者長(zhǎng)期的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，主要以橢圓、雙曲線求離心率類的高考題為例，談一點(diǎn)教學(xué)心得，以供大家參考.

（一）橢圓隱含有等量關(guān)系a2=b2+c2，雙曲線隱含等量關(guān)系c2=a2+b2，所以只要從這類題目中尋找到另一個(gè)等量關(guān)系建立方程，即知道a，b，c三個(gè)字母中兩個(gè)字母的等式，就可以用一個(gè)字母把另外兩個(gè)字母表示出來，從而把離心率求出來.

例1（2016高考山東卷理）已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2|AB|=3|BC|，則E的離心率是.

解析假設(shè)點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，則Ac，b2a，Bc，-b2a，所以|AB|=2b2a，|BC|=2c，由2|AB|=3|BC|等量關(guān)系結(jié)合c2=a2+b2等量關(guān)系，得離心率e=2或e=-12（舍去），所以E的離心率為2.

例2（2015高考山東卷理）平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的漸近線與拋物線C2：x2=2py（p>0）交于點(diǎn)O，A，B，若△OAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，則C1的離心率為.

解析設(shè)OA所在的直線方程為y=bax，則OB所在的直線方程為y=-bax，

解方程組y=bax，x2=2py， 得x=2pba，y=2pb2a2，

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為2pba，2pb2a2，

拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為0，p2.

因?yàn)镕是△OAB的垂心，

所以可以建立kOB·kAF=-1等量關(guān)系，

所以-ba2pb2a2-p22pba=-1b2a2=54.

所以e2=c2a2=1+b2a2=94e=32.

例3（2014年浙江卷理）設(shè)直線x-3y+m=0（m≠0）與雙曲線x2a2-y2b2=1（a>b>0）兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)P（m，0）滿足|PA|=|PB|，則該雙曲線的離心率是.

解析由雙曲線的方程可知，它的漸近線方程為y=bax，與y=-bax，分別于x-3y+m=0，聯(lián)立方程組，解得A-ama-3b，-bma-3b，B-ama+3b，bma+3b，設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，則Q-ama-3b+-ama+3b2，-bma-3b+bma+3b2，由|PA|=|PB|，則PQ⊥AB，所以得kPQkAB=-1等量關(guān)系，故-bma-3b+bma+3b2-ama-3b+-ama+3b2-m=-3，解得2a2=8b2=8（c2-a2），即c2a2=54，ca=52.

（二）常見等量關(guān)系

正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角形相似、垂直的兩個(gè)向量之積為0、斜率存在的兩條直線斜率之積為-1等等，這些往往是建立方程的依據(jù).以上只是拋磚引玉，讀者只要仔細(xì)觀察題目，必然會(huì)發(fā)現(xiàn)出題人會(huì)在一些字眼里暗示了等量關(guān)系，此處往往為解題的突破口.同時(shí)，我們還要提高學(xué)生解復(fù)雜方程組的計(jì)算能力，這樣才能更好更快地解答此類問題.

【參考文獻(xiàn)】

[1]課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)[M].北京：人民教育出版社，2007.