高中數(shù)學(xué)中平面向量數(shù)量積概念的應(yīng)用探究

朱緯

【摘要】平面向量是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，如何加深學(xué)生對平面向量數(shù)量積概念的理解，提高學(xué)生靈活應(yīng)用這一知識的水平，是一線教師關(guān)注的重點.本文提出平面向量數(shù)量積概念應(yīng)用策略，希望給平面向量知識的教學(xué)提供參考.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；平面向量數(shù)量積；概念；應(yīng)用；探究

高中生對平面向量知識并不陌生，在物理知識學(xué)習(xí)中有所接觸，且高中數(shù)學(xué)有關(guān)平面向量的講解較為系統(tǒng)，但做到對平面向量數(shù)量積概念的靈活應(yīng)用并非易事，這就要求數(shù)學(xué)教師提高認識，采取針對性策略，結(jié)合具體實例詳細講解平面向量數(shù)量積概念的應(yīng)用.

一、重視運算，理解向量本質(zhì)

向量是一個既有大小又有方向的量，是矢量，這一點不難理解，如，物理學(xué)中的力.教材中給出平面向量數(shù)量積的定義：即，兩個向量a，b，夾角為θ，那么|a||b|cosθ叫作a與b的數(shù)量積.定義較為簡單，但如何使學(xué)生充分理解這一概念，做到靈活援用，需要教師在教學(xué)實踐中，重視向量的運算的講解，幫助學(xué)生掌握向量計算規(guī)律，切實打牢向量基礎(chǔ)知識，為學(xué)生解答更為復(fù)雜的題目奠定基礎(chǔ)，為此，教師可為學(xué)生講解如下題目：

例如，相互垂直的單位向量i，j，滿足關(guān)系式a-b=-8i+16j，a+b=2i-8j，求a·b.

此題較為簡單，講解該題目的目的在于幫助學(xué)生理解單位向量，以及向量的簡單運算.解答時顯然根據(jù)已知條件可將a，b兩個向量求解出來，a=-3i+4j，b=5i-12j，由此不難計算出a·b=（-3i+4j）·（5i-12j）=-63.

通過講解簡單的運算題目，使學(xué)生理解向量基礎(chǔ)知識后，可適當(dāng)增加所講題目的難度，進一步深化學(xué)生所學(xué)，為此教師可講解如下題目，考查學(xué)生對向量知識掌握熟練的程度.

例如，a，b為兩個不共線向量，模分別為3，2，并且向量a-2b和向量a+b相互垂直，要求計算向量a，b夾角的余弦值.

此題難度也不大，主要考查對數(shù)量積概念的靈活應(yīng)用程度，由向量數(shù)量積定義不難得出cosθ=a·b|a||b|，因為向量a，b的模已給出，因此，只要求出a·b即可，因為向量a-2b和向量a+b相互垂直，不難算出cosθ=16.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，教師應(yīng)重視向量運算的講解，加深學(xué)生對向量本質(zhì)的理解，促進學(xué)生對向量知識的靈活應(yīng)用.

二、數(shù)形結(jié)合，深入把握向量

高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，教師不能將向量教學(xué)局限在講解向量定義、計算規(guī)律方面，還應(yīng)利用向量這一工具解決一些幾何問題，使學(xué)生更加全面地理解與應(yīng)用向量知識.為此，教師可講解如下題目：

已知△ABC中（如圖所示），AB和AD相互垂直，其中|BC|sinB=3，|AD|=1，求向量AC·AD的值.

此題目是向量與三角形相結(jié)合的題目，難度相對較大，要想順利解答出題目，需要學(xué)生熟練掌握向量基本運算知識.根據(jù)已知條件解答過程為：AC·AD=|AC|·|AD|cos∠DAC=|AC|·cos∠DAC=|AC|sin∠BAC=|BC|sinB=3.

通過講解該題目使學(xué)生更加靈活地應(yīng)用所學(xué)向量知識，使學(xué)生明白向量夾角cosθ可以和三角函數(shù)知識聯(lián)系起來，從而應(yīng)用到解答三角形相關(guān)的題目中.另外，教師還應(yīng)為學(xué)生講解向量與三角形各心之間的關(guān)系，迅速解答出相關(guān)數(shù)學(xué)題目.如，△ABC中存在一點G，如果向量GA·GB=GA·GC=GB·GC，那么可知G為三角形的垂心.

三、積極探索，鼓勵主動學(xué)習(xí)

平面向量數(shù)量積概念的應(yīng)用還體現(xiàn)在與其他數(shù)學(xué)知識點的結(jié)合中，難度一般較大，因此，教師應(yīng)通過講解一些向量綜合性的題目，鼓勵學(xué)生不斷探索，理清向量與其他數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生掌握有關(guān)向量的更為復(fù)雜的題目.例如，在學(xué)生掌握向量數(shù)量積概念后，教師可講解如下題目：

設(shè)f（x）=a·b，向量a=（2cosx，1），b=（cosx，3sin2x），x∈R.（1）當(dāng)f（x）=1-3，且x∈-π3，π3，求x；（2）當(dāng)函數(shù)y=2sin2x圖像，按照向量c=（-m，n）|m|<π2平移，得到y(tǒng)=f（x）的圖像，求實數(shù)m、n的值.

此題目屬于向量數(shù)量積概念應(yīng)用的綜合題目，與三角函數(shù)、函數(shù)、函數(shù)圖像平移相結(jié)合，因此，教師應(yīng)進行詳細的講解，列出相關(guān)的解題過程.第（1）問解題過程如下：

由題目不難得出f（x）=2cos2x+3sin2x=1+2sin2x+π6，又因為f（x）=1-3，可得sin2x+π6=-32，又因為x∈-π3，π3，不難解出x=-π4.解答第（2）時，根據(jù)題意，函數(shù)按照向量c平移后，得y=2sin2（x-m）+n的圖像，即y=f（x），對比可知，m=-π12，n=1.

該題目講解完成后，教師還可適當(dāng)改動已知條件，鼓勵學(xué)生進行探索，以全面掌握該種題型的解答思路與方法，提升向量知識的應(yīng)用熟練程度.

四、總結(jié)

高中數(shù)學(xué)平面知識教學(xué)中，教師應(yīng)注重向量數(shù)量積概念應(yīng)用的教學(xué)，使學(xué)生掌握向量試題的解答方法，幫助學(xué)生切實打牢基礎(chǔ)知識，使向量成為解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的有效工具，教師尤其應(yīng)注重向量運算教學(xué)、向量與幾何結(jié)合相關(guān)的題型.同時，還應(yīng)注重一些綜合習(xí)題的講解，鼓勵學(xué)生勇于探索，提升學(xué)生應(yīng)用向量知識的能力.

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