高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題的探究與教學(xué)構(gòu)想

逄玲玲

【摘要】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題的考查要求緊緊扣住數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的教學(xué)應(yīng)回歸本源，注重對(duì)基本初等函數(shù)的基本性質(zhì)的研究，即對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、函數(shù)的極值、函數(shù)的零點(diǎn)的研究，包括對(duì)基本技能、基本思想方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的研究，提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.通過(guò)對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題解法進(jìn)行分析研究，可以看出，題目的命制都有其高等數(shù)學(xué)的背景，更有教材的痕跡在里面.所以，教師要充分發(fā)揮自己的主觀能動(dòng)性，全過(guò)程地、詳細(xì)地、全方位地展示函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題求解的過(guò)程，不可以去頭去尾，燒中段.要回歸基礎(chǔ)，回歸教材.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)；命題背景；命題建構(gòu)；命題解法

下面我以2014年全國(guó)課標(biāo)卷Ⅰ理科21題函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題為例，通過(guò)分析試題的解析過(guò)程.研究導(dǎo)數(shù)試題的命題背景、命題建構(gòu)和命題解法.

設(shè)函數(shù)f（x）=aexlnx+bex-1x，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=e（x-1）+2.（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）證明：f（x）>1.

點(diǎn)評(píng)本題以曲線的切線為背景，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的極值、最值以及證明函數(shù)不等式.本題目設(shè)置兩問(wèn)，第一問(wèn)是基礎(chǔ)題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，多數(shù)學(xué)生可以求出f（1）=2，f′（1）=e從而求出a=1，b=2.第二問(wèn)看起來(lái)似乎不難，實(shí)際操作出來(lái)比較困難.其實(shí)本問(wèn)是考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式，背景豐富，有難度和區(qū)分度，研究的空間很大，下面我們探討第二問(wèn).

解析（Ⅱ）由（Ⅰ）問(wèn)知a=1，b=2，f（x）=exlnx+2ex-1x，從而要證明不等式exlnx+2ex-1x>1（x>0），等價(jià)于證明不等式lnx+2ex>1ex（x>0）.

方法一令g（x）=lnx+2ex-1ex，（x>0），下面證明g（x）>0，求導(dǎo)得g′（x）=ex（ex-2）+ex2ex2ex，令h（x）=ex（ex-2）+ex2（x>0），則

h′（x）=ex（ex+e-2）+2ex>0，故h（x）在（0，+∞）上遞增.

又h32e=94e-12e32e<0，∴h（1）=e2-e>0，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)定理知，h（x）在（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)x0=32e，1，即h（x0）=0，即ex0（ex0-2）+ex20=0，

當(dāng)0

當(dāng)x≥x0時(shí)，g′（x）≥0，故g（x）在[x0，+∞）上遞增，

所以（g（x））min=g（x0）=lnx0+2ex0-1ex0=lnx0+2ex0+ex0-2ex20

=lnx0+1x0+2ex0-2ex20.

令φ（x）=lnx+1x+2ex-2ex2，x∈32e，1，下面證明φ（x）>0，

φ′（x）=ex2-（e+2）x+4ex3>0，x∈32e，1，故φ（x）在32e，1上遞增，∴φ（x）>φ32e，∴l(xiāng)n32+13-2e9>0，故得證.

評(píng)析方法一是處理函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的常見(jiàn)方法，即將所證明不等式證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)函數(shù)不等式成立問(wèn)題，利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的零點(diǎn)定理（必修1）得到構(gòu)造的新函數(shù)在定義域上的最大值小于或等于零，或最小值大于等于零，即得原函數(shù)不等式恒成立.這里有時(shí)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)可能得不到所需要的不等式成立，還需構(gòu)造兩個(gè)或三個(gè)函數(shù)方可得到結(jié)論，有時(shí)可能對(duì)原函數(shù)求二次或三次導(dǎo)數(shù)，判斷所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值的符號(hào)、函數(shù)的零點(diǎn)，才能得到要證明的不等式.

方法二利用不等式的基本性質(zhì)先進(jìn)一步適當(dāng)放縮后再構(gòu)造函數(shù)不等式.

不等式exlnx+2ex-1x>1，（x>0）等價(jià)于elnx+2x>1ex-1（x>0），我們利用教材選修2-2第32頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組第1題和第（3）和（4）題的結(jié)論：即對(duì)x∈R，ex≥x+1和對(duì)x∈R+，lnx

因?yàn)椴坏仁絜xlnx+2ex-1x>1（x>0），等價(jià)于elnx+2x>1ex-1（x>0）.又因?yàn)閑x≥x+1，∴ex-1≥x，當(dāng)x>0時(shí)，1ex-1≤1x，故只需要證明：elnx+2x>1x（x>0），

令g（x）=exlnx+1，（x>0），∴g′（x）=e（1+lnx），令g′（x）>0得x=1e，

當(dāng)00，∴g′（x）>0.

∴函數(shù)g（x）=exlnx+1，（x>0）的減區(qū)間為0，1e，增區(qū)間為1e，+∞.

∴（g（x））min=g1e=0，∴x>0，elnx+1x≥0（當(dāng)且僅當(dāng)x=1e時(shí)，不等式取等號(hào)）.

而對(duì)x>0，ex-1≥x（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，不等式取等號(hào)），又1e≠1，當(dāng)x>0時(shí)，

elnx+1x>0，即elnx+2x>1x，∴elnx+2x>1x≥1ex-1，∴exlnx+2ex-1x>1成立

點(diǎn)評(píng)方法二根據(jù)教材習(xí)題上的恒成立的函數(shù)不等式ex≥x+1，利用證明不等式的基本方法——放縮法，先將原不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，再進(jìn)行放縮，可以看出要證明原函數(shù)不等式，只要證明不等式elnx+1x>0（x>0），這里我們要注意放縮時(shí)要整體放縮、局部放縮相結(jié)合，不可放“過(guò)”，即放“大”了或放“小”，而得不到不等式的證明.

分析問(wèn)題的能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)最核心的能力，表面上看好像很具體，其實(shí)很抽象，伴隨學(xué)生完成他們的學(xué)習(xí)全過(guò)程.所以教師要充分發(fā)揮自己的主觀能動(dòng)性，全過(guò)程詳細(xì)、全方位地展示函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題求解的過(guò)程，不可以去頭去尾，燒中段.要回歸基礎(chǔ)，回歸教材，避免讓學(xué)生和自己跳入“題?！?要精講精練，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的基本過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)是靈動(dòng)的，問(wèn)題是鮮活的，體會(huì)學(xué)習(xí)的過(guò)程是求學(xué)問(wèn)的過(guò)程，非復(fù)制、粘貼、拷貝的過(guò)程，非刷題的過(guò)程，是一個(gè)追求數(shù)學(xué)文化，提高自身數(shù)學(xué)素質(zhì)的過(guò)程.