淺析導(dǎo)數(shù)與積分的相互關(guān)系

閆永芳

【摘要】在恩格斯的《自然辯證法》和毛澤東的著作《矛盾論》里，講矛盾的普遍性時(shí)，都提到物理學(xué)中的“正電和負(fù)電”，化學(xué)中的“化合和分解”，以及數(shù)學(xué)里的“正和負(fù)”“微分和積分”等.從此，“微分和積分是一對(duì)矛盾”便成為一條被普遍認(rèn)同的命題.哲學(xué)家從各個(gè)學(xué)科中援引例證以論證其哲學(xué)命題本無可厚非，然而作為一名數(shù)學(xué)工作者，如果不做具體分析，空泛地宣稱“微分和積分是一對(duì)矛盾”則等于什么也沒說.本文從五個(gè)方面分別講述了導(dǎo)數(shù)與積分在這些方面的不同之處，并做了詳細(xì)對(duì)比，最后闡明了導(dǎo)數(shù)和積分的互逆關(guān)系.

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；積分；互逆關(guān)系

一、研究對(duì)象

先說導(dǎo)數(shù).在討論導(dǎo)數(shù)概念時(shí)，我們把函數(shù)區(qū)分為均勻變化函數(shù)與非均勻變化函數(shù).所謂均勻變化函數(shù)是指在所討論范圍內(nèi)是線性函數(shù)，它在任何一點(diǎn)處函數(shù)增量與自變量之比為常數(shù)（此即“均勻變化”的意思）.非均勻變化函數(shù)是指在所討論范圍內(nèi)是非線性函數(shù)，其函數(shù)增量與自變量增量之比不盡相同（此即“非均勻變化”的意思）.導(dǎo)數(shù)所處理的問題在于表達(dá)和計(jì)算這種非均勻變化函數(shù)的局部變化率.例如，汽車變速運(yùn)動(dòng)時(shí)候的瞬時(shí)速度.總之，導(dǎo)數(shù)概念所反應(yīng)的是函數(shù)的局部性質(zhì).

再說積分.在討論積分概念時(shí)，我們把函數(shù)區(qū)分為均勻分布函數(shù)和非均勻分布函數(shù).前者指在所討論范圍內(nèi)恒等于常數(shù)的函數(shù)，后者指在所討論范圍內(nèi)不恒等于常數(shù)的函數(shù).積分所處理的問題在于表達(dá)和計(jì)算非均勻分布函數(shù)的一種累積效應(yīng).例如，物體在力F的作用下實(shí)現(xiàn)從x=a至x=b的位移，假定力的方向與位移的方向平行.如果力F是常力（均勻分布），則力F所做的功等于F（b-a）.如果力F=F（x）是變力（非均勻分布），則變力所做的功可視為在一小段一小段位移中力所做功的累積的結(jié)果，即非均勻分布的累積效應(yīng).總之，積分所刻畫的是函數(shù)的一種整體性質(zhì).

二、處理問題的方法

總的思路是利用對(duì)均勻情形的已有認(rèn)識(shí)達(dá)到對(duì)非均勻情形的認(rèn)識(shí).但是擺在我們面前的研究對(duì)象是兩類非均勻問題：非均勻變化函數(shù)的局部變化率問題和非均勻分布函數(shù)的累積效應(yīng)問題.他們的處理方法是不同的.

為了定義非均勻變化函數(shù)f（x）在一點(diǎn)x處的局部變化率，關(guān)鍵的一步是考察f（x）從x到x+Δx的變化情況.將f（x）在x到x+Δx的局部變化率視為均勻變化函數(shù)（即線性函數(shù)），于是變化率為ΔyΔx，此變化率稱為f（x）在x到x+Δx的平均變化率.然后通過極限最終達(dá)到對(duì)f（x）在x處的變化率的認(rèn)識(shí).積分所要表達(dá)的量是非均勻分布函數(shù)的累積效應(yīng).為了認(rèn)識(shí)這個(gè)整體性質(zhì)的量，在局部視非均勻分布為均勻分布以求得所求量之局部近似，然后累加、取極限最終達(dá)到對(duì)該整體量的認(rèn)識(shí).兩種方法可作簡(jiǎn)單的概括：應(yīng)用于導(dǎo)數(shù)稱為局部線性化方法，應(yīng)用于積分的稱為局部均勻化方法.

三、微分運(yùn)算與積分運(yùn)算

導(dǎo)數(shù)和積分所處理的這兩類問題，在均勻情形下有著明顯的互逆關(guān)系：均勻變化函數(shù)（線性函數(shù)）的導(dǎo)數(shù)是均勻分布函數(shù)（常數(shù)）；均勻分布函數(shù)（常數(shù)）的變上限積分是均勻變化函數(shù)（線性函數(shù)）.

為了探索在一般情況下導(dǎo)數(shù)和積分的聯(lián)系，我們研究了整體性質(zhì)的量的局部特征，即研究了變上限積分的導(dǎo)數(shù).

假定f（x）在含有點(diǎn)a的某區(qū)間I上連續(xù)，x屬于I.則有

ddx∫xaf（t）dt=f（x）.

假定f（x）具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），則有

∫xaf′（t）dt=f（x）-f（a）.

由此可見微分運(yùn)算與積分運(yùn)算具有明顯的互逆性.

四、對(duì)函數(shù)光滑性的影響

先對(duì)函數(shù)的光滑性作一下說明，下面是關(guān)于函數(shù)的一系列刻畫：在某個(gè)指定的區(qū)間上f（x）連續(xù)；f′（x）存在；f′（x）連續(xù)；f″（x）存在；f″（x）連續(xù)；延續(xù)下去，從左向右，我們稱函數(shù)的光滑性越來越高.

前面反復(fù)講過，連續(xù)函數(shù)f（x）的變上限積分是可導(dǎo)的，導(dǎo)數(shù)就等于f（x）.由此可見函數(shù)經(jīng)過積分運(yùn)算后成為光滑性更高的函數(shù).簡(jiǎn)單地說就是積分運(yùn)算可提高函數(shù)的光滑性，反過來看則是微分運(yùn)算可降低函數(shù)的光滑性.

五、定義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

導(dǎo)數(shù)與定積分的定義之?dāng)?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)對(duì)比如下：

導(dǎo)數(shù)定積分

“差”的“商”

f（x）-f（x0）x-x0的極限

“積”的“和”

∑ni=1f（ξi）Δxi的極限

先不講取極限.導(dǎo)數(shù)概念涉及的運(yùn)算是減法和除法，積分概念涉及的運(yùn)算是乘法與加法.導(dǎo)數(shù)中的運(yùn)算次序是先減后除，積分定義中的運(yùn)算次序是先乘后加.二者相比較，所涉及的運(yùn)算是互逆的，但次序正好相反.

數(shù)學(xué)中存在著一個(gè)非常普遍的現(xiàn)象：兩種相繼進(jìn)行的運(yùn)算求逆運(yùn)算時(shí)，可分別求這兩種運(yùn)算的逆運(yùn)算，但次序相反.例如，設(shè)A，B為階數(shù)相同的滿秩方陣，則（AB）-1=B-1A-1.

回到我們的正題，可以認(rèn)為在取極限之前，導(dǎo)數(shù)和定積分定義的數(shù)學(xué)構(gòu)造是施加于函數(shù)之上的某種意義上的互逆運(yùn)算，我們有理由推測(cè)，微分運(yùn)算與積分運(yùn)算的互逆性的根源就在這里.當(dāng)然，由于各自均伴有一個(gè)極限過程，導(dǎo)數(shù)與積分的所有性質(zhì)都要逐一加以證明.

按照以上的分析，微積分并不神秘，說到底，它只不過是加、減、乘、除的學(xué)問而已.

【參考文獻(xiàn)】

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