數(shù)學美在大學數(shù)學教學中的運用與思考

侯方博

【摘要】目前高校學生對大學數(shù)學的文化價值的認知不夠全面，普遍沒有數(shù)學美的概念，本文就這一現(xiàn)狀做了分析并提出了建議.同時從要善于啟迪、不斷滲透、培養(yǎng)應(yīng)用能力、精講多練四個方面介紹了在大學數(shù)學教學中數(shù)學美的運用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學美；大學數(shù)學；教學

【基金項目】吉林農(nóng)業(yè)科技學院教育教學改革項目——數(shù)學美在非專業(yè)數(shù)學教學中的研究與應(yīng)用（JGZD011）.

大學數(shù)學是學生在大學階段的重要基礎(chǔ)課，一般在非數(shù)學專業(yè)開設(shè)的大學數(shù)學有高等數(shù)學、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等，統(tǒng)稱為大學數(shù)學.它是學生在大學階段構(gòu)建完整知識體系的基石，對理工科、信息科學類、經(jīng)濟管理類、農(nóng)業(yè)研究類等學科的學生學習后續(xù)的專業(yè)課程和今后的工作起著重要的奠基作用.因此，在教學中如何提升教學質(zhì)量、培養(yǎng)學生的學習興趣和提高學生的學習效果，是值得研究的問題.

按照北京大學數(shù)學科學學院張順燕教授的觀點，數(shù)學教學的任務(wù)是判美和析理.判美，就是對數(shù)學對象的審美和對學生進行數(shù)學美學教育.這是提高大學生數(shù)學素養(yǎng)和培養(yǎng)創(chuàng)新能力的必要環(huán)節(jié).數(shù)學教師在傳授數(shù)學知識的同時，引導學生對數(shù)學對象審美，是進行數(shù)學美育和提高學生文化素養(yǎng)的重要途徑.

一、數(shù)學美學知識在教與學中的現(xiàn)狀與思考

經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，我們的學生在機械地學習數(shù)學知識，一半的學生認為學習數(shù)學是有用的，但是數(shù)學的學習是無趣的，還存在少數(shù)學生不明確學習數(shù)學對今后的學習、工作、生活有何用處.另一方面，多數(shù)數(shù)學教師在教學中全程沒有提及過數(shù)學美，沒有向?qū)W生介紹過數(shù)學美的書籍，更不能從數(shù)學審美的角度分析教學內(nèi)容蘊含的數(shù)學美.就這種現(xiàn)狀，筆者有如下建議：

（一）應(yīng)在日常教學中將數(shù)學美學知識融入其中，增加數(shù)學課程的文化感和人文氣息

數(shù)學教師不僅僅是向?qū)W生傳播數(shù)學知識，更重要的是指導學生學習數(shù)學文化.因為從文化的角度去學習數(shù)學，可以了解數(shù)學的全貌，包括數(shù)學的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用過程，以及數(shù)學中的定義、公式、定理數(shù)學語言等的審美過程，從而使學生更好地領(lǐng)悟數(shù)學的思想方法和鑒賞數(shù)學的美.只有這樣，才能實現(xiàn)數(shù)學教學提高數(shù)學素養(yǎng)和培養(yǎng)創(chuàng)新能力的目的.

（二）對不同專業(yè)、不同層次的學生傳授數(shù)學美知識時要有所側(cè)重

美無處不在，缺少的是發(fā)現(xiàn)美的眼睛.數(shù)學的美是理性的，感受到的數(shù)學的美也是因人而異的.凡是體驗過數(shù)學美感的人一般都會對數(shù)學美有進一步的認識，對這種美感有著長時間深刻的記憶.

數(shù)學圖形的直觀、公式的簡潔、數(shù)學符號的簡練等是一目了然的美觀，對于數(shù)學基礎(chǔ)差的學生可以引導其欣賞這種較低層次的數(shù)學美；高度概括的數(shù)學語言是較難理解的，但它是很理性的美，是較高層次的美.例如，用“ε-N”語言來定義極限概念，在數(shù)學素養(yǎng)高的人眼里它是很美的，因為它簡練、精準地概括了極限的內(nèi)涵，而對于初學者來說，就是晦澀難懂的，毫無美感可言.所以，感受數(shù)學美要以相應(yīng)的數(shù)學水平和數(shù)學素養(yǎng)為基礎(chǔ).在教學中教師要善于根據(jù)學生的特點選擇學生熟悉的數(shù)學知識講授數(shù)學美，或者對于不熟悉的知識先讓學生熟練后再引導其去審視數(shù)學美，這樣學生會對相應(yīng)的數(shù)學知識進行比較全面的理解，更會對審美數(shù)學有比較深刻的感受.

（三）數(shù)學教師要注重提升自身數(shù)學美學修養(yǎng)

任大學數(shù)學課程的教師在日常工作中不僅應(yīng)當挖掘數(shù)學知識中的對稱美、統(tǒng)一美、奇異美、簡潔美，還要多方面積累有關(guān)數(shù)學美感的體驗，只有美感經(jīng)驗豐富的人才能清楚地了解和把握知識，才能更加恰當?shù)剡x準時機引導和帶動學生體驗數(shù)學美.

二、在大學數(shù)學教學中數(shù)學美的運用

（一）要善于啟迪，讓學生感受數(shù)學知識的和諧美與辯證美

數(shù)學在其他學科中的應(yīng)用展現(xiàn)了他們的和諧性，但是數(shù)學本身就具有和諧美，體現(xiàn)在數(shù)學知識的系統(tǒng)性、嚴謹性、完整性，這也是數(shù)學的普遍形式.

比如，極限的描述性定義是這樣表述的：當n無限增大時，|an-A|無限趨近于0.這里同時出現(xiàn)了無窮大和無窮小，將這樣一對相互矛盾的對象統(tǒng)一起來，何等的和諧.

在討論無窮小的性質(zhì)時，筆者常給學生舉下面的例子讓學生體會數(shù)學的辯證.

（1） limn→∞1n2+2n2+…+kn2（k是與n無關(guān)的常數(shù)）；

（2） limn→∞1n2+2n2+…+nn2.

學生看到題目后的第一反應(yīng)認為極限都是0，當教師對k是與n無關(guān)的常數(shù)做強調(diào)和解釋之后，就有一部分學生能判斷出兩題的區(qū)別了.此時教師引導學生將兩題的求解過程具體寫出來，大部分學生就能理解“有限個無窮小的和是無窮小，而無限個無窮小的和未必是無窮小”了.教師一句“量的積累引起質(zhì)的變化，辯證法在此得到具體體現(xiàn)”，使學生茅塞頓開.

（二）要不斷滲透，讓學生驚嘆數(shù)學的對稱美與奇特美

對稱性是藝術(shù)領(lǐng)域里一個非常重要的要素，同時它也是數(shù)學美的重要特性.數(shù)學中的數(shù)與形的對稱現(xiàn)象是極為常見的，對稱的圖形或式子從直觀上看具有十足的美感，此外，還有抽象的觀念和方法的對稱，這需要數(shù)學教師的滲透、啟迪.一旦在解題時恰當?shù)乩昧四撤N對稱性，就會驚嘆數(shù)學的奇特.

例如，高等數(shù)學中研究多元函數(shù)的極限或積分，通常的代數(shù)的方法不是很容易求出結(jié)果，而用極坐標做代換會使得問題簡化，其過程是相當奇異與新穎的.再如，在求解積分時如果能恰當、準確地使用下述結(jié)論，將會使得問題事半功倍.

（1）∫a-af（x）dx=0，f（x）是奇函數(shù)時；2∫a0f（x）dx，f（x）是偶函數(shù)時.

（2）D關(guān)于x軸對稱，則

Df（x，y）dσ=

0，f（x，y）關(guān)于變量y是奇函數(shù)時；

2D 1f（x，y）dσ，f（x，y）關(guān)于變量y是偶函數(shù)時.

其中D1為D的位于x軸上方的部分.

（3）D關(guān)于y軸對稱，則

Df（x，y）dσ=

0，f（x，y）關(guān)于變量x是奇函數(shù)時；

2D 2f（x，y）dσ，f（x，y）關(guān)于變量x是偶函數(shù)時.

其中D2為D的位于y軸右側(cè)的部分.

（4）D關(guān)于原點對稱，則

Df（x，y）dσ=

0，f（x，y）是奇函數(shù)時；2D 1f（x，y）dσ=2D 2f（x，y）dσ，f（x，y）是偶函數(shù)時.

其中D1與D2是D的關(guān)于原點對稱的兩個全等的部分.

（5）D關(guān)于直線y=x對稱，則

Df（x，y）dσ=Df（y，x）dσ=12D[f（x，y）+f（y，x）]dσ.

（三）培養(yǎng)應(yīng)用能力，讓學生享受到解決數(shù)學問題后的征服美與創(chuàng)造美

在大學數(shù)學教學中，不能把數(shù)學專業(yè)的思維模式以及對數(shù)學專業(yè)學生的要求貫穿于其中，沒有必要過分強調(diào)理論知識的掌握和對數(shù)學理論的深入研究，而是要讓學生在掌握了基本概念和基本方法的基礎(chǔ)上，注重應(yīng)用能力的培養(yǎng)，即培養(yǎng)學生運用已有的知識去解決不熟悉問題的本領(lǐng)，包括應(yīng)用的范圍、方法以及技巧.實質(zhì)上，對應(yīng)用能力培養(yǎng)的同時，可以使學生加深對基本概念和基本方法的理解，同時會深切地體會到問題解決后的征服美與創(chuàng)造美.

關(guān)于應(yīng)用能力的培養(yǎng)，首先，應(yīng)重視應(yīng)用意識的培養(yǎng).它是人們主動用數(shù)學觀念和方法解決實際問題的關(guān)鍵，沒有應(yīng)用意識就不可能有應(yīng)用行為.在教學中可讓學生更多地了解數(shù)學概念產(chǎn)生的背景、發(fā)展過程，熟悉知識點的實際背景與其他學科的聯(lián)系，掌握思想方法的來龍去脈和各種數(shù)學應(yīng)用方法、規(guī)律等，這樣通過大面積、長時間的熏陶，一定會大大增強學生的應(yīng)用意識；其次，充分展示數(shù)學的方法.在教學中深入挖掘知識的深刻內(nèi)涵，通過展示過程中的思想方法來培養(yǎng)學生用數(shù)學方法思考問題的思維模式；第三，要強化數(shù)學應(yīng)用技能的訓練，多舉一些與現(xiàn)實問題結(jié)合的例題.

比如，在講授級數(shù)知識的時候，可以用芝諾悖論之一“阿基里斯追不上烏龜”作為引例讓學生討論此悖論的癥結(jié)所在，引起學生的學習興趣，在介紹了級數(shù)的基本知識點后，分析板演此引例中阿基里斯和烏龜分別走過的路程的級數(shù)表示，這樣學生會更好地理解級數(shù)的定義，同時也有利于培養(yǎng)學生將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學表達的能力，激發(fā)征服困難的動力.在學生掌握了一定的級數(shù)求和方法后，讓他們考慮可否用統(tǒng)一方法求級數(shù)1+13+19+127+…與級數(shù)1+3+9+27+…的和，讓學生體會數(shù)學的創(chuàng)造美，增強學習興趣.

（四）做到精講多練，使學生學會運用數(shù)學的簡潔美、相似美

數(shù)學的簡潔美體現(xiàn)在數(shù)學語言的高度概括性、數(shù)學內(nèi)容的高度抽象性，而且還包含解題思維的敏捷性.“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，這句出自《莊子·天下篇》，其用簡練的語言概括了有限與無限的辯證關(guān)系，同時蘊含了數(shù)學的極限思想，讀著古人智慧的語句，理解著數(shù)學的精髓思想，何等美哉！

解題時，運用數(shù)學的簡潔美可以盡快地將題目中反映出的新信息有效地進行整合、重組，獲得最佳解決方案.當問題越解越煩瑣，那么意味著方法、思路存在不當?shù)膯栴}，需另尋他法.例如，利用洛必達法則求極限 limx→0tanx-xxsin2x，當運用到第三次時會發(fā)現(xiàn)這個極限表達式已經(jīng)十分煩瑣了，使我們不愿再做下去，此時自然會想到是方法使用不當導致的，進而探求新途徑——簡化分母，可以用等價無窮小替換（x→0時，sinx～x），再使用洛必達法則就容易求解了.

當某一類數(shù)學問題具有相似的條件、結(jié)論或圖形時，其解法也必具有相似之處.解題時可用相似美為指導，歸類處理，從中尋求解題方法.

例如，在利用換元法求積分時，選擇什么樣的三角函數(shù)做代換就要依托sin2t+cos2t=1與tan2θ+1=sec2θ這兩個三角恒等式，考查所求積分中的根式與哪個三角恒等式形式相似，再做恰當換元.比如，被積函數(shù)中有根式a2-x2，那么要想開根式，需令x=asint-π2≤t≤π2；如，被積函數(shù)中有根式a2+x2，那么要想開根式，需令x=atant，-π2

大學數(shù)學教學中重視數(shù)學美的融入，將會深刻地影響學生的思想情感，教師不僅要引導學生欣賞數(shù)學的美，更要給他們留有一定的時間和空間去體味、發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美，也許若干年后他們會忘記公式和定理，但是相信他們會銘記數(shù)學美帶給他們的美好回憶.