一種利用復(fù)積分求定積分的方法

馬志良

【摘要】本文主要研究的是用復(fù)積分計(jì)算定（實(shí)）積分問(wèn)題，并借助例題的形式給出了輔助函數(shù)為不同類型下的一般計(jì)算方法.

【關(guān)鍵詞】留數(shù)；多值函數(shù)；極點(diǎn)；支割線

【基金項(xiàng)目】蘭州資源環(huán)境職業(yè)技術(shù)學(xué)院校級(jí)課題（Z2016-19）.

一、預(yù)備知識(shí)

定理若z0為f（z）=φ（z）φ（z）的一級(jí)極點(diǎn)，其中φ（z0）≠0，φ（z0）=0，φ′（z0）≠0，則有Res[f（z），z0]=limz→z0φ（z）φ′（z）=φ（z0）φ′（z0）.

例如，設(shè)z0為1z4+1的一級(jí)極點(diǎn)，則Res1z4+1，z0=limz→z01（z4+1）′=limz→z014z3=14z30=z04z40=-z04.

二、復(fù)積分在實(shí)積分中的應(yīng)用

（一）輔助函數(shù)為復(fù)變單值函數(shù)

例1計(jì)算實(shí)積分∫+∞-∞1x4+1dx.

解輔助函數(shù)選為f（z）=1z4+1，在復(fù)平面有4個(gè)一級(jí)極點(diǎn)，z1=eπ4i，z2=e3π4i，z3=e5π4i，z4=e7π4i.作以原點(diǎn)為圓心，R≥1為半徑的上半圓，積分路徑如圖1所示.

對(duì)上式兩邊求R→∞的極限，則得

∫+∞-∞1x4+1dx+limR→+∞∫CR1z4+1dz=22π，

∫CR1z4+1dz≤∫π01R4ei4θ+1dθ≤∫π01R4ei4θ+1dθ

≤∫π01R4|cos4θ|+1dθ≤∫π01R4+1dθ≤πR4+1，

故limR→+∞∫CR1z4+1dz≤limR→+∞πR4+1=0

limR→+∞∫CR1z4+1dz=0，所以∫+∞-∞1x4+1dx=22π.

從這個(gè)例子可以看出，當(dāng)輔助函數(shù)為單值函數(shù)時(shí)，積分曲線只需作以原點(diǎn)為圓心，包含孤立奇點(diǎn)的上半圓，然后用閉曲線上的留數(shù)定理計(jì)算可得.

（二）輔助函數(shù)為復(fù)變多值函數(shù)

例2計(jì)算實(shí)積分∫+∞0xlnx（1+x）2dx.

解輔助函數(shù)選為f（z）=zlnz（1+z）2，由于z與lnz是多值函數(shù)，支點(diǎn)為0與∞，所以函數(shù)f（z）的支點(diǎn)也為0與∞.函數(shù)f（z）在整個(gè)復(fù)平面上只有一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)-1，

因?yàn)橹Ц罹€不能過(guò)孤立奇點(diǎn)，所以支割線可選為正實(shí)軸，且作以原點(diǎn)為圓心，R≥1為半徑的圓CR.為了不讓積分曲線繞支點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)，作以原點(diǎn)為圓心，r≤1為半徑的圓Cr，允許支割線在積分路徑上選取，積分曲線如圖2所示，選擇支割線上岸的復(fù)數(shù)角度為0，即argz=0.因?yàn)閺?fù)變函數(shù)zlnz（1+z）2在圖中的復(fù)連通區(qū)域上除了z0=-1之外解析，由留數(shù)定理得

∫CRzlnz（1+z）2dz+∫rRzlnz（1+z）2dz-∫Crzlnz（1+z）2dz

+∫Rrzlnz（1+z）2dz=2πiReszlnz（1+z）2，-1.

由于規(guī)定支割線上岸argz=0，所以arg（-1）=π，推出-1=eπ2i=i，ln（-1）=πi，

Reszlnz（1+z）2，-1=limz→-1（zlnz）′

=limz→-112zlnz+zz=12-1ln（-1）--1

=12iπi-i=π2-i，

所以2πiReszlnz（1+z）2，-1=2πiπ2-i=2π-π2i，

limR→+∞∫CRzlnz（1+z）2dz≤limR→+∞∫CRzlnz（1+z）2|dz|

≤limR→+∞RlnR（1+R）22πR=0limR→+∞∫CRzlnz（1+z）2dz=0，

limr→0∫Crzlnz（1+z）2dz≤limr→0∫Crzlnz（1+z）2|dz|

≤limr→0rlnr（1+r）22πr=0limr→0∫Crzlnz（1+z）2dz=0.

在向量rR上，由于argz=0，所以z=x，

limR→+∞r(nóng)→0∫Rrzlnz（1+z）2dz=∫+∞0xlnx（1+x）2dx，

在向量Rr上，由于argz=2π，所以z=xe2πi，

limR→+∞r(nóng)→0∫rRzlnz（1+z）2dz=∫0+∞xe2πiln（xe2πi）（1+xe2πi）2d（xe2πi）

=∫0+∞xeπi（lnx+2πi）（1+x）2dx

=∫+∞0x（lnx+2πi）（1+x）2dx∫+∞0xlnx（1+x）2dx+∫+∞0x（lnx+2πi）（1+x）2dx

=2π-π2i，

所以∫+∞0xlnx（1+x）2dx=π.

由這個(gè)例子可以看出，當(dāng)輔助函數(shù)為多值函數(shù)時(shí)，就要通過(guò)在支割線上限制輻角的辦法，把復(fù)變函數(shù)在積分曲線上分解成單值解析分支，最后用留數(shù)定理加以解決.

三、結(jié)論

由上面兩個(gè)例子可以看出，在將實(shí)積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為復(fù)積分的計(jì)算時(shí)，要根據(jù)輔助函數(shù)是單值函數(shù)還是多值函數(shù)，合理地選擇積分曲線路徑，進(jìn)而用留數(shù)定理加以解決.