不確定分?jǐn)?shù)階時(shí)滯混沌系統(tǒng)自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步控制?

林飛飛 曾喆昭

(長(zhǎng)沙理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院,長(zhǎng)沙 410076)

不確定分?jǐn)?shù)階時(shí)滯混沌系統(tǒng)自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步控制?

林飛飛 曾喆昭?

(長(zhǎng)沙理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院,長(zhǎng)沙 410076)

(2016年12月21日收到;2017年1月13日收到修改稿)

針對(duì)帶有完全未知的非線性不確定項(xiàng)和外界擾動(dòng)的異結(jié)構(gòu)分?jǐn)?shù)階時(shí)滯混沌系統(tǒng)的同步問(wèn)題,基于Lyapunov穩(wěn)定性理論,設(shè)計(jì)了自適應(yīng)徑向基函數(shù)(radial basis function,RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器以及整數(shù)階的參數(shù)自適應(yīng)律.該控制器結(jié)合了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和自適應(yīng)控制技術(shù),RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用來(lái)逼近未知非線性函數(shù),自適應(yīng)律用于調(diào)整控制器中相應(yīng)的參數(shù).構(gòu)造平方Lyapunov函數(shù)進(jìn)行穩(wěn)定性分析,基于Barbalat引理證明了同步誤差漸近趨于零.數(shù)值仿真結(jié)果表明了該控制器的有效性.

分?jǐn)?shù)階時(shí)滯混沌系統(tǒng),Barbalat引理,自適應(yīng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制

1 引 言

分?jǐn)?shù)階微積分起源于17世紀(jì),但是由于缺乏有效的計(jì)算手段對(duì)其研究一直處于純數(shù)學(xué)領(lǐng)域而發(fā)展緩慢.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展,分?jǐn)?shù)階微積分在工程實(shí)際和物理學(xué)中的應(yīng)用已成為熱點(diǎn)［1?4].在對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分不斷深入研究的過(guò)程中,人們普遍認(rèn)為分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)階微積分的自然推廣,整數(shù)階微積分是分?jǐn)?shù)階微積分的一種特殊情況［5].關(guān)于復(fù)雜系統(tǒng)的建模問(wèn)題,分?jǐn)?shù)階微積分模型比整數(shù)階微積分模型更加準(zhǔn)確,同時(shí)還能包含系統(tǒng)的遺傳和記憶效應(yīng)［6].因此,研究分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)更加具有普遍意義.

隨著研究分?jǐn)?shù)階微積分的熱潮興起,分?jǐn)?shù)階微積分被推廣到混沌系統(tǒng)中.人們發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)具有整數(shù)階混沌系統(tǒng)幾乎所有的特點(diǎn),并且由于其具有歷史記憶特性,分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)往往比整數(shù)階混沌系統(tǒng)具有更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,在圖像加密［7]、保密通信［8]和生物醫(yī)學(xué)［9]等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景.混沌同步是非線性科學(xué)中的重要分支之一,其應(yīng)用范圍包括安全通信、生物網(wǎng)絡(luò)和物理系統(tǒng)等領(lǐng)域,從而引起了人們的廣泛研究,并提出了大量的同步控制方法.主要有自適應(yīng)脈沖同步［10]、修正投影同步［11]、滑?？刂仆剑?2]、自適應(yīng)同步［13]、自適應(yīng)模糊控制同步［14]、自適應(yīng)滑模控制同步［15]等,以上方法都是關(guān)于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制,是否適用于分?jǐn)?shù)階時(shí)滯混沌系統(tǒng)還有待研究.

時(shí)滯是自然界中普遍存在的現(xiàn)象［16],由于摩擦、機(jī)械等實(shí)際因素的影響,實(shí)際系統(tǒng)總是存在時(shí)滯現(xiàn)象,如物理、機(jī)械、經(jīng)濟(jì)、生物和工程學(xué)等,另外時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性有重要影響.當(dāng)系統(tǒng)的變化不僅依賴于當(dāng)前的狀態(tài),還依賴于過(guò)去的狀態(tài)時(shí),則該系統(tǒng)稱為時(shí)滯系統(tǒng).從理論上講,時(shí)滯的存在使得系統(tǒng)更為復(fù)雜,所以研究時(shí)滯混沌系統(tǒng)的同步控制是一項(xiàng)更具挑戰(zhàn)意義的課題［17];從實(shí)際角度而言,由于分?jǐn)?shù)階時(shí)滯混沌系統(tǒng)更接近現(xiàn)實(shí)生活且動(dòng)力學(xué)行為更加復(fù)雜,因此,研究分?jǐn)?shù)階時(shí)滯混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為及其同步控制具有重要的實(shí)際意義.人們分別對(duì)分?jǐn)?shù)階時(shí)滯Duffing混沌系統(tǒng)［18]、分?jǐn)?shù)階時(shí)滯金融混沌系統(tǒng)［19]、分?jǐn)?shù)階時(shí)滯Liu混沌系統(tǒng)［20]、分?jǐn)?shù)階時(shí)滯Chen混沌系統(tǒng)［21]進(jìn)行了數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn),研究了不同時(shí)滯量的情況下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,以上研究為分?jǐn)?shù)階時(shí)滯混沌系統(tǒng)的同步控制提供了一定的理論基礎(chǔ).其中,文獻(xiàn)[22]針對(duì)分?jǐn)?shù)階時(shí)滯金融混沌系統(tǒng)在含不確定項(xiàng)的情況下的同步控制問(wèn)題,設(shè)計(jì)了一種滑?？刂破?該控制器實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階時(shí)滯金融混沌系統(tǒng)的自同步控制,但該控制器要求不確定項(xiàng)有界且沒(méi)有考慮外界擾動(dòng),另外該控制器無(wú)法實(shí)現(xiàn)異結(jié)構(gòu)分?jǐn)?shù)階時(shí)滯混沌系統(tǒng)的同步控制.文獻(xiàn)[23,24]采用主動(dòng)控制的思想對(duì)非線性項(xiàng)進(jìn)行了直接消除,使得系統(tǒng)的系數(shù)矩陣成為定常矩陣,實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階時(shí)滯混沌系統(tǒng)的混合投影同步,但其控制代價(jià)較大,而且當(dāng)系統(tǒng)存在未知不確定項(xiàng)時(shí),該方法無(wú)法達(dá)到預(yù)期的控制效果.文獻(xiàn)[25]實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階時(shí)滯混沌系統(tǒng)脈沖同步,但該控制器需要知道驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)線性部分的系數(shù)矩陣,對(duì)系統(tǒng)模型具有很強(qiáng)的依賴性,當(dāng)系統(tǒng)存在不確定項(xiàng)或外界擾動(dòng)時(shí),該方法難以實(shí)現(xiàn)同步控制.另外,以上所有的控制方法都只適用于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)時(shí)滯量相同情況下的同步控制.

在實(shí)際的物理系統(tǒng)中,混沌系統(tǒng)一般是不確定的或未知的,還可能受到外界擾動(dòng)的影響,另外系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中存在元器件老化和衰退的情況,以上因素使得理想模型無(wú)法精確地描述實(shí)際系統(tǒng).一方面,徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種局部逼近網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)被證明能以任意精度逼近任意連續(xù)函數(shù)［26,27],所以可以用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)估計(jì)未知系統(tǒng)模型.另一方面,自適應(yīng)控制能夠通過(guò)自動(dòng)調(diào)節(jié)控制器的相關(guān)參數(shù)消除不確定性和復(fù)雜因素的影響,從而使控制器與被控對(duì)象和環(huán)境相適應(yīng).基于以上考慮,本文主要研究了基于自適應(yīng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的不確定分?jǐn)?shù)階時(shí)滯混沌系統(tǒng)的同步控制問(wèn)題.RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用來(lái)估計(jì)未知非線性函數(shù),自適應(yīng)律用于調(diào)整控制器中的相應(yīng)參數(shù),在所設(shè)計(jì)的同步控制器的作用下,同步誤差漸近趨于零.本文的主要工作如下:1)基于Barbalat引理和Lyapunov穩(wěn)定性理論,設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器以及參數(shù)自適應(yīng)律,該控制器是在完全未知混沌系統(tǒng)非線性函數(shù)模型、非線性不確定項(xiàng)和外界擾動(dòng)的情況下實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階時(shí)滯混沌系統(tǒng)同步控制;2)在穩(wěn)定性分析中構(gòu)造了相應(yīng)的平方Lyapunov函數(shù),并直接對(duì)其進(jìn)行整數(shù)階求導(dǎo),結(jié)合Barbalat引理和引理6證明了同步誤差漸近趨于零,運(yùn)用該方法避免了對(duì)平方Lyapunov函數(shù)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階求導(dǎo),同時(shí)保證了自適應(yīng)律為整數(shù)階;3)數(shù)值仿真實(shí)現(xiàn)了以不確定分?jǐn)?shù)階時(shí)滯Liu混沌系統(tǒng)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),不確定分?jǐn)?shù)階時(shí)滯Chen混沌系統(tǒng)為響應(yīng)系統(tǒng),在含隨機(jī)擾動(dòng)情況下的同步控制,理論證明和仿真結(jié)果表明了該控制器的有效性.

2 預(yù)備知識(shí)

2.1分?jǐn)?shù)階微積分概述

分?jǐn)?shù)階微積分在其發(fā)展過(guò)程中產(chǎn)生了多種定義,其中常用的有Riemann-Liouville(R-L)定義、Caputo定義.本文選取Caputo定義進(jìn)行研究.

Caputo分?jǐn)?shù)階積分定義為

Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義為

其中n為大于α的最小整數(shù),n?1＜ α＜n;Γ(.)為伽馬函數(shù),分?jǐn)?shù)階微分(2)式的Laplace變換定義為［24]

下面給出一些將要用到的性質(zhì)和結(jié)論.

性質(zhì)1［28]分?jǐn)?shù)階微積分的線性性質(zhì)

其中,α∈R,a和b為常數(shù).

引理1［29]若x(t)∈C1[0,T](T＞0),則下面等式成立:

引理2［29]若x(t)∈C1[0,T](T＞ 0),其中α,β∈R+,且α+β=1則下面等式成立:

2.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)描述

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種兩層局部收斂的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),因而具有很快的收斂速度.理論上已經(jīng)證明它能以任意精度逼近任意連續(xù)函數(shù).第一層為非線性輸入層,即高斯基函數(shù),其輸出為

第二層為線性輸出層,即

其中,X=[X1,X2,...,Xn]T為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入向量;n×m個(gè)中心值構(gòu)成矩陣C=[c1,c2,...,cj,...,cm];cj=[c1j,c2j,...,cij,...,cnj]T和bj分別為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層第j個(gè)結(jié)點(diǎn)的中心向量和寬度;Wi=[wi1,wi2,...,wim]T為網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值向量;H=[h1,h2,...,hm]T為高斯基函數(shù)向量.

3 同步控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

3.1同步控制問(wèn)題描述

考慮n維分?jǐn)?shù)階時(shí)滯混沌系統(tǒng),設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)分別為

式中x=[x1(t),x2(t),...,xn(t)]T∈ Rn,y=[y1(t),y2(t),...,yn(t)]T∈ Rn分別為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)可測(cè)的狀態(tài)變量;

為含時(shí)滯狀態(tài)變量; Δf1(x)=[Δf11,Δf12,...,Δf1n]T∈ Rn,Δf2(y)=[Δf21,Δf22,...,Δf2n]T∈Rn為非線性不確定項(xiàng);d1(t)=[d11(t),d12(t),...,d1n(t)]T和d2(t)=[d21(t),d22(t),...,d2n(t)]T為外界擾動(dòng)項(xiàng),其中Δf1(x),Δf2(y),d1(t),d2(t)是完全未知的;f,g:Rn→Rn為未知的非線性函數(shù);U(t)=[u1(t),u2(t),...un(t)]T為待設(shè)計(jì)控制器.

定義響應(yīng)系統(tǒng)(10)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(9)的同步誤差為e(t)=y(t)?x(t);誤差向量為e(t)=[e1(t),e2(t),...,en(t)]T. 當(dāng)時(shí),即同步誤差漸近趨于零時(shí),驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(9)和響應(yīng)系統(tǒng)(10)實(shí)現(xiàn)同步.

3.2基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器設(shè)計(jì)

由響應(yīng)系統(tǒng)(10)式減去驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(9)式得到同步誤差系統(tǒng)為

其中H高斯基函數(shù)向量,Wi為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值向量.令RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)估計(jì)參數(shù)為W?i,則最優(yōu)估計(jì)為

設(shè)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)誤差和最優(yōu)估計(jì)誤差分別為

其中,RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的估計(jì)誤差是有界的［27],即為最優(yōu)估計(jì)誤差的上界. 未知非線性函數(shù)的估計(jì)誤差為

根據(jù)上面的討論,同步控制器可設(shè)計(jì)為

式中,ki是最優(yōu)逼近誤差上界的估計(jì)值,li為反饋增益為常數(shù))的估計(jì)值.RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值、最優(yōu)逼近誤差上界的估計(jì)值ki和反饋增益的估計(jì)值li的整數(shù)階自適應(yīng)律分別為

式中λi＞0,γi＞0,ξi＞0(i=1,2,...,n)為自適應(yīng)律的調(diào)節(jié)參數(shù).

3.3系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

本節(jié)首先給出穩(wěn)定性證明過(guò)程中所需的相關(guān)引理,然后分析控制器作用下同步誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

引理3若x(t)∈C1[0,T](T＞0),則下面等式成立:

證明設(shè)由引理1可得

根據(jù)引理2可知

將(25)式代入(26)式有

所以

引理4設(shè)x(t)∈ R,則且

證明由(1)式可以得到

由Gamma函數(shù)的定義易知,Γ(1?α)＞ 0.又τ∈ [0,t?],因此,(t? τ)?α|x(τ)|≥ 0.

引理5［30](Barbalat引理)設(shè)

即x(t)∈L2;同時(shí)當(dāng)x(t)∈L∞,如果(t),t∈[0,∞)存在且有界,即(t)∈L∞,那么

引理6如果漸近穩(wěn)定,即

證明由引理1可知

對(duì)(32)式進(jìn)行Laplace變換,

根據(jù)終值定理有

定理1給定初始條件,在設(shè)計(jì)的自適應(yīng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器(20)和自適應(yīng)律(21),(22)和(23)的作用下可實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(9)和響應(yīng)系統(tǒng)(10)的同步控制,同步誤差漸近趨于零.

證明將同步控制器(20)代入(14)式可得

由(15)和(19)式進(jìn)一步有

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

所以,同步誤差漸近趨于零.定理1證畢.

4 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的控制器的有效性,應(yīng)用改進(jìn)型預(yù)估-校正方法［31]對(duì)不確定分?jǐn)?shù)階Liu時(shí)滯混沌系統(tǒng)和不確定分?jǐn)?shù)階Chen時(shí)滯混沌系統(tǒng)進(jìn)行同步控制數(shù)值仿真.本文的控制器是在混沌系統(tǒng)非線性函數(shù)模型、非線性不確定項(xiàng)和外界擾動(dòng)完全未知的情況下的同步控制,以下給出了仿真需要的相關(guān)模型.

分?jǐn)?shù)階時(shí)滯Liu混沌系統(tǒng)［20]為

根據(jù)文獻(xiàn)[20]可知α=0.97,0＜τ1≤0.005時(shí),系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).所以,選取α=0.97,τ1=0.005.狀態(tài)初值為x(0)=[2.2,2.4,3.8]T.當(dāng)t∈[?τ1,0)時(shí),x1(t)=2.2,x2(t)=2.4,x3(t)=3.8.系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌狀態(tài),如圖1所示.

分?jǐn)?shù)階Chen時(shí)滯混沌系統(tǒng)［21]為

根據(jù)文獻(xiàn)[21]可知α=0.97,τ2=0.009時(shí),系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).所以,選取α=0.97,τ2=0.009.狀態(tài)初值為y(0)=[0.2,0,0.5]T. 當(dāng)t∈ [?τ2,0)時(shí),y1(t)=0.2,y2(t)=0,y3(t)=0.5.系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌狀態(tài),如圖2所示.

分?jǐn)?shù)階時(shí)滯Liu混沌系統(tǒng)加入非線性不確定項(xiàng)和隨機(jī)擾動(dòng)后,作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),

圖1 τ1=0.005時(shí)分?jǐn)?shù)階時(shí)滯Liu混沌系統(tǒng)Fig.1.Fractional-order Liu system with time delay for τ1=0.005.

圖2 τ2=0.009時(shí)分?jǐn)?shù)階時(shí)滯Chen混沌系統(tǒng)Fig.2.Fractional-order Chen system with time delay for τ2=0.009.

分?jǐn)?shù)階時(shí)滯Chen混沌系統(tǒng)加入非線性不確定項(xiàng)和隨機(jī)擾動(dòng)后,作為響應(yīng)系統(tǒng),其中,參數(shù)自適應(yīng)律為

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的輸入變量為可測(cè)狀態(tài)變量x和y.在數(shù)值仿真中用同步誤差變量e代替x和y,以減少RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的運(yùn)算量.隱層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為9,中心值矩陣為

圖3 (網(wǎng)刊彩色)同步控制結(jié)果 (a)同步誤差e1,e2,e3;(b)狀態(tài)變量x1,y1;(c)狀態(tài)變量x2,y2;(d)狀態(tài)變量x3,y3Fig.3.(color online)Synchronization control results:(a)The synchronization errors of e1,e2,e3;(b)the state variables of x1,y1;(c)the state variables of x2,y2;(d)the state variables of x3,y3.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值‖W1‖,‖W2‖,‖W3‖F(xiàn)ig.4.(color online)Neural network weights ‖W1‖,‖W2‖,‖W3‖.

寬度值bj=3(j=1,2,...,9).自適應(yīng)律的調(diào)節(jié)參數(shù)λi=3×104,γi=3.5,ξi=5(i=1,2,3);RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的初值W1(0),W2(0)和W3(0)均為9維的零向量.自適應(yīng)律初值k1(0)=0.01,k2(0)=0.01,k3(0)=0.01;l1(0)=5,l2(0)=5,l3(0)=5;時(shí)間步長(zhǎng)h=0.001,進(jìn)行數(shù)值仿真,仿真結(jié)果如圖3和圖4所示.由圖3(a)可以看出同步誤差收斂較快,說(shuō)明設(shè)計(jì)的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有良好的逼近效果;從圖3(b)—(d)可以看到各狀態(tài)同步效果較好.由圖4可以看出RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值振幅不大,變化較平穩(wěn).從以上仿真結(jié)果可知本文所設(shè)計(jì)的同步控制器的控制效果較好.

5 結(jié) 論

本文針對(duì)異結(jié)構(gòu)分?jǐn)?shù)階時(shí)滯混沌系統(tǒng),在含非線性不確定項(xiàng)和隨機(jī)擾動(dòng)情況下的同步問(wèn)題,基于Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器.在穩(wěn)定性分析中直接對(duì)相應(yīng)的平方Lyapunov函數(shù)進(jìn)行整數(shù)階求導(dǎo),避免對(duì)其進(jìn)行分?jǐn)?shù)階求導(dǎo),結(jié)合相關(guān)引理證明了誤差系統(tǒng)漸近趨于零.與目前關(guān)于分?jǐn)?shù)階時(shí)滯混沌系統(tǒng)的同步控制方法［22?25]相比,本文所設(shè)計(jì)的控制器不依賴于系統(tǒng)模型且能夠?qū)崿F(xiàn)在非線性不確定項(xiàng)和外界擾動(dòng)完全未知情況下的同步控制.仿真結(jié)果表明該控制器不僅實(shí)現(xiàn)了異結(jié)構(gòu)分?jǐn)?shù)階時(shí)滯混沌系統(tǒng)的同步控制,而且響應(yīng)速度較快、控制效果良好、抗干擾能力較強(qiáng).從長(zhǎng)遠(yuǎn)的應(yīng)用角度來(lái)看,異結(jié)構(gòu)同步比自同步具有更大的研究?jī)r(jià)值和發(fā)展前景.因此,本文的研究結(jié)果既具有重要的理論意義,同時(shí)在保密通信領(lǐng)域也具有較大的應(yīng)用價(jià)值.

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PACS:05.45.Pq,05.45.XtDOI:10.7498/aps.66.090504

Synchronization of uncertain fractional-order chaotic systems with time delay based on adaptive neural network control?

Lin Fei-FeiZeng Zhe-Zhao?

(College of Electrical and Information Engineering,Changsha University of Science and Technology,Changsha 410076,China)

21 December 2016;revised manuscript

13 January 2017)

Time delay frequently appears in many phenomena of real life and the presence of time delay in a chaotic system leads to its complexity.It is of great practical signi fi cance to study the synchronization control of fractional-order chaotic systems with time delay.This is because it is closer to the real life and its dynamical behavior is more complex.However,the chaotic system is usually uncertain or unknown,and may also be a ff ected by external disturbances,which cannot make the ideal model accurately describe the actual system.Moreover,in most of existing researches,they are difficult to realize the synchronization control of fractional-order time delay chaotic systems with unknown terms.

In this paper,for the synchronization problems of the di ff erent structural fractional-order time delay chaotic systems with completely unknown nonlinear uncertain terms and external disturbances,based on Lyapunov stability theory,an adaptive radial basis function(RBF)neural network controller,which is accompanied by integer-order adaptive laws of parameters,is established.The controller combines RBF neural network and adaptive control technology,the RBF neural network is employed to approximate the unknown nonlinear functions,and the adaptive laws are used to adjust corresponding parameters of the controller.The system stability is analyzed by constructing a quadratic Lyapunov function.This method not only avoids the fractional derivative of the quadratic Lyapunov function,but also ensures that the adaptive laws are integer-order.Based on Barbalat lemma,it is proved that the synchronization error tends to zero asymptotically.In the numerical simulation,the uncertain fractional-order Liu chaotic system with time delay is chosen as the driving system,and the uncertain fractional-order Chen chaotic system with time delay is used as the response system.The simulation results show that the controller can realize the synchronization control of the di ff erent structural fractional-order chaotic systems with time delay,and has the advantages of fast response speed,good control e ff ect,and strong anti-interference ability.From the perspective of long-term application,the synchronization of di ff erent structures has greater research signi fi cance and more development prospect than self synchronization.Therefore,the results of this study have great theoretical signi fi cance,and have a great application value in the fi eld of secure communication.

fractional-order chaotic systems with time delay,Barbalat lemma,adaptive radial basis function neural network control

10.7498/aps.66.090504

?國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):61040049)、電子科學(xué)與技術(shù)湖南省重點(diǎn)學(xué)科和智能電網(wǎng)運(yùn)行與控制湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室項(xiàng)目資助的課題.

?通信作者.E-mail:508984293@qq.com

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.61040049),the Hunan Province Key Discipline of Electronic Science and Technology,and the Foundation of Hunan Province Key Laboratory of Smart Grids Operation and Control,China.

?Corresponding author.E-mail:508984293@qq.com