過冷水溶液中的空間光孤子?

歐陽世根

1)(華南師范大學(xué),廣東省微納光子功能材料與器件重點實驗室,廣州 510006)2)(華南師范大學(xué),廣州市特種光纖光子器件重點實驗室,廣州 510006)

過冷水溶液中的空間光孤子?

歐陽世根1)2)?

1)(華南師范大學(xué),廣東省微納光子功能材料與器件重點實驗室,廣州 510006)2)(華南師范大學(xué),廣州市特種光纖光子器件重點實驗室,廣州 510006)

(2016年11月28日收到;2017年1月9日收到修改稿)

建立了在過冷水溶液中傳播的光束的非局域非線性模型.過冷水的熱致折射率擾動在溫度擾動較小的情況下隨溫度增大,但在溫度擾動達到一定程度后隨溫度減小.在求出該模型的數(shù)值孤子解后,對孤子的性態(tài)進行了研究.研究表明,在光功率較小時,過冷水表現(xiàn)出自聚焦的特性,而在光功率較大時,在孤子的中心區(qū)域的過冷水表現(xiàn)出自散焦的特性,而在孤子的外圍仍表現(xiàn)為自聚焦.在總功率較大的情況下,孤子間的相互作用也表現(xiàn)出這種部分自散焦,部分自聚焦的現(xiàn)象.

非線性薛定諤方程,過冷,自聚焦,自散焦

1 引 言

近些年來,人們對非局域空間孤子進行了許多有趣的研究.對于非線性光學(xué)材料而言,若空間某點上的非線性折射率不僅依賴于該點處的光場,而且依賴于該點附近的一個區(qū)域內(nèi)的光場,則稱該非線性是空間非局域的.這種空間非局域的依賴關(guān)系可以有多種起源,例如,光折變材料中的光折變效應(yīng)［1],向列相液晶中棒狀分子間的相互作用［2],材料中與熱輸運有關(guān)的熱致非線性［3?5].對于卷積型的非局域非線性,如向列相液晶中的非線性［2]和鉛玻璃中的熱致非線性［3],在強非局域條件下,即非局域響應(yīng)長度遠大于光束束寬時,空間光孤子間的相互作用總是表現(xiàn)出相互吸引的特性.并且由于非局域的特點,光束間的相互作用的距離可以得到有效的增大.

本文研究的對象是熱致非線性,其本質(zhì)是空間非局域的.對于鉛玻璃,其折射率隨溫度增大而線性地增大,因此鉛玻璃表現(xiàn)出熱致的自聚焦效應(yīng),可以支持空間亮孤子［3].而對于大多數(shù)的液體或氣體,它們的折射率隨溫度增大而線性地減小,表現(xiàn)出熱致的自散焦效應(yīng),可以支持空間暗孤子［4,5].上述兩種自聚焦或自散焦的熱致的非線性折射率均與溫度差Δt成正比,只是符號不同而已,即Δn=β1Δt,其中β1＞ 0為自聚焦,β1＜0為自散焦.本文研究高階的非線性效應(yīng),即Δn=β1Δt+β2(Δt)2的情況.過冷水溶液的折射率就具有這樣的形式［7?9].研究表明,對于這樣的系統(tǒng),隨著入射光功率的增大,材料可以由自聚焦轉(zhuǎn)變?yōu)榫植孔陨⒔?從而可以支持新的空間孤子形式,光束的相互作用既不像自聚焦也不像自散焦,而呈現(xiàn)出新的特點.

2 過冷水溶液中的光束演化方程

標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,純水在t＞0?C溫度下的穩(wěn)定物態(tài)為液態(tài),而在t＜0?C的穩(wěn)定物態(tài)為固態(tài).但在缺少結(jié)晶核的情況下,例如緩慢地使液態(tài)水從t＞ 0?C降溫到t＜ 0?C,液態(tài)純水可在t＜ 0?C保持液態(tài)而不結(jié)冰.低于冰點而不結(jié)冰的液態(tài)水處在熱力學(xué)中的亞穩(wěn)態(tài),稱為過冷水.一旦往過冷水中引入結(jié)晶核,例如猛烈搖晃,過冷水會迅速結(jié)冰,轉(zhuǎn)變?yōu)楣虘B(tài).一定條件下某些水溶液,例如可樂飲料、啤酒等,也存在過冷的現(xiàn)象.眾所周知,液態(tài)水的質(zhì)量密度存在著反?，F(xiàn)象［6],在t=4?C附近,液態(tài)水的密度達到最大值,比0?C的水的密度大.此外,液態(tài)水的折射率也存在著反?，F(xiàn)象.根據(jù)文獻[7—9]的數(shù)據(jù)可粗略地估算出,對于波長為501和589 nm的光,液態(tài)水的折射率在?5?C≤t≤5?C溫度范圍內(nèi)隨溫度的變化呈近似拋物線型的依賴關(guān)系

這里t0=?0.1?C,β2=3×10?6K?2,對于波長為501和589 nm的光n0分別為1.337733或1.334334.由于β2＞0,所以液態(tài)水的折射率在溫度為t0時達到最大值n0;對于溫度t＜t0,液態(tài)水的折射率隨溫度的升高而增大;對于溫度t＞t0,折射率隨溫度升高而減小.電解質(zhì)水溶液的折射率隨溫度的變化也可由(1)式近似地描述,只需對參量n0,β2,t0做相應(yīng)的調(diào)整［10].

純水對可見光的吸收是非常弱的［11],對于波長為460—660 nm的光,吸收率僅為α=0.01—0.41 m?1.但某些水溶液對特定波長的光有很強的吸收.例如,紫紅色的KMnO4的水溶液對于500—560 nm附近的綠色光有很強的吸收,濃度為1.8×10?6mol/L的KMnO4溶液對528 nm的光的吸收率可達α=1 m?1;橙色的K2Cr2O7水溶液則對480—490 nm的光有較強吸收;藍色的CuSO4水溶液對580—600 nm的光有較強的吸收.

考慮下面的實驗設(shè)計.波長λ=514 nm的激光束E(X,Y,Z)=U(X,Y,Z)eikZ入射到放置在溫度保持在t1的恒溫箱(t1＜t0)內(nèi)的折射率為n1=n0?β2(t1?t0)2的KMnO4水溶液中,這里X,Y,Z為實驗室坐標(biāo)系,Z軸為光束的傳播方向,k=n12π/λ,U為光束電場的慢變包絡(luò).在光束傳播路徑上,由于水溶液對光的吸收并把光能轉(zhuǎn)化為水的熱能,光束傳播路徑上的水溶液的溫度由t1升高變?yōu)閠(X,Y,Z).記溫度擾動為T=2(t?t1)/(t0?t1),那么由(1)式可求得水溶液的折射率n=n1+Δn,其中

Δn為溫度擾動T所引起的折射率擾動.容易看出,當(dāng)T＜2時,Δn隨T的增大而增大;當(dāng)T＞2時,Δn隨T的增大而減小.另一方面,若恒溫箱的溫度t1大于t0,那么由于光束入射后的溫度升高,t＞t1,因此由(1)式知,水溶液的折射率n隨溫度t增大而減小,這時水溶液具有自散焦效應(yīng),可以支持暗孤子,文獻[4,5]對此有詳細的論述,對此本文不做進一步描述.本文的其余部分均假定t1＜t0,不再贅述.

從(2)式可以看出,要計算水溶液的折射率分布Δn(X,Y,Z)必須已知水溶液的溫度分布T(X,Y,Z).穩(wěn)態(tài)下,溫度擾動T由如下泊松方程決定:

其中,I=ε0c|E|2為激光束的光強,c為光速;κ為水溶液的熱導(dǎo)率,在本文感興趣的范圍內(nèi)可認為κ =0.55 W.m?1.K?1,不依賴于溫度和溶液的濃度［12].一旦確定空間折射率分布,忽略光吸收損耗(由下面的討論可知該近似是合理的),那么由時諧亥姆霍茲方程

原則上就可以確定激光束的傳播.在旁軸近似下,由時諧亥姆霍茲方程出發(fā)可獲得激光束慢變包絡(luò)的演化方程

3 孤子的性態(tài)

定義光束的功率和束寬分別為

那么在低功率極限(p? 1)下,由(5)式可知T?1,從而T2?T,這時方程(6)退化為

考慮半徑為R的圓柱型容器,光孤子沿圓柱容器的旋轉(zhuǎn)對稱軸(即z軸)傳播.設(shè)方程(9)的孤子解為

這里ψ(r)為孤子的輪廓,γ為孤子的傳播系數(shù).在大于束寬的區(qū)域(r? w),對于孤子有ψ(r)=0.由于處在恒溫箱內(nèi),所以有邊界條件T(R)=0.在大于束寬的區(qū)域(R≥r?w),由高斯積分變換公式(矢量場在閉曲面上的通量等于矢量場的散度在閉曲面所包圍區(qū)域中的體積分)［13]求解方程(5),可得

設(shè)功率為p,束寬為w的孤子u(r,z)=ψ(r)eiγz在容器中傳播時引起的溫度擾動分布為T(r),那么容易驗證,束寬為原束寬w的μ倍,功率為原功率p的1/μ2的另一束光

仍是孤子解;相應(yīng)地,其引起的溫度擾動分布為

圖1 R=50lc時,光功率p=1,3,5,7,9時的(a)溫度分布T(r)、(b)折射率分布N(r)、(c)基態(tài)光孤子的包絡(luò)ψ(r)Fig.1.(a)The light-induced temperature perturbations T(r),(b)the perturbed refractive index N(r),and(c)the fundamental solitons ψ(r)of light powers p=1,3,5,7,9 respectively,when R=50lc.

隨著孤子功率p的增大,溫度的擾動越來越大,T2/4變得可以與T相比較.這時,可以通過數(shù)值求解耦合方程(5)和(6)獲得孤子解.圖1所示為不同功率(p=1,3,5,7,9)下的孤子解ψ(r)和相應(yīng)的溫度擾動T(r)以及折射率擾動N(r).在功率p足夠大(例如p=9)時,由于系統(tǒng)處在恒溫器中,內(nèi)部液體吸收光能而變熱,所以溫度T總是從外圍往內(nèi)部單調(diào)地增大,即隨r減小而單調(diào)增大,在某個半徑范圍內(nèi),溫度擾動T＞2;由此,折射率擾動N=T?T2/4=1?(1?T/2)2從最外圍N(R)=0隨半徑r減小而連續(xù)增大,并在某個半徑達到最大值N=1后隨r減小而變小,于是外圍區(qū)域的折射率分布表現(xiàn)為聚焦,而中心區(qū)域表現(xiàn)為散焦.由于上述原因,功率足夠大(例如p=9)的孤子的光強在內(nèi)部會出現(xiàn)凹陷.圖2給出了功率p=8的孤子在橫向截面處的光強分布,以及對其沿z軸傳播的數(shù)值模擬結(jié)果.

圖2 功率p=8時,(a)孤子解在橫向的光強分布;(b)孤子沿z軸傳播的數(shù)值模擬結(jié)果Fig.2.(a)The soliton’s light intensity distribution I(x,y,0)at input face z=0 and(b)its propagation along z axis.Here the soliton’s light power is p=8.

通過數(shù)值求解,我們還求出了孤子的束寬w和傳播常數(shù)γ是如何隨孤子功率p而變化的,如圖3所示.可以看出,(14)和(15)式可以準(zhǔn)確地描述低功率(p＜1)孤子的束寬w和傳播常數(shù)γ對功率的依賴關(guān)系,但隨著p增大到一定程度時,(14)和(15)式明顯偏離了實際情況.特別地,(15)式預(yù)言傳播常數(shù)γ單調(diào)地隨功率p而增大,其增大是沒有限制的,而真實的情況是,對于甚大功率p的孤子,其傳播常數(shù)趨向飽和,即γ→ 1.對于后者,這里嘗試給出一個定性的理解.把縱向變量z理解為時間t,那么非線性薛定諤方程(6)中的折射率的相反數(shù)(?N)=?1+(1?T/2)2相當(dāng)于勢阱,而傳播常數(shù)的相反數(shù)(?γ)相當(dāng)于本征態(tài)ψ的本征能量. 在忽略動能項后?γ≈〈ψ|(?N)|ψ〉/〈ψ|ψ〉,由此,考慮到N ≤1,所以有γ≤1.從傳輸光學(xué)的角度也可以對此做定性的理解.由于在介質(zhì)中單色光波矢的大小與介質(zhì)的折射率成正比,所以非線性折射率引起的波矢的增量為kΔn/n1,經(jīng)傳輸距離后非線性相位的增量為其中利用了特征長度lc的定義以及(2)式.由于T?T2/4=1?(1?T/2)2≤1,所以非線性相位的增量(T?T2/4)z≤z.由孤子解(10)式的定義,孤子的非線性相位增量為γz,這就表明γ≤1.可見,γ的飽和性反映非線性折射率的飽和性.對于束寬,(14)式在大功率p處存在明顯的偏離,前者預(yù)言束寬隨功率單調(diào)減小,而實際情況是束寬在隨功率減小到某個最小值后隨功率增大.對此,這里也嘗試給出一個定性的理解.由(11)式或圖1(a)均可看出,對于不同的功率,達到相同溫度T(T＜2)的半徑r是不同的,功率p越大,半徑r越大.由于T＜2的區(qū)域是聚焦區(qū)域,而T＞2的區(qū)域為散焦區(qū)域,因此,隨著p的增大,聚焦區(qū)域往外移,這樣光就被聚焦在外移的聚焦區(qū),導(dǎo)致對于甚大功率的孤子的束寬隨功率增大.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)(a)傳播常數(shù)γ隨功率p的變化,其中紅點為孤子解,藍線為依據(jù)(15)式獲得;(b)束寬w隨功率p的變化,其中紅點為孤子解,藍線為依據(jù)(14)式獲得Fig.3.(color online)(a)Dependence of the propagation constant γ on the light power p,where red dots represent soliton solutions and the blue line is depicted according to Eq.(15);(b)dependence of the beam width w on the light power p,where red dots represent soliton solutions and the blue line is depicted according to Eq.(14).

4 孤子的相互作用

已有大量的研究表明,在對入射光具有熱致非局域響應(yīng)的鉛玻璃中兩束光的相互作用總是表現(xiàn)為相互吸引.這里,我們利用模型(5)和(6)對在過冷水中兩束光的相互作用進行數(shù)值模擬研究.過冷水的非線性也是起源于對入射光的熱致非局域響應(yīng),但與鉛玻璃不同,后者的折射率擾動正比于溫度的擾動,而前者的折射率擾動先隨溫度增大而增大,后隨溫度增大而減小.這對光束的相互作用產(chǎn)生了重大的影響.圖4給出了入射功率均為p=5,束寬均為w=6.6的兩束高斯光束在中心距離d=14的情況下同時入射到過冷水中,它們的相互作用在不同傳播距離z下的圖樣.由圖4可以看出,由于橫截面坐標(biāo)原點附近的溫度最大,并且T＞2,所以坐標(biāo)原點附近區(qū)域為散焦區(qū),而兩光束的外側(cè)為低溫區(qū),為聚焦區(qū)域,因此光能被吸引到(或被排斥到)外圍的一個環(huán)帶中,并且該環(huán)帶的尺寸還隨著傳播而擴大.

圖4 入射束寬均為6.6,中心距離為14的兩束功率均為p=5的光束的相互作用圖樣Fig.4.Interaction patterns at di ff erent propagation distance z of two Gaussian beams initially separated by a distance of d=14,where the two Gaussian beam’s widthes are w=6.6 and their power is p=5.

5 總 結(jié)

本文建立了在過冷水溶液中傳播的光束的非局域非線性模型.過冷水的熱致折射率擾動在溫度擾動較小的情況下隨溫度增大,但在溫度擾動達到一定程度后隨溫度減小.在求出該模型的數(shù)值孤子解后,對孤子的性態(tài)進行了研究.研究表明,功率甚大的孤子的傳播常數(shù)趨于飽和,而其束寬趨于隨功率增大.這與過冷水在甚大功率光入射時高溫區(qū)域表現(xiàn)為自散焦,而低溫區(qū)域表現(xiàn)為自聚焦的特性有著直接的聯(lián)系.過冷水的這種特性還強烈地影響著在其中傳播的大功率光束之間的相互作用過程.

我院此次研究通過對比兩組不同的護理服務(wù)措施,探討分析了良肢位擺放在腦卒中偏癱患者的治療效果、患者的護理服務(wù)滿意度和生活質(zhì)量。通過對比常規(guī)護理服務(wù)措施和在執(zhí)行常規(guī)護理服務(wù)措施的同時,額外在患者入院時采取良肢擺放的方法,發(fā)現(xiàn)采用增加采取良肢擺放的方法,不僅可以提高患者的治療效果,改善患者的生活質(zhì)量,而且可以增加患者的護理服務(wù)滿意度。

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PACS:05.45.Yv,42.65.TgDOI:10.7498/aps.66.090505

Optical spatial solitons in supercooled aqueous solutions?

Ouyang Shi-Gen1)2)?

1)(Guangdong Provincial Key Laboratory of Nanophotonic Functional Materials and Devices,South China Normal University,Guangzhou 510006,China)2)(Guangzhou Key Laboratory for Special Fiber Photonic Devices,South China Normal University,Guangzhou 510006,China)

28 November 2016;revised manuscript

9 January 2017)

In recent years,nonlocal spatial solitons have attracted a great deal of attention.Optical spatial solitons result from the suppression of beam di ff raction by the light-induced perturbed refractive index.For spatial nonlocal solitons,the light-induced perturbed refractive index of medium depends on the light intensity nonlocally,namely,the perturbed refractive index at a point is determined not only by the light intensity at that point but also by the light intensity in its vicinity.Such a spatial nonlocality may originate from heat transfer,like the nonlocal bright solitons in lead glass and dark solitons in liquids or gases.The perturbed refractive index Δn of lead glass or liquid is direct proportional to the light-induced temperature perturbation Δt,i.e. Δn=β1Δt.The proportional coefficient β1is positive(negative)for lead glass(liquid),and the light-induced temperature perturbation Δt is determined by the Poisson equation?2(Δt)=?DI,where I is the light intensity and D is a coefficient.In this paper,we investigate another type of thermal nonlinear e ff ect,in which the perturbed refractive index Δn depends on the light-induced temperature perturbation Δt in a new way that Δn=β1Δt+ β2(Δt)2.It has been indicated previously that the refractive index of a supercooled aqueous solution depends on the temperature,speci fi cally n(t)=n0?β2(t?t0)2,where n0=1.337733 for 501 nm light wave,t0=?0.1?C and β2=3×10?6K?2.So for t＜ t0,the refractive index of aqueous solution increases with temperature rising,while t＞t0,it decreases with temperature increasing.In this paper,we use the numerical simulation method to investigate the propagation and interaction properties of optical solitons propagating in a supercooled aqueous solution,whose temperature on boundary is maintained at some value below t0,with the aqueous solution placed in a thermostatic chamber.Obviously,the inner temperature of the solution rises,owing to absorbing some optical energies of the light beam propagating in it,and as a consequence the inner refractive index changes according to n(t)=n0?β2(t? t0)2.For a soliton with a low power,the inner temperature t of the solution is always kept below t0,so the refractive index at a point with a higher t is larger than that at another point with a lower t.In this case,the solution behaves as a self-focusing medium.A soliton with a higher power has a narrower beam width and a larger propagation constant,and the soliton takes a bell shape.However,for a soliton with a rather high power,the temperature in the core will be higher than t0while the temperature in the periphery is still below t0.Therefore,the part of the solution in the core behaves as a self-defocusing medium while the part in the periphery behaves as a self-focusing medium.For such a case,the higher the power of the soliton,the larger the radius of the core is and the larger the beam width of the soliton,so the soliton takes a crater shape with a saturated propagation constant.Finally we also investigate the interaction between two solitons in a supercooled aqueous solution.For two neighboring beams with a rather high total power,they cannot maintain their individualities any more during the interaction,but merge into an expanding crater.

Schr?dinger equation,supercooled,self-focusing,self-defocusing

10.7498/aps.66.090505

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:61008007)資助的課題.

?通信作者.E-mail:ouyang.shigen@163.com

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.61008007).

?Corresponding author.E-mail:ouyang.shigen@163.com