淺談多元函數(shù)極值的判定

余小飛，李 平

(河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 南陽(yáng) 473000)

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淺談多元函數(shù)極值的判定

余小飛，李 平

(河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 南陽(yáng) 473000)

根據(jù)多元函數(shù)極值的判定定理，研究多元函數(shù)極值的求解方法。

多元函數(shù)極值判定

1 多元函數(shù)極值的定義

若函數(shù)f(P)=f(x1,x2,…,xn)在點(diǎn)P0的領(lǐng)域內(nèi)有定義，并且當(dāng)0<ρ(P0,P)<δ時(shí)，f(P0)>f(P)或f(P0)

2 極值存在的充分條件

若函數(shù)f(P)在點(diǎn)P0處滿足：(1)df(P0)=0，d2f(P0)<0時(shí)，函數(shù)f(P)在點(diǎn)P0處取得極大值；(2)df(P0)=0，d2f(P0)>0時(shí)，函數(shù)f(P)在點(diǎn)P0處取得極小值．

特別的，對(duì)于二元函數(shù)f(x,y)，設(shè)A=f″xx(x0,y0)，B=f″xy(x0,y0)，C=f″yy(x0,y0)，當(dāng)D=AC-B2≠0時(shí)：(1)若D>0，A>0(C>0)，此時(shí)函數(shù)取得極小值；(2)若D>0，A<0(C<0)，此時(shí)函數(shù)取得極大值；(3)若D<0，此時(shí)函數(shù)的極值不存在．

3 案例分析

顯然z的極值均為u的極值；且u在點(diǎn)(x,y)取得的極值不為零時(shí)，z也在點(diǎn)(x,y)取得極值；且u在點(diǎn)(x,y)取得的極值為零時(shí)，須進(jìn)一步討論．

解方程組

由于z在點(diǎn)P0附近變號(hào)，所以z(P0)不是極值.計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)：

解析另x=rcosφ，y=rsinφ，則

解方程組

(1)

(2) ，

先設(shè)a、b不同時(shí)為零.由(2)考慮到r=0不是解(r=0，不論φ為何值，都不滿足(1)式)，故有asinφ=bcosφ.于是

設(shè)c=0，由(1)式有acosφ+bsinφ=0，再由(3)式得，a=b=0，這與a、b不同時(shí)為零矛盾，因此當(dāng)c=0時(shí)無解．

為保證r>0，在cosφ與sinφ前取與c一致的符號(hào)，因此有

[1]費(fèi)定輝，周學(xué)圣.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解[M]．濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2008：368-369．

[2]樂春紅.關(guān)于二元二次函數(shù)極值的一點(diǎn)思考[J]．重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，26(4)：334-336．

[3]楊元超，張守貴.二元泰勒展開式在求解函數(shù)極限中的應(yīng)用[J]．重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，30(10)：25-27．

(編輯 趙欣宇)

Discussion on the Judgment Theorem of Extremum of Multivariate Function

YU Xiaofei, LI Ping

(Henan Polytechnic Institute, Nanyang 473000, China)

According to the judgment theorem of extremum of multivariate function, this paper studies the method of solving the extremum of multivariate function．

judgment of extremum of multivariate function

2017-03-16

余小飛(1986-)，理學(xué)碩士，講師。主要研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

G712

A

1672-0601(2017)07-0118-02