具有面內四極磁場的旋轉玻色-愛因斯坦凝聚體的基態(tài)結構研究?

劉靜思 李吉? 劉伍明

1)(中國科學院物理研究所,北京凝聚態(tài)物理國家實驗室,北京 100190) 2)(中國科學院大學物理學院,北京 100190)

具有面內四極磁場的旋轉玻色-愛因斯坦凝聚體的基態(tài)結構研究?

劉靜思1)2)李吉1)2)? 劉伍明1)2)

1)(中國科學院物理研究所,北京凝聚態(tài)物理國家實驗室,北京 100190) 2)(中國科學院大學物理學院,北京 100190)

(2017年4月1日收到;2017年4月13日收到修改稿)

通過虛時演化方法研究了具有面內四極磁場的旋轉玻色-愛因斯坦凝聚體的基態(tài)結構.結果發(fā)現：面內四極磁場和旋轉雙重作用可導致中央Merm in-Ho渦旋的產生;隨著磁場梯度增強,M erm in-Ho渦旋周圍環(huán)繞的渦旋趨向對稱化排布;在四極磁場下,密度相互作用和自旋交換相互作用作為體系的調控參數,可以控制M erm in-Ho渦旋周圍的渦旋數目;該體系自旋結構中存在雙曲型meron和half-skyrm ion兩種拓撲結構.

旋轉玻色-愛因斯坦凝聚體,面內四極磁場,自旋交換相互作用,自旋結構

1 引 言

光阱束縛下的旋量玻色-愛因斯坦凝聚體(BEC)[1,2],由于內部自旋自由度的釋放,為我們提供了研究拓撲激發(fā)的理論和實驗平臺[3-7].近年來,人們廣泛研究了具有旋轉的旋量BEC基態(tài)結構.實驗方面,Ketterle等[8]借助光束攪動凝聚體直接觀察到渦旋形核.Foot等[9]在旋轉光晶格中也發(fā)現了渦旋形核現象.隨后一些實驗組進一步觀察到渦旋晶格的形成[10,11].理論方面,一些研究者詳細討論了塞曼磁場和旋轉勢共同作用下旋量 BEC的基態(tài)相圖和其中產生的新奇拓撲激發(fā)[12-15].例如,Kita等研究了鐵磁BEC中M erm in-Ho渦旋[14]和非軸對稱的渦旋態(tài)[15], M izushima等[13]系統(tǒng)地探討了旋量BEC中的渦旋結構包括無芯渦旋和有芯渦旋晶格.迄今為止,在旋轉條件下關于拓撲激發(fā)的大量研究都集中在均勻塞曼場或無外磁場作用下的BEC體系,但在梯度磁場下旋轉BEC的基態(tài)結構依然不清晰.

最近,梯度磁場在BEC中的研究已經受到了越來越多的關注.有研究者通過控制梯度磁場可以產生人造自旋-軌道耦合,而傳統(tǒng)方案[16,17]則需要依賴復雜的物質光耦合才能實現.也有研究者利用梯度磁場方案實現了光晶格體系中的自旋-軌道耦合和量子霍爾效應[18,19].此外,在BEC中通過梯度磁場方法,實驗上觀察到了不同的拓撲缺陷,例如磁單極[20,21]和量子扭結[22].上述研究表明,梯度磁場對于人造規(guī)范場和新奇拓撲缺陷的產生起到了很關鍵的作用.

本文研究四極型面內梯度磁場對旋轉BEC基態(tài)的影響.數值結果表明,面內四極磁場和旋轉的雙重作用可導致中央Merm in-Ho渦旋的產生,面內四極磁場可以保護Merm in-Ho渦旋免受鐵磁相互作用的破壞.增加磁場梯度強度,Merm in-Ho渦旋周圍的渦旋數目將逐漸減少并趨向對稱化排列.在四極磁場下,調控自旋交換相互作用與密度相互作用比值,使其單調增大,渦旋構形將依次發(fā)生六角、五角、四角、三角的轉變.當比值很大時,體系中僅存在M erm in-Ho渦旋.最后,我們還討論了基態(tài)的自旋結構,發(fā)現四極磁場和旋轉共同作用能夠誘導雙曲型meron和half-skyrm ion.

2 理論模型

考慮面內四極磁場和旋轉作用下的二維鐵磁BEC,在平均場近似下,系統(tǒng)哈密頓量可寫為[12,13,23-25]：

3 研究結果與討論

首先討論磁場梯度強度對系統(tǒng)基態(tài)的影響.為了突出梯度磁場帶來新的效應,我們固定粒子間相互作用和旋轉頻率,只改變磁場梯度強度大小,利用虛時演化方法數值模擬得到不同磁場梯度下對應的基態(tài)結構.基態(tài)粒子數密度和相位分布如圖1所示.第1,2,3列分別為mF=1,mF=0和mF=-1分量的密度分布,第4,5,6列為對應的相位分布.相位分布圖中存在許多相位割線,從割線紅色一側到藍色一側相位存在從π到-π的不連續(xù)跳變.相位割線端點對應密度分布圖中的密度極小值點,即為渦旋核.發(fā)現體系共存在兩類渦旋,一類為中央M erm in-Ho渦旋[13,14],其mF=1和mF=0分量中央分別出現纏繞數為2和1的渦旋,而mF=-1分量中央則出現一個亮孤子,其纏繞數為0,所以中心處的序參量類似于鐵磁態(tài)的(0 0 1)T.另一類為周圍環(huán)繞排列的普通渦旋,對應的三個自旋態(tài)的渦旋纏繞數都是1.

當體系沒有磁場作用時,如圖1(a)所示,凝聚體各個自旋組分都出現了呈帶狀分布的普通渦旋,類似于之前研究工作中提到的渦旋列[33].引入較小的磁場梯度B=0.08,如圖1(b)所示,凝聚體中心形成M erm in-Ho渦旋,普通渦旋仍然呈帶狀分布,但與無磁場的情況相比更趨于規(guī)則化排列.進一步將磁場梯度增強到B=0.6,普通渦旋數量明顯減少,并形成對稱的六角形排列,如圖1(c)所示.在強磁場梯度B=3.8作用下,凝聚體內只存在M erm in-Ho渦旋,如圖1(d)所示.

圖1 (網刊彩色)不同面內四極磁場下87 Rb凝聚體基態(tài)粒子數密度分布(第1,2,3列)和相位分布(第4,5,6列) (a)B=0; (b)B=0.08;(c)B=0.6;(d)B=3.8;其余模擬參數選為λ0=7500,λ2=-750,Ω=0.3和ω=2π×250 HzFig.1.(color on line)The particle num ber densities(the fi rst second and third colum ns)and phase distributions(the fou rth fi fth and sixth colum ns)of ground state of the spinor BEC of 87 Rb for the different in-p lane quad rupole fields.The param eters are set as follow s:(a)B=0;(b)B=0.08;(c)B=0.6;(d)B=3.8;the other param eters areλ0=7500, λ2=-750,Ω=0.3 andω=2π×250 Hz.

數值結果顯示,在旋轉BEC中只要四極磁場存在,凝聚體中心就會出現M erm in-Ho渦旋.但隨著磁場梯度增強,M erm in-Ho渦旋四周環(huán)繞的普通渦旋數目將逐漸減少,最終普通渦旋都會消失.渦旋數目的減少是由面內磁場對磁矩的翻轉作用造成的.由下文自旋結構的討論可知,普通渦旋總是關聯著自旋的劇烈翻轉和起伏,這使得自旋偏離面內.而面內四極磁場又會對磁矩施加一個力矩,使自旋偏向面內與磁場平行的方向.因此,面內磁場對渦旋的產生起抑制作用,而旋轉又促進渦旋的產生,兩種作用相互競爭.磁場梯度很強時,抑制作用占主導地位,所以普通渦旋數目變少.

此外,隨著磁場梯度增強,普通渦旋趨于規(guī)則化排列,形成對稱的渦旋構型,這是由渦旋間彼此實現受力平衡的難易程度決定的.一方面,由于受到旋轉的離心力作用,原子有向凝聚體邊緣運動的趨勢,相反,渦旋在旋轉作用下有向中心靠攏的趨勢,相當于受到一個向心的拉力.另一方面,因為同向旋轉(纏繞數同號)的渦旋彼此排斥,M erm in-Ho渦旋將對普通渦旋施加離心斥力,同時普通渦旋彼此間也存在排斥.因此,旋轉頻率不是很大的情況下,較多的渦旋數目很難達到平衡的構型.而當渦旋數目變少時,渦旋則更容易選擇一種對稱排布的平衡構型.

接下來,我們固定粒子間相互作用和磁場梯度,研究旋轉頻率對體系結構的影響.當不考慮旋轉,只有凝聚體中央會出現渦旋結構.該結構mF=1分量為纏繞數為1的渦旋,mF=0分量為一個亮孤子,mF=-1分量為纏繞數為-1的渦旋.此結構就是polar-core渦旋[34],如圖2(a)所示.當旋轉頻率Ω=0.3時,體系中央原有的polar-core渦旋會轉化為Merm in-Ho渦旋,如圖2(b)所示.當旋轉頻率增大到Ω=0.6和Ω=0.9時,如圖2(c)和圖2(d)所示,體系內渦旋數目逐漸增多,并逐漸形成三角格子,類似于只有旋轉沒有四極磁場的結果[35].據之前研究可知,在旋轉勢中,三角渦旋格子能量最低也最穩(wěn)定[35].

圖2 (網刊彩色)不同旋轉頻率對應的87Rb凝聚體基態(tài)的粒子數密度分布(第1,2,3列)和相位分布(第4,5,6列) (a)Ω=0; (b)Ω=0.3;(c)Ω=0.6;(d)Ω=0.9;其余模擬參數選為λ0=7500,λ2=-750,B=3.8和ω=2π×250 HzFig.2.(color on line)The particle number densities(the fi rst second and third colum ns)and phase distributions(the fourth fi fth and six th colum ns)of ground state of the sp inor BEC of 87Rb for the different rotation frequencies.The param eters are set as follow s:(a)Ω=0;(b)Ω=0.3;(c)Ω=0.6;(d)Ω=0.9;the other param eters areλ0=7500,λ2=-750, B=3.8 andω=2π×250 Hz.

下面我們通過對比無旋轉和有旋轉時中央渦旋的差別,來解釋polar-core渦旋向Merm in-Ho渦旋的轉變.當不存在旋轉時,中央形成polar-core渦旋,由密度圖可知,mF=1和mF=-1兩個分量中心密度取極小值,是渦旋核,而mF=0分量的中心密度卻正好為極大值,形成一個亮孤子,中心處序參量類似于極化態(tài)的序參量(1 1 1)T.這是由四極磁場具有特殊的鞍點結構且自旋在這種特殊的磁場中發(fā)生面內磁化造成的,后面討論自旋結構時將詳細論述.當引入旋轉時,隨著旋轉頻率增大,中央渦旋周圍的普通渦旋逐漸增多.正向旋轉勢的作用之一就是在各分量都產生纏繞數為1的渦旋.中央Merm in-Ho渦旋正是無旋轉時的polar-core渦旋與旋轉造成的渦旋相互疊加的結果.渦旋的疊加是將纏繞數相加,polar-core渦旋mF=1,mF=0和mF=-1三個分量的纏繞數(1, 0,-1)分別與旋轉造成的渦旋三個分量的纏繞數(1,1,1)相加,即得到了Merm in-Ho渦旋三分量的纏繞數(2,1,0).因此,polar-core渦旋向M erm in-Ho渦旋的轉變是面內四極磁場和旋轉勢共同作用的結果.

下面我們固定四極磁場梯度和旋轉頻率,通過調節(jié)相互作用λ2和λ0的比值λ=λ2/λ0,研究鐵磁系統(tǒng)(λ2＜0)中相互作用對基態(tài)的影響.如圖3所示,當λ很小時,中央M erm in-Ho渦旋周圍的普通渦旋構成六角形的對稱排列.隨著λ增大,普通渦旋數目隨之減少,依次排成正五角形、四角形和三角形.當λ足夠大時,普通渦旋消失,只剩下中央Merm in-Ho渦旋.這是由鐵磁自旋相互作用與密度相互作用之間相互競爭造成的.為了使自旋交換相互作用項能量最小,鐵磁自旋交換相互作用傾向于讓體系自旋偏向于同一方向.但由于四極磁場介入,鐵磁相互作用使得所有自旋偏向同一方向很難實現,只能使局部自旋變化趨于緩和,而普通渦旋必然聯系到其渦旋核附近自旋的劇烈翻轉.因此,鐵磁自旋交換相互作用是抑制普通渦旋的產生.當λ很大時,鐵磁自旋交換相互作用占主導地位,體系內的普通渦旋被抑制.但是,即便增強鐵磁相互作用,中央Merm in-Ho渦旋也不會受到太大影響.下文將看到,這是由Merm in-Ho渦旋的尺寸和其特殊的自旋結構決定的.

圖3 (網刊彩色)自旋交換相互作用與密度相互作用的比值λ對基態(tài)的影響(第1,2,3列表示87Rb凝聚體粒子數密度分布,第4,5,6列表示相位分布) (a)λ=0.0625;(b)λ=0.0667;(c)λ=0.125;(d)λ=0.1333;(e)λ=0.3333;其余模擬參數選為B=0.6,Ω=0.3和ω=2π×250 HzFig.3.(color on line)The effect of the ratio of both spin exchange interaction and density-density interaction on the ground state(the fi rst,second and third colum ns show the particle num ber densities of ground state of the sp inor BEC of 87 Rb,and the fourth,fi fth and sixth colum ns show phase distributions):(a)λ=0.0625;(b)λ=0.0667;(c)λ=0.125;(d)λ=0.1333; (e)λ=0.3333;the other param eters areλ2=-750,B=0.6,Ω=0.3 andω=2π×250 Hz.

定義自旋矢量函數為

(α=x,y,z)[36,37],能夠用來描述BEC的自旋結構.圖4(a)是對應于圖1(a)的自旋結構,此時不考慮外磁場,體系中出現了許多雙曲型meron和環(huán)繞型meron組成的meron對[38],這種meron對屬于一種skyrm ion[38].圖4(b)是對應于圖2(a)的自旋結構,此時不考慮旋轉,自旋被完全磁化到平面內,自旋排列類似于四極磁場的構型.四極磁場中心點為一個鞍點,磁場強度為0,不具有磁化作用.但由于波函數的連續(xù)性導致自旋函數S(r)在中心點處必須連續(xù).如果S(0)有一定的量值,必然指向某個方向,但由于體系對稱性,S(0)無論選擇哪個方向都會破壞中心點處S(r)的連續(xù)性.所以S(0)只能取0才能滿足連續(xù)性條件.因此,中心處BEC的序參量呈現極化態(tài)(0 1 0)T的形式,mF=1和mF=-1分量中心密度接近0,形成渦旋核.在不加旋轉的情況下,為了滿足角動量守恒,mF=1和mF=-1分量中心處兩個渦旋必然反向旋轉,所以具有相反的纏繞數,正如前文所述,這便是中央polar-core渦旋的成因.

圖4 (網刊彩色)87 Rb凝聚體自旋結構 (a)對應圖1(a)的自旋結構;(b)對應圖2(a)的自旋結構;(c)對應1(c)的自旋結構;(d)對應1(c)的拓撲荷密度Fig.4.(color on line)The sp in tex tu re of the spinor BEC of 87Rb:(a)The sp in tex tu re correspond ing to the Fig.1(a);(b)the sp in textu re corresponding to the Fig.2(a);(c)the spin textu re corresponding to the Fig.1(c); (d)the topological charge density corresponding to the Fig.1(c).

圖4(c)是對應于圖1(c)的自旋結構,此時加入旋轉勢,旋轉帶來的擾動將使自旋偏離面內極化.中心區(qū)域的自旋結構組成一個雙曲型meron[38],其在x-y平面內的投影與圖4(b)中的面內自旋構型相似,但獲得了-z方向的分量.為了使S(r)在中心點處連續(xù),S(0)在x-y平面的投影也必須是0,所以中心點處BEC的序參量如前文所述呈鐵磁態(tài)(0 0 1)T的形式,其對應的渦旋即為M erm in-Ho渦旋.前文提到鐵磁相互作用傾向于讓自旋趨于同一方向,鐵磁相互作用變強會迫使中央區(qū)域自旋整體倒向某個方向,必然導致整個自旋矢量S(r)的不連續(xù),這是被禁止的.而且中央雙曲型m eron尺寸較大,在整個區(qū)域自旋變化相對緩慢且都偏向-z方向,作為一種權宜這樣的自旋構型已經相對降低了鐵磁相互作用能.所以四極磁場的特殊形式保護了中央區(qū)域自旋構型免受鐵磁相互作用的破壞.從圖4(c)還可看出,雙曲型meron四周環(huán)繞了六個half-skyrm ion結構[36,37].這樣的half-skyrm ion結構在五角形、四角形、三角形的渦旋排列中也是普遍存在的.由于四極磁場的磁化方向不同,圖4(c)中的圓圈和方框里的兩個half-skyrm ion自旋繞行方向相反,但通過計算拓撲荷,發(fā)現其本質是一樣的.定義單位自旋矢量s=S/|S|,每一個s對應單位球面S2上的一個點.這樣,單位矢量場s(r)即為一個的映射.如果R2中的一個區(qū)域通過該映射能覆蓋整個S2,我們就認為該區(qū)域包含的拓撲荷為1.拓撲荷即為映射所覆蓋的單位球面的個數,其計算公式為

其中的積分核

為拓撲荷密度[36,37].圖4(d)即為圖4(c)對應的拓撲荷密度分布.通過對選定區(qū)域的積分,算得中央區(qū)域的拓撲荷為-0.5,與雙曲型meron的拓撲荷符合.圓圈和方形區(qū)域內拓撲荷也都是-0.5,這也和half-skyrm ion的拓撲荷符合.這進一步印證了我們通過自旋排列的形狀對自旋結構的種類做出的判斷.

后續(xù)工作可以考慮引入規(guī)范場的相關研究,例如自旋-軌道耦合效應[39,40]和偶極相互作用[41]的影響,此時系統(tǒng)將展現出更多迷人的特性.進一步,可以考慮更高自旋的旋量凝聚體,更復雜的自旋相互作用可以誘導更豐富的量子相和各種奇特的自旋紋理.

4 結 論

本文研究了面內梯度磁場和旋轉頻率對鐵磁玻色-愛因斯坦凝聚體的基態(tài)的影響.利用虛時演化方法得到了不同參數下的基態(tài)結構.研究發(fā)現：中央M erm in-Ho渦旋的產生是面內四極磁場和旋轉雙重作用的結果,面內四極磁場可以保護Merm in-Ho渦旋免受鐵磁相互作用的破壞;增強磁場梯度強度,可以控制Merm in-Ho渦旋周圍的渦旋數目并使其趨向對稱化排列;在四極磁場下,調控自旋交換相互作用與密度相互作用的比值,可以得到豐富奇異的基態(tài)相,能夠控制不同基態(tài)相之間的轉化.最后,我們還討論了基態(tài)的自旋結構.

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(Received 1 April 2017;revised manuscript received 13 April 2017)

Ground state of a rotating Bose-Einstein condensate with in-plane quadrupole field?

Liu Jing-Si1)2)Li Ji1)2)?Liu Wu-M ing1)2)

1)(Beijing National Laboratory for Condensed M atter Physics,Institute of Physics,Chinese Academ y of Sciences, Beijing 100190,China)
2)(School of Physical Sciences,University of Chinese Academ y of Sciences,Beijing 100190,China)

Com pared with the scalar Bose-Einstein condensate,the spinor Bose-Einstein condensate,in which internal degrees of freedom are essentially free,has aroused the great interest in the study of topological excitations.In particu lar,the spinor Bose-Einstein condensate with rotation provides a new opportunity for studying novel quantum states including a coreless vortex and vortex lattice.To date,in the presence of rotation,a great many of studies on the topological excitations have focused on the Bose-Einstein condensate system with the uniform Zeem an field or without external m agnetic field.However,the ground state structure of a rotating Bose-Einstein condensate in the p resence of in-p lane gradient-magnetic-field remains an open question.In this work,by using the imaginary-time propagation method,we study the ground state structure of a rotating Bose-Einstein condensatewith in-p lane quad rupole field.We fi rst exam ine the effect of in-p lane quadrupole field on trapped spinor Bose-Einstein condensate.The num erical results show that Merm in-Ho vortex can be induced only by the cooperation between quadrupole field and rotation.W hen magnetic field gradient is increased,the vortices around M erm in-Ho vortex display the symm etrical arrangem ent.For an even largermagnetic field gradient strength,the system on ly presents the Merm in-Ho vortex because the in-p lane quadrupole field can prevent the vortices around M erm in-Ho vortex from occurring.Next,we exam ine the effect of the rotation on trapped spinor Bose-Einstein condensate.A phase transition from a polar-core vortex to a M erm in-Ho vortex is found through app lying a rotational potential,which is caused by the cooperation between the in-p lane quadrupole field and the rotation.We further study the combined effects of spin exchange interaction and density-density interaction. The resu lts confi rm that in the p resence of the quadrupole field both spin exchange interaction and density-density interaction,acting as controllable parameters,can control the number of the vortices around Merm in-Ho vortex.The corresponding number of the vortices shows step behavior with increasing the ratio between spin exchange interaction and density-density interaction,which behaves as hexagon,pentagon,square and triangle.It is found that two types of topology structures,i.e.,the hyperbolic meron and half-skyrm ion,can occur in the p resent system.These vortex structures can be realized via time-of-fl ight absorp tion im aging technique.Our resu lts not on ly provide an opportunity to investigate the exotic vortex structures and the corresponding phase transitions in a controlled platform,but also lay the foundation for the study of topological defect sub jected to gauge field and dipolar interaction in future.

rotating Bose-Einstein condensate,in-plane quadrupole field,spin-exchange interaction,spin texture

PACS:03.75.Lm,03.75.Hh,05.45.Yv DO I:10.7498/aps.66.130305

?國家重點研發(fā)計劃“量子調控與量子信息”重點專項(批準號:2016YFA 0301500)和國家自然科學基金(批準號:11434015, KZ201610005011)資助的課題.

?通信作者.E-m ail:liji2015@iphy.ac.cn

PACS:03.75.Lm,03.75.Hh,05.45.Yv DO I:10.7498/aps.66.130305

*Project supported by the NKRDP(Grant No.2016YFA 0301500),and the National Natural Science Foundation of China (G rant Nos.1143401,KZ201610005011).

?Corresponding author.E-m ail:liji2015@iphy.ac.cn