隨機吸煙模型的持久性與滅絕性

張雪康,張振中

(東華大學數(shù)學系,上海201620)

隨機吸煙模型的持久性與滅絕性

張雪康,張振中

(東華大學數(shù)學系,上海201620)

考慮隨機因素的影響,提出了一個由布朗運動驅(qū)動的隨機吸煙模型.首先,利用Lyapunov方法證明了隨機吸煙模型具有全局正解性.其次,給出了該隨機吸煙模型滅絕性和持久性的充分必要條件.最后運用偽極大似然方法估計出隨機吸煙模型中的參數(shù).

布朗運動;持久性;滅絕性

0 引言

吸煙距今已有數(shù)百年歷史,不僅危害人體健康,而且還會對社會產(chǎn)生一定的不良影響.據(jù)世界衛(wèi)生組織報告[1]顯示:①有一半以上的吸煙者會死于與吸煙相關(guān)的疾病;②每年大約有600萬人死于吸煙,其中大約有500萬人死于直接吸煙,60萬人死于二手煙.全球近10億煙民,大約有80%的煙民是來自中低收入國家.香煙本身還具有大量的致癌物質(zhì)或有毒物質(zhì),已知的至少有250種,對人體健康的危害極大.

雖然吸煙問題引起了人們的廣泛關(guān)注,但是現(xiàn)有的研究論文中,吸煙理論研究文獻比較少.1997年Garsow等人[2]首次使用微分方程來刻畫潛在吸煙者、吸煙者與戒煙者.2008年, Sharomi和Gumel[3]在前者的基礎(chǔ)上進一步考慮臨時戒煙者,得到了局部和全局漸近穩(wěn)定的充分條件.近來,Zaman[4]在Garsow等人[2]的基礎(chǔ)上,考慮偶爾吸煙者的影響,并給出了全局漸近穩(wěn)定的充分條件.最近,Alkhudhari等人[5]基于以下假設(shè)來刻畫吸煙模型.

(1)非吸煙者x1(t)、吸煙者x2(t)、戒煙者x3(t)的單位死亡率分別為μ1、μ2、μ3.

(2)每單位新增人口為Λ.

(3)吸煙者x2(t)的戒煙率為γ.

(4)平均每個吸煙者使βx1(t)個非吸煙者成為吸煙者x2(t).

(5)平均每個吸煙者使αx3(t)個臨時戒煙者成為吸煙者x2(t).

根據(jù)上述假設(shè),可寫出常微分方程

其中,x1(0)＞0,x2(0)＞0,x3(0)＞0.

雖然由常微分方程建立的確定性吸煙模型在一定程度上比較好地刻畫了吸煙種群(潛在吸煙者、吸煙者、戒煙者、永久戒煙者)的動力學行為,但是注意到確定性的吸煙模型假定死亡率μi,i=1,2,3是確定的常數(shù),在現(xiàn)實世界中,許多隨機因素(地震、臺風、車禍、其他意外因素)使得人口死亡率(包括吸煙種群)為隨機變量.若隨機因素相互獨立且方差有限,則由著名中心極限定理知,一系列相互獨立意外因素的累計會使得死亡率μi,i=1,2,3漸近服從正態(tài)分布,即

其中,Bi(t),i=1,2,3是標準布朗運動,σi表示干擾因素Bi(t)的強度.為了數(shù)學容易處理,假定B1(t),B2(t),B3(t)相互獨立.

將式(2)代入式(1),可得

其中,x1(0)＞0,x2(0)＞0,x3(0)＞0,Λ＞0,0＜μ,β＜1,γ＜1,α＜1和σi＞0,i=1,2,3.隨機微分方程(3)被稱為隨機吸煙模型.

從方程形式來看,隨機吸煙模型式(3)似乎為一類特殊傳染病方程.但是確定的吸煙模型與當前廣泛研究的SI模型和SIR模型有本質(zhì)的區(qū)別,具體如下.

(1)當x3(t)=0時,吸煙模型(1)即為SI傳染病模型.

(2)吸煙模型(1)與SIR傳染病模型有實質(zhì)性區(qū)別.注意到SIR模型的康復者(Recovery)滿足方程

其中,r表示感染者I(t)康復率,μ表示康復者R(t)的死亡率.

吸煙模型d x3(t)與SIR模型d R(t)相比多了一項非線性增長項αx2(t)x3(t),正是多了這個非線性增長項αx2(t)x3(t),使得在數(shù)學上處理吸煙模型不能直接平行推廣SI模型與SIR模型的V函數(shù)等技巧.

有許多學者已經(jīng)研究了隨機噪聲對人口種群的影響,如Gard[6]討論了當隨機噪聲強度較弱時,隨機模型依然保持持久性;Gray等人[7]討論了當隨機噪聲較大時會導致被疾病感染者會以概率1滅絕;Bao和Yuan[8]給出了隨機人口模型在L′evy噪聲影響下具有一些漸近性質(zhì)的充分條件;Lahrouz等人[9]考慮一個隨機吸煙模型并給出了該隨機模型漸近穩(wěn)定的充分條件.

受到上述工作的啟發(fā),人們自然提出以下3個問題.

(1)在什么條件下,隨機吸煙模型(3)具有全局正解性?

(2)在什么條件下,吸煙者x2(t)將隨機一致有界以及隨機持久?

(3)在什么條件下,吸煙者x2(t)將以概率1滅絕?

本文將回答以上3個問題.

1 全局正解

考慮F的部分σ-代數(shù)構(gòu)成的域流{Ft}t≥0,如果當0≤s≤t＜∞時,有{Fs}?{Ft}?{F}且Ft=∩s＞tFs,那么{Ft}t≥0稱為右連續(xù)域流。域流{Ft}t≥0滿足的通常條件是右連續(xù)且F0包含所有的零測集.Bi(t),i=1,2,3是定義在這個概率空間(?,F,{Ft}t≥0,P)上相互獨立的布朗運動.

本文假設(shè)(H):總?cè)丝跀?shù)N(t)是個有界的確定函數(shù),即,

其中,N(t)=P(t)+S(t)+Q(t),N和N1是正常數(shù).

為方便處理,引進記號

定理1對?x(0)=(x1(0),x2(0),x3(0))∈隨機微分方程(3)存在一個唯一的全局正解x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))∈,并且該解以概率1位于中,即

其中inf?=∞(?表示空集).顯然τm隨著m→∞單調(diào)遞增.令τ∞=τm,則τ∞≤τe幾乎必然成立.若我們能夠證明τ∞=∞幾乎必然成立,則τe=∞幾乎必然成立,進而可得方程(3)有唯一正解.

若式(4)不成立,則存在T＞0和ε∈(0,1)使得

即存在整數(shù)m1≥m0,使得當m≥m1時,有

首先,我們構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

對過程x(t)使用It?o公式,則對任意的0≤s≤τm∧t和m≥m1滿足

其中,

即

其中,

又由不等式

可得

將式(8)代入式(7)可得

其中

將式(9)代入式(6),可得

由Gronwall不等式,可得

令?m={τm≤T},m≥m1.由式(5)得P(?m)≥則對?ω∈?m,由停時的定義可知x1(τm,ω),x2(τm,ω),和x3(τm,ω)三者之一至少有一個等于或m,則

從而由式(10)和式(11)可得

其中I?m是?m的示性函數(shù).令m→∞有

所以必有τ∞=∞幾乎必然成立.證畢.

2 隨機吸煙模型的漸近性質(zhì)

2.1 滅絕性

定理2若RS＜1,則對?x2(0)∈R+,x2(t)都有

幾乎必然成立.

證明由定理1,可知x2(t)以概率1位于R+中.運用It?o公式,可有

兩邊從0到t積分,可得

其中M1(t)=

M1(t)的二次變差為

由鞅的大數(shù)定理[11]可得

幾乎必然成立.因此,由式(12)和式(13)可得

幾乎必然成立.由L’Hospital法則可知,當RS＜1時,有x2(t)幾乎必然指數(shù)趨近于0.證畢.

2.2 均值意義下隨機弱持久

本節(jié)我們將討論x2(t)在RS≥Rs＞1的情況.

定義1[12]若

幾乎必然成立,則x2(t)(?x2(0)∈R+)將在均值意義下隨機弱持久.

定理3若RS≥Rs＞1和假設(shè)(H)成立,則x2(t)(?x2(0)∈R+)將在均值意義下隨機弱持久.

證明由定理1,可知x2(t)以概率1位于R+中.運用It?o公式,可有

兩邊從0到t積分,可得

可以看出M2(t)是一個局部鞅且二次變差

由指數(shù)鞅不等式[13],對任意的正常數(shù)T0,δ,和τ,知

其中,θ＞1,u＞1.由Borel-Cantalli引理[11]知,對幾乎所有的ω∈?,都存在一個隨機整數(shù)k0=k0(ω)使得當k≥k0(ω)時,有

成立.這意味著,對幾乎所有的0≤t≤uk,都有

幾乎必然成立.將式(15)代入式(14)中,可得

由假設(shè)(H)知,當?0≤s≤uk和xi＞0,i=1,2,3時,存在一個與k獨立的常數(shù)C,使得

成立.這也是說,對?0≤t≤uk,恒有

成立.因此,當u(k?1)≤t≤uk和k≥k0(ω)成立時,我們有

令t→∞有

幾乎必然成立.

下面我們證明

幾乎必然成立.若不然,

由式(12)可得

因此,對

都有

幾乎必然成立.將式(13)和式(14)代入式(17)中,得

顯然這與式(16)矛盾.證畢.

我們可以看出當RS＜1時,吸煙者x2(t)將會以概率1趨近于0.當RS≥Rs＞1時,吸煙者x2(t)在均值意義下隨機弱持久.那么當RS=1時,吸煙者x2(t)會是什么情況呢?接下來我們討論RS=1時的情況.

定理4若RS=1,則對?x2(0)∈R+,隨機微分方程(3)的解x2(t)都有

幾乎必然成立.

證明由定理1,可知x2(t)以概率1位于R+中.由式(13)知,對任意給定的ε＞0,幾乎所有的ω∈?,都存在一個足夠大的隨機整數(shù)T1=T1(ω),使得當t≥T1(ω)時,有

幾乎必然成立.又由RS=1知,當t≥T2≥T1(ω)時,有

將式(19)和式(20)代入式(12)中,可得,當t≥T2時,

對式(21)兩邊同時從T2到t積分,則有

由式(22)可得

這也就是說,我們已經(jīng)證明了

由L’Hospital法則可得

幾乎必然成立.又由于ε的任意性,所以

幾乎必然成立.證畢.

2.3 隨機持久

前一節(jié),我們已經(jīng)證明了若隨機吸煙模型(3)的基本再生數(shù)RQ＞1,則吸煙者樣本軌道隨機弱持久.然而,對于實踐與管理人員來說,若能給出吸煙者的數(shù)目介于兩個正數(shù)之間,則更具有現(xiàn)實意義.而在生物模型中,將吸煙者介于兩個正數(shù)之間,稱之為隨機持久.

定義2[14-15]若對?ε∈(0,1),存在正常數(shù)M1=M1(ε)和M2=M2(ε)都有

成立,則x2(t)(?x2(0)∈R+)隨機持久.

定義3[15]若對?ε∈(0,1),存在一個正常數(shù)H=H(ε),都有

成立,則x2(t)(?x2(0)∈R+)隨機一致有界.

從上述定義,我們可以看出隨機持久意味著隨機一致有界.首先,我們x2(t)的隨機一致有界.

定理5若假設(shè)(H)滿足,則

(i)對任意實數(shù)p≥1,存在一個僅僅依賴于p的常數(shù)K,都有

成立.

(ii)x2(t)隨機一致有界.

證明(i)由定理1,可知x2(t)以概率1位于R+中.對(x2∈R+)使用It?o公式,可得

接下來,我們考慮方程

其中,x2(0)≤y(0).再次運用公式,可得

其中,

由假設(shè)(H),可知函數(shù)H(y,t)關(guān)于y一致有界,即存在一個常數(shù)K＞0,使得

成立.對式(23)兩邊同時積分并取期望以及式(24),可得

因此,有

又由比較定理[16],可得

因此

(ii)可由Chebyshev不等式得證.證畢.

接下來,我們討論吸煙者x2(t)的隨機持久.

定理6若假設(shè)(H)和RQ＞0成立,則x2(t)將隨機持久.

首先,我們考慮方程

其中y(0)≤x2(0).然后,對U(y(t))使用公式,可得

令

再令

其中

由條件RQ＞0,t≥0以及假設(shè)(H)知,存在一個正常數(shù)ρ＞0,滿足

由式(26)可得

令

則有

因此,存在一個常數(shù)K1＞0,使得

成立.對式(25)兩邊同時積分并取期望以及式(27),可得

由式(28),可知

由比較定理知

所以,

由Chebyshev不等式可知,對任意的ε＞0,有

因此,

即

又由定理5,可得x2(t)隨機持久.證畢.

3 參數(shù)估計

在這一節(jié)中,我們討論隨機吸煙模型中參數(shù)Λ,μ1,μ2,μ3,β,γ,α,的估計.經(jīng)過我們計算,直接使用偽極大似然方法可以得到含有參數(shù)的非線性似然方程,非線性方程無顯示解.因此,我們先用x1(t),x2(t),x3(t)的軌道性質(zhì)估計參數(shù)的近似值,隨后運用偽極大似然方法估計出參數(shù)Λ,μ1,μ2,μ3,β,γ,α.本節(jié)所采用的二次變差方法估計擴散系數(shù)類似于Zhang等人[17]的研究.

兩邊從0到T積分,可得

ln x1(t)在區(qū)間[0,T]上的二次變差為

又由Klebaner[18]中的式(8.20)可得

以及

因此,可得

幾乎必然成立,即

幾乎必然成立.同理可得

幾乎必然成立,以及

幾乎必然成立.

又由二次變差定義知,對任意半鞅X(t),都有

其中?t=max1≤κ≤n0=≤≤···≤=t.因此,當n→∞,?t→0且T=n?t時,有

接下來,我們將使用極大似然估計方法來估計出方程(29)的參數(shù)μ1,μ2,μ3,Λ,γ,β,α.考慮以等距時間點列0,?t,2?t,···,n?t,可得方程(29)的離散系統(tǒng)

其中,εi,κ(i=1,2,3)是相互獨立同分布(independent identically distributed,i.i.d),分布為均值為0、方差為1的標準正態(tài)分布的序列,并且對每一個κ,εκ= (ε1,κ,ε2,κ,ε3,κ)與{(xl,p,x2,p,x3,p), p＜κ}相互獨立.此外,當ij(i,j=1,2,3)時,εi,κ與εj,κ也相互獨立.

設(shè)(x1,0,x2,0,x3,0),(x1,1,x2,1,x3,1),···,(x1,n,x2,n,x3,n)是由過程(30)得到的觀測序列,且Fκ?1=σ((x1,p,x2,p,x3,p),p≤κ?1).若給定Fκ?1,(x1,κ,x2,κ,x3,κ)的條件概率密度函數(shù)為

若給定F0,則(x1,0,x2,0,x3,0),(x1,1,x2,1,x3,1),···,(x1,n,x2,n,x3,n)的聯(lián)合條件概率密度函數(shù)為

則可以得到條件對數(shù)似然函數(shù)為

式(31)的似然方程為

即

其中,

Dj,j=1,2,···,7是把行列式D的第j列的元素換以方程組的常數(shù)項b1,b2,···,b7而得到的7階行列式.這就得到了參數(shù)Λ,μ1,μ2,μ3,β,γ,α的極大似然估計.

[參考文獻]

[1]World Health Organization.Tobacco fact sheet[EB/OL].[2016-03-01].http://www.who.int/mediacentre/factsheets/fs339/en/.

[2]CASTILLO-GARSOW C,JORDAN-SALIVIA G,RODRIGUEZ-HERRERA A.Mathematical models for the dynamics of tobacco use,recovery and relapse[EB/OL].[2016-03-01].https://ecommons.cornell.edu/handle/ 1813/32095.

[3]SHAROMI O,GUMEL A.Curtailing smoking dyanamics:A mathematical modeling approach[J].Applied Mathematics and Computation,2008,195(2):475-499.

[4]ZAMAN G.Qualitative behavior of giving up smoking models[J].Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Sciences Society,2011,34(2):403-415.

[5]ALKHUDHARI Z,SHEIKH S,TUWAIRQI S.Global dynamics of a mathematical model on smoking[J].ISRN Applied Mathematics,2014,Article ID 847075.

[6]GARD T C.Persistence in stochastic food web models[J].Bulletin of Mathematical Biology,1984,46(3):357-370.

[7]GRAY A,GREENHALGH D,HU L,et al.A stochastic diff erential equations SIS epidemic model[J].Siam Journal on Applied Mathematics,2011,71(3):876-902.

[8]BAO J,YUAN C.Stochastic population dynamics driven by L′evy noise[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2012,391(2):363-375.

[9]LAHROUZ A,OMARI L,KIOUACH D,et al.Deterministic and stochastic stability of a mathematical model of smoking[J].Statistics and Probability Letters,2011,81(8):1276-1284.

[10]MAO X.Exponential Stability of Stochastic Diff erential Equations[M].New York:Marcel Dekker,1994.

[11]MAO X.Stochastic Diff erential Equations and Applications[M].Chichest:Horwood Publishing Limited,1999.

[12]LIU H,MA Z.The threshold of survival for system of two species in a polluted environment[J].Journal of Mathematical Biology,1991,30(1):49-61.

[13]MAO X,YUAN C.Stochastic Diff erential Equations with Markovian Switching[M].London:Imperial College Press,2006:74.

[14]JIANG D,SHI N,LI X.Global stability and stochastic permanence of a non-autonomous logistic equation with random perturbation[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2008,340(1):588-597.

[15]LI X,GRAY A,JING D,et al.Suffi cient and necessary conditions of stochastic permanence and exctinction for stochastic logistic populations under regime switching[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2011,376(1):11-28.

[16]KARATZAS I,SHREVE S.Brownian Motion and Stochastic Calculus[M].Second edition.Berlin:Springer, 2007:293.

[17]ZHANG X,ZHANG Z,TONG J,et al.Ergodicity of stochastic smoking model and parameter estimation[J]. Advances in Diff erence Equations,2016,274:1-20.

[18]KLEBANER F C.Introduction to Stochastic Calculus with Applications[M].Second edition.London:Imperial College Press,2005:219.

(責任編輯：李藝)

Permanence and extinction of stochastic smoking model

ZHANG Xue-kang,ZHANG Zhen-zhong
(Department of Mathematics,Donghua University,Shanghai 201620,China)

To characterize the eff ects of stochastic noises on smokers,a stochastic smoking model driven by Brownian motion has been proposed.First,a unique global positive solution is proved according to Lyapunov function method.Then,some suffi cient and necessary conditions for permanence and extinction are presented.Finally,the parameters of stochastic smoking model are estimated by the pseudo-maximum likelihood estimation.

Brownian motion;extinction;permanence

O211.63

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2017.04.007

1000-5641(2017)04-0071-18

2016-05-18

國家自然科學基金(11301068,11401093,11471071),東華大學非線性科學研究所基金

張雪康,男,碩士研究生,研究方向為隨機分析及其應用.E-mail：xxkzhang@126.com.