Dougall5F4求和公式的一些應(yīng)用

阮玉盛

(華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,上海200241)

Dougall5F4求和公式的一些應(yīng)用

阮玉盛

(華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,上海200241)

Dougall5F4求和公式是特殊函數(shù)論中一個(gè)重要的級(jí)數(shù)求和公式,其在不同領(lǐng)域中的應(yīng)用已被人們廣泛討論.本文以該公式為基礎(chǔ)導(dǎo)出了一些新的求和公式,并利用這些公式給出了一系列新的關(guān)于1/π和1/π2的Ramanujan型級(jí)數(shù)公式.

伽馬函數(shù);超幾何函數(shù);Dougall5F4求和;Ramanujan型級(jí)數(shù)

0 引言

在文獻(xiàn)[1]中,Ramanujan共提出了17個(gè)關(guān)于1/π的級(jí)數(shù).1987年之前,仍然沒(méi)有數(shù)學(xué)家可以真正處理這些級(jí)數(shù).Borwein兄弟在文獻(xiàn)[2]中第一次給出了Ramanujan級(jí)數(shù)的嚴(yán)格證明并得到了許多新的關(guān)于1/π的Ramanujan型級(jí)數(shù).Chudnovsky兄弟則在文獻(xiàn)[3]中給出了這些級(jí)數(shù)的一些拓展公式.

目前,有關(guān)1/π的一些新的Ramanujan型級(jí)數(shù)已經(jīng)被許多數(shù)學(xué)家研究并取得了大量的成果,具體可參考文獻(xiàn)[4-19].在文獻(xiàn)[20]的基礎(chǔ)上,本文通過(guò)對(duì)Dougall5F4求和公式中所包含的參數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算來(lái)得到一些新的有關(guān)1/π的Ramanujan型級(jí)數(shù).同時(shí),文章中還得到了許多新的關(guān)于其他常數(shù)的Ramanujan型級(jí)數(shù).

本文需要下列有關(guān)特殊函數(shù)的一些基本概念.

定義0.1[21]對(duì)任意的復(fù)數(shù)z0,?1,?2,···,伽馬函數(shù)Γ(z)可以定義為

其中(z)k為Pochhammer符號(hào).

定義0.2若z為復(fù)數(shù)且n為自然數(shù),則通常的Pochhammer符號(hào)被定義為

一般地,對(duì)于任意的復(fù)數(shù)α,可定義Pochhammer符號(hào)(z)α為

命題0.1[21]

式(3)中,γ代表歐拉常數(shù),其具體定義為

命題0.2[21](歐拉反射公式)

定義0.3雙伽馬函數(shù)ψ(z)定義為

命題0.3[21]雙伽馬函數(shù)ψ(z)有如下性質(zhì).

其中0＜p＜q;∑′表示當(dāng)q是偶數(shù)時(shí),指標(biāo)為n=q/2的項(xiàng)要除以2.這里,「q/2」表示不大于q/2的最大整數(shù).

公式(7)也可以表達(dá)為

命題0.4[20](Dougall5F4公式)若R(a+b+c+d+1)＞0,則

命題0.5[20]若R(a+b+c+d+α?β?γ?δ+1)＞0,則

1 Dougall5F4求和公式的推廣以及1/π的Ramanujan型級(jí)數(shù)

引理1.1對(duì)于任意的復(fù)數(shù)x,y,我們有

證明直接利用式(2)和定義0.1便可證明該引理.

定理1.1若R(a+b+c+d+1)＞0,則

證明顯然,上式左邊被求導(dǎo)的級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的.接下來(lái)我們需要證明此級(jí)數(shù)也是一致收斂的.記

利用引理1.1,我們有

因此,當(dāng)n→∞時(shí),

又由于R(2a+2b+2c+2d+3)＞1,故此級(jí)數(shù)一致收斂.

定義1.1設(shè)a,b,c,d為復(fù)數(shù),n為整數(shù).我們定義

其中ψ是由式(5)定義的雙伽馬函數(shù).

定理1.2若R(a+b+c+d+1)＞0,則

證明首先,我們有

其中

而

因此

另一方面

其中

而

根據(jù)N2(a)和D2(a)的表達(dá)式,可進(jìn)一步得到

最終,結(jié)合公式(9)、(11)、(13)以及(14),我們完成了公式(12)的證明.

定理1.3若R(a+b+c+d+α?β?γ?δ+1)＞0,則

證明利用公式(2),并將式(12)中的(a,b,c,d)替換為(a+α,b?β,c?γ,d?δ),就完成了定理的證明.

定理1.4若R(a+b+c+d)＞0,則

由于

利用歐拉反射公式(4),我們有

以及

在等式(17)的兩邊同時(shí)乘以2且將式(18)—(20)代入到此公式,我們就得到了公式(16).

例1在定理1.4中,取(a,b,c,d)=(1,0,0,0),則有

例2在定理1.4中令(a,b,c,d)=(1,?1,1,0),可以得出

2 π2的一般級(jí)數(shù)展開(kāi)式

在這一節(jié)中,我們利用定理1.3來(lái)證明下面的級(jí)數(shù)展開(kāi)式.

證明利用遞歸關(guān)系式Γ(z+1)=zΓ(z),我們可將定理1.3中的(15)式表示為

例3在定理2.1中,令(a,b,c,d)=(1,0,0,0),則有

例4在定理2.1中,取(a,b,c,d)=(1,1,0,0),則有

例5在定理2.1中,令(a,b,c,d)=(2,?1,0,0),則可得

3 Γ-3()的一般級(jí)數(shù)展開(kāi)式

例6在定理3.1中令(a,b,c,d)=(0,0,0,0),我們可推出

例7在定理3.1中令(a,b,c,d)=(1,0,0,0),我們可得到結(jié)論

例8在定理3.1中選取(a,b,c,d)=(1,?1,0,0),我們可得到

例9在定理4.1中令a=b=c=d=0,則有

例10定理4.1中令a=1且b=c=d=0,則有

5 1/π2的Ramanujan型級(jí)數(shù)

定理5.1若R(a+b+c+d)＞0,則有

若在定理5.1中令b=c=d=?a,則可得到以下推論.

推論5.1若R(a)＜0,則

例11在推論5.1中令a=?1,則

例12在推論5.1中令a=?2,則

下面,我們將繼續(xù)討論定理5.1的特殊情形.在定理5.1中,若我們選取(a,b,c,d)= (k,0,0,0)并將其簡(jiǎn)化,我們很容易得到下面的命題.

命題5.1若k是正整數(shù),則我們有

例13當(dāng)k=1時(shí),我們可以得到

命題5.2若k是一個(gè)非負(fù)整數(shù),則我們有以下公式

證明在定理5.1中令(a,b,c,d)=(k,1,0,0)即可得到上面的等式.

例14在命題5.2中令k=0,我們可得到

例15在命題5.2中取k=1,我們可推出

在定理5.1中選取(a,b,c,d)=(k,1,1,0),我們有以下等式

因此我們可得到下面的命題.

命題5.3若k≥0是整數(shù),則我們有以下公式

例16在式(27)中令k=0,我們可以得到

命題5.4若k是整數(shù),且k≥?1,我們有

證明在定理5.1中取(a,b,c,d)=(k,1,1,1)即完成證明.

例17在式(28)中令k=?1,我們得到

命題5.5若k是整數(shù),且k≥2,我們有

證明在文[20]的定理7.1中取(a,b,c,d)=(k,?1,0,0).

例18在式(29)中令k=2,可得

例19在式(29)中令k=3,可得

命題5.6若k是整數(shù),且k≥3,我們有

證明在文[20]的定理7.1中令(a,b,c,d)=(k,?1,?1,0).

例20在式(30)中令k=3,可得

命題5.7若k是整數(shù),且k≥?1,則

證明在文[20]的定理7.1中令(a,b,c,d)=(k,1,1,1).

例21在式(31)中取k=?1,可得

命題5.8若k是整數(shù),且k≥2,則有

證明在定理5.1中令(a,b,c,d)=(k,?1,0,0)即完成證明.

例22在式(32)中取k=2,則有

命題5.9若k是整數(shù),且k≥3,則

證明在定理5.1中令(a,b,c,d)=(k,?1,?1,0)即完成證明.

例23在式(33)中取k=3便可推出下列等式

命題5.10若k是整數(shù),且k≥4,則有

證明在定理5.1中取(a,b,c,d)=(k,?1,?1,?1)即完成證明.

例24在式(34)中令k=4,可推出以下等式

致謝這是作者在華東師范大學(xué)攻讀博士學(xué)位期間所寫(xiě)的論文.非常感謝導(dǎo)師劉治國(guó)教授在此期間給予的無(wú)私幫助和細(xì)心指導(dǎo).

[1]RAMANUJAN S.Modular equations and approximations toπ[J].Quart J Math Oxford Ser,1914,45(2): 350-372.

[2]BORWEIN J M,BORWEIN P B.Pi and the AGM:A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity[M].New York:Wiley,1987.

[3]CHUDNOVSKY D V,CHUDNOVSKY G V,Approximations and complex multiplication according to Ramanujan[C]//Proceedings of the Centenary Conference,Urbana-Champaign,1987.Boston:Academic Press,1988, 375-472.

[4]BARUAH N D,BERNDT B C.Ramanujan’s series for 1/πarising from his cubic and quartic theories of elliptic functions[J].J Math Anal Appl 2008,341:357-371.

[5]BARUAH N D,BERNDT B C.Eisenstein Series and Ramanujan-type series for 1/π[J].Ramanujan J,2010, 23:17-44.

[6]BARUAH N D,BERNDT B C,CHAN H H.Ramanujan’s series for 1/π:A survey[J].Amer Math Monthly, 2009,116:567-587.

[7]BARUAH N D,NAYAK N.New hypergeometric-like series for 1/π2,arising from Ramanujan’s theory of elliptic functions to alternative base 3[J].Trans Amer Math Soc,2011,363:887-900.

[8]CHAN H H,CHAN S H,LIU Z G.Domb’s numbers and Ramanujan-Sato type series for 1/π[J].Adv in Math, 2004,186:396-410.

[9]CHAN H H,COOPER S,LIAW WC.The Rogers-Ramanujan continued fraction and a quintic iteration for 1/π [J].Proc Amer Math Soc,2007,135(11):3417-3425.

[10]CHAN H H,LIAWW C,TAN V.Ramanujan’s class invariantλnand a new class of series for 1/π[J].J London Math Soc,2001,64(2):93-106.

[11]CHAN H H,LOO K L.Ramanujan’s cubic continued revisited[J].Acta Arith,2007,126:305-313.

[12]CHAN H H,VERRILL H.The Ap′ery numbers,the Almkvist-Zudilin numbers and new series for 1/π[J].Math Res Lett,2009,16:405-420.

[13]CHAN H H,RUDILIN W.New representations for Ap′ery-like sequences 1/π[J].Mathematika,2010,56:107-117.

[14]CHU W.Dougall’s bilateral2H2series and Ramanujan-likeπformulas[J].Math Comp,2011,80:2223-2251.

[15]COOPER S.Series and iterations for 1/π[J].Acta Arith,2010,141:33-58.

[16]GUILLERA J.Hypergeometric identities for 10 extended Ramanujan-type series[J].Ramanujan J,2008,15: 219-234.

[17]LEVRIE P.Using Fourier-Legendre expansions to derive series for 1/πand 1/π2[J].Ramanujan J,2010,22: 221-230.

[18]ROGERS M.New5F4hypergeometric transformations,three-variable Mahler measures and formulas for 1/π [J].Ramanujan J,2009,18:327-340.

[19]ZUDILIN W.More Ramanujan-type formulae for 1/π2[J].Russian Math Surveys,2007,62(3):634-636.

[20]LIU Z G.A summation formula and Ramanujan type series[J].J Math Anal App,2012,389:1059-1065.

[21]ANDREWS G E,ASKEY R,ROY R.Special Functions[M].Cambridge:Cambridge University Press,1999.

(責(zé)任編輯：林磊)

Some applications of Dougall’s5F4summation

NGUYEN Ngoc Thinh
(Department of Mathematics,East China Normal University,Shanghai 200241,China)

Dougall’s5F4summation formula plays an important role in the theory of special functions,and its various applications have been widely discussed.Using Dougall’s5F4summation formula,we derive some new summation formulas,from which new Ramanujan type series for 1/πand 1/π2are obtained.

gamma function;hypergeometric functions;Dougall’s5F4summation; Ramanujan type series

O156

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2017.04.005

1000-5641(2017)04-0052-12

2016-10-19

國(guó)家自然科學(xué)基金(11571114)

阮玉盛,男,博士研究生,研究方向?yàn)樘厥夂瘮?shù)與數(shù)論.E-mail：thinhnn02@yahoo.com.