計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)ARMA模型詳細(xì)介紹

王琛文

（中山大學(xué)嶺南學(xué)院，廣州 510275）

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)ARMA模型詳細(xì)介紹

王琛文

（中山大學(xué)嶺南學(xué)院，廣州 510275）

ARMA模型（Auto-Regressive and Moving Average Model）是研究時(shí)間序列的重要方法，對于很多經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列都可建立與其吻合度很高的ARMA模型。同時(shí)由于ARMA模型建模思路并不復(fù)雜，對于預(yù)測分析的初學(xué)者來說上手較快，所以在經(jīng)濟(jì)量化分析中被廣泛使用。

ARMA模型；AR模型；MA模型

一、ARMA模型類型

（一）自回歸（AR）模型

如果時(shí)間序列yt是它的前期值和隨機(jī)項(xiàng)的線性函數(shù)，即可表示為：yt=φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+ut，記為AR（p）。實(shí)參數(shù)φ1，φ2，…，φp稱為自回歸系數(shù)，是模型的待估參數(shù)。隨機(jī)項(xiàng)ut是相互獨(dú)立的白噪聲序列，且服從均值為0、方差為的正態(tài)分布，隨機(jī)項(xiàng)ut與滯后變量yt-1，yt-2，…，yt-p不相關(guān)。

記Bk為k步滯后算子，即：Bkyt=yt-k，則ARMA模型可以表示為：yt=φ1Byt+φ2B2yt+…+φpBpyt+ut；令φ（B）=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp，模型可簡寫為：φ（B）yt=ut。AR（p）過程平穩(wěn)的條件是滯后多項(xiàng)式φ（B）的根均在單位圓外，即φ（B）=0的根大于1。

（二）移動(dòng)平均（MA）模型

如果時(shí)間序列yt是它的當(dāng)期和前期的隨機(jī)誤差項(xiàng)的線性函數(shù)，即可表示為：yt=ut-θ1ut-1-θ2ut-2-…-θqut-q，記為MA（q）。實(shí)參數(shù)θ1，θ2，…，θq為移動(dòng)平均系數(shù)，是模型的待估參數(shù)。引入滯后算子，并令θ（B）=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq，則MA模型可簡寫為yt=θ（B）ut。

移動(dòng)平均過程無條件平穩(wěn)，但通常希望AR過程與MA過程能夠互為可逆過程，因此要求滯后多項(xiàng)式θ（B）的根都在單位圓外，經(jīng)推導(dǎo)可得

式中，π0=-1；B0=1；其他權(quán)重πj可遞推得到。當(dāng)序列滿足平穩(wěn)條件時(shí)，可改寫為其中，φ0=1。

（三）自回歸移動(dòng)平均（ARMA）模型

如果時(shí)間序列yt是它的當(dāng)期和前期的隨機(jī)誤差項(xiàng)以及前期值的線性函數(shù)，即可表示為：yt=φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+utθ1ut-1-θ2ut-2-…-θqut-q，記為ARMA（p，q）。其中，φ1，φ2，…，φp為自回歸系數(shù)，θ1，θ2，…，θq為移動(dòng)平均系數(shù)，均為待估參數(shù)。

AR模型和MA模型均為ARMA模型的特殊形式，即對于ARMA（p，q），若階數(shù)q=0，則是自回歸模型AR（p）；若階數(shù)p=0，則成為移動(dòng)平均模型MA（q）。

引入滯后算子B，該模型可簡記為：φ（B）yt=θ（B）ut。

ARMA（p，q）過程的平穩(wěn)條件是滯后多項(xiàng)式φ（B）的根均落在單位圓外，可逆條件是θ（B）的根都在單位圓外?？梢宰C明，滿足上述條件時(shí)，ARMA（p，q）模型等價(jià)于無窮階的AR過程或者無窮階的MA過程。

二、ARMA模型的識(shí)別

通常，使用時(shí)間序列u的自相關(guān)系數(shù)（AC）和偏自相關(guān)系數(shù)（PAC）去識(shí)別ARMA（p，q）模型。

對于AR（p）模型，其自相關(guān)系數(shù)隨著滯后階數(shù)的增加而呈現(xiàn)幾何或震蕩式衰減，而其偏自相關(guān)系數(shù)在p階截止。

對于MA（q）模型，其自相關(guān)系數(shù)在q階后截尾，其偏自相關(guān)系數(shù)隨滯后階數(shù)的增加呈現(xiàn)幾何或震蕩式衰減。

對于ARMA（p，q）模型，其自相關(guān)系數(shù)隨著滯后階數(shù)的增加而呈現(xiàn)幾何式或震蕩式衰減，并在q階后趨于0，其偏自相關(guān)系數(shù)隨著滯后階數(shù)的增加而呈現(xiàn)幾何式或震蕩式衰減，并在p階后趨于0。

在實(shí)際識(shí)別中，需注意：（1）對于不顯著的ACF及PACF，可根據(jù)需要認(rèn)為該系數(shù)為0；（2）對滯后階數(shù)較大的孤立數(shù)值可不理會(huì)；（3）時(shí)間序列觀察點(diǎn)的個(gè)數(shù)盡量取大一些。

三、ARMA模型的診斷

建立ARIMA模型后，需對其穩(wěn)定性進(jìn)行檢驗(yàn)，常用的三種檢驗(yàn)方法為：（1）特征根分布，模型的特征根應(yīng)全部分布在單位圓外；（2）殘差正態(tài)性，采用QQ-plot檢驗(yàn)殘差的正態(tài)性，若殘差不滿足正態(tài)分布，則說明模型存在偏差；（3）殘差A(yù)CF和PACF，殘差應(yīng)為相互獨(dú)立的白噪聲序列。

四、ARMA模型的選擇

當(dāng)ARIMA模型通過診斷后，需要選擇統(tǒng)計(jì)性質(zhì)較好的模型。具體可選用的方法有：選擇R方較高、參數(shù)統(tǒng)計(jì)性最顯著的模型；選擇AIC或BIC信息準(zhǔn)則較小的模型；選擇預(yù)測精度較高的模型。

五、ARMA模型建模流程

ARMA模型建模流程圖

六、總結(jié)

ARMA模型對很多經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)，如貨幣供應(yīng)量、國民生產(chǎn)總值等，均有較好的預(yù)測精度，也是目前應(yīng)用較為廣泛的計(jì)量模型。同時(shí)，由于ARMA模型本身的形式和數(shù)學(xué)推導(dǎo)均不算復(fù)雜，也是預(yù)測分析初學(xué)者學(xué)習(xí)計(jì)量模型的最好選擇之一。筆者在本文將ARMA模型的幾種形式和使用方法進(jìn)行了詳細(xì)的介紹，希望對各位讀者對此模型的掌握有所幫助。

[1]易丹輝.數(shù)據(jù)分析與Eviews應(yīng)用[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2009.

[2]高鐵梅.計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析方法與建模——Eviews應(yīng)用及實(shí)例[M].北京：清華大學(xué)出版社，2006.

[3]劉斌.應(yīng)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].北京：中國金融出版社，2010.

[責(zé)任編輯 劉嬌嬌]

F224

A

1673-291X（2017）21-0003-02

2017-02-07

王琛文（1995-），男，北京人，本科，從事金融量化分析與對外貿(mào)易研究。