廣義余弦定理

解一庸++張廣智

摘要：本文將余弦定理，由線段概念，擴展到圖形概念。余弦定理及勾股定理僅是廣義余弦定理的特例。

關(guān)鍵詞：廣義余弦定理；廣義勾股定理

本文目的是：擴充余弦定理的含義和使用，眾所周：知△ABC中有余弦定理：

它的幾何解釋是：以 為邊的

正方形，等于以 為邊的正方形與

以 為邊的正方形之面積之和，減

去以 為邊的矩形面積的2cosC倍.

若在a，b，c三邊，任意作三個相似的圖形，如下圖設(shè)它們的面積分別為 則有定理：

…⑴

若以三角形的三邊長，分別作正n邊形則，∠C所對邊的正n邊形的面積是：

…（2）

證：如右圖，若邊長為 的正n邊形其面積為：

廣義余定理⑴整理后有（2）式.例如：

當(dāng)n=3余弦定理為：（n是正n邊形的邊數(shù)）

當(dāng)n=4余弦定理為：

當(dāng)n=5余弦定理為：

……

當(dāng)n=k余弦定理為：

應(yīng)用：①如知三角形三邊上的圖形相似，其中兩邊上圖形面積分別為5及20其夾角為60°求另一邊上的面積 ？

解：將其值代入廣義余弦定理有：

=5+20-2 cos60°=15

②在⊿（a⊥b）中以a，b分別為直徑作圓，它們的面

積分別2，3求以斜邊c為直徑作圓的面積

解：將其值代入廣義勾股弦定理有：

2+3=5

③三角形兩邊長分別為1，3，夾角為60°分別以三邊為邊作正六邊形，求第三邊上的面積

解：將其邊數(shù)6的值代入廣義余弦定理（2）有：

（12+32-2×1×3cos60°）=

④三角形兩邊長分別為1，3，夾角90°分別以三邊為邊作正方邊形，求第三邊上的面積

（12+32-2×1×3cos90°）=

說明：本文用 表示以c為邊的正n邊形的面積.