電磁感應(yīng)中的動力學(xué)極值問題探析

李秀明

[摘要]電磁感應(yīng)與動力學(xué)是高中物理的重點(diǎn)知識，多年來，電磁感應(yīng)與動力學(xué)的綜合問題，常以高考壓軸題的形式出現(xiàn)，因而受到廣大師生的熱捧。文章就電磁感應(yīng)中的動力學(xué)極值問題進(jìn)行探析。

[關(guān)鍵詞]電磁感應(yīng)；動力學(xué)；極值問題

[中圖分類號]G633.7[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2017）20004801

發(fā)生電磁感應(yīng)現(xiàn)象時，感應(yīng)電流使導(dǎo)體在磁場中受到安培力的作用（電路閉合），從而引起導(dǎo)體所受合力、加速度、速度的變化，所以電磁感應(yīng)問題往往與動力學(xué)問題聯(lián)系在一起。求解電磁感應(yīng)中的動力學(xué)問題時，要抓好受力分析和運(yùn)動情況的動態(tài)分析，這類問題的基本模型大致是：導(dǎo)體在拉力作用下運(yùn)動，切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢→產(chǎn)生感應(yīng)電流→導(dǎo)體受安培力作用→導(dǎo)體所受合外力變化→其加速度變化→其速度變化→當(dāng)其加速度為零時到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)，這時的速度為極值（極大值或極小值），導(dǎo)體開始做勻速直線運(yùn)動。

解決這類問題的基本步驟是：

（1）用法拉第電磁感應(yīng)定律和楞次定律（包括右手定則）求出感應(yīng)電動勢的大小和方向；

（2）依據(jù)閉合電路歐姆定律求出回路中感應(yīng)電流的大小和方向；

（3）對所研究的導(dǎo)體進(jìn)行受力分析（包括重力、彈力、摩擦力、安培力等）和運(yùn)動狀態(tài)分析；

（4）依據(jù)牛頓運(yùn)動定律列出動力學(xué)方程或平衡方程；

（5）解方程并進(jìn)行必要的分析和討論。

解決電磁感應(yīng)中動力學(xué)極值問題的關(guān)鍵是通過對所研究導(dǎo)體的受力分析和運(yùn)動狀態(tài)分析，尋找過程中的極值條件或臨界狀態(tài)，如速度、加速度為最大值、最小值等。一般來說，當(dāng)速度為極大或極小值時，加速度a=Δv/Δt=0，合外力F合=ma=0，根據(jù)電磁學(xué)知識和動力學(xué)知識列出混合方程組，即可求得未知量。

【例1】如圖1所示，兩根足夠長的平行金屬軌道傾斜放置，傾角θ=53°，軌道上端接一只阻值為R=0.4Ω的電阻，兩軌道間距為L=40cm，且軌道足夠長，電阻不計(jì)。一根質(zhì)量m=3g，有效電阻r=1.0Ω的均勻直金屬桿放在兩軌道上，且與軌道垂直。整套裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直斜面向上。現(xiàn)讓桿沿軌道由靜止開始下滑，軌道和金屬桿接觸良好，不計(jì)它們之間的摩擦。求：

（1）在下滑過程中，桿可以達(dá)到的速度最大值；

（2）在加速下滑的過程中，當(dāng)桿的速度大小為v=0.7m/s時桿中的電流及其加速度的大小。

分析：解決本題的關(guān)鍵是分析ab桿速度最大時的受力情況。

解：（1）金屬桿下滑過程中的受力情況如圖2所示。

當(dāng)ab桿速度達(dá)到最大值時，加速度為零，這時有：mgsinθ=F安

F安=BIL

I=ER+r

E=BLv

解得：v=0.84m/s

（2）當(dāng)桿的速度大小為v=0.7m/s時，桿ab正在加速下滑。

桿中的電流I=ER+r

=BLvR+r=

0.1（A）

桿的加速度a=

mgsinθ-BILm

=1.33（m/s2）

【例2】（2016年全國高考卷Ⅱ）如圖3所示，水平面（紙面）內(nèi)間距為L的平行金屬導(dǎo)軌間接一電阻，質(zhì)量為m、長度為L的金屬桿置于導(dǎo)軌上，t=0時，金屬桿在水平向右、大小為F的恒定拉力作用下由靜止開始運(yùn)動，t0時刻，金屬桿進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，且在磁場中恰好能保持勻速運(yùn)動。桿與導(dǎo)軌的電阻均忽略不計(jì)，兩者始終保持垂直且接觸良好，兩者之間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g。求：

（1）金屬桿在磁場中運(yùn)動時產(chǎn)生的電動勢的大??；

（2）電阻的阻值。

分析：金屬桿進(jìn)入磁場前在拉力F和滑動摩擦力f的作用下做勻加速直線運(yùn)動，進(jìn)入磁場后恰好能保持勻速直線運(yùn)動，即F合=0。

解：（1）金屬桿在進(jìn)入磁場前受力情況如圖4所示。

根據(jù)牛頓運(yùn)動定律：F-f=ma

且f=μFN=μmg

v=at0

金屬桿在磁場中運(yùn)動時產(chǎn)生的電動勢E=BLv

聯(lián)立解得：E=BLt0（F-μmg）m

磁場中運(yùn)動時受力情況如圖5所示。

根據(jù)平衡條件得：F安+f=F

其中：F安=BIL=BLER

f=μmg

解得：R=B2L2t0/m

總之，對高中物理中的電磁感應(yīng)與力學(xué)綜合類問題，只要分析清楚研究對象的運(yùn)動變化過程，找出隱含條件，按電磁感應(yīng)規(guī)律和力學(xué)規(guī)律列出混合方程組，問題也就迎刃而解了。

（責(zé)任編輯易志毅）