談“三線合一”定理的運(yùn)用

鄭麗花?お?

[摘要]“三線合一”定理很重要.學(xué)生熟練掌握此定理能突破解題難點(diǎn)，容易找到解題的方法.

[關(guān)鍵詞]三線合一；等腰三角形；運(yùn)用

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2017）20003001

等腰三角形在初中幾何里很基礎(chǔ)，等腰三角形的性質(zhì)在實(shí)際的應(yīng)用中非常普遍，尤其是“三線合一”這一重要定理.等腰三角形底邊上的高、中線和頂角平分線互相重合，簡(jiǎn)稱“三線合一”.不少教案中都是把它和“等邊對(duì)等角”放在一起講.我覺得等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)在初中幾何證明和計(jì)算中占據(jù)了非常重要的地位.學(xué)生既需要知道它的由來(lái)，又要知道它的用途，還要能在圖形不全的情況下補(bǔ)全“三線合一”所在的基本圖形.因此，教師在教學(xué)“三線合一”定理時(shí)應(yīng)該給予學(xué)生恰當(dāng)引導(dǎo)，適時(shí)啟發(fā)，做到“授人以魚，不如授之以漁”.教師如果把握好“三線合一”定理在輔助線教學(xué)中的應(yīng)用，把握好化歸思想方法的滲透，將有助于學(xué)生把握解題的關(guān)鍵，更好地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維能力，突破解題的難點(diǎn)，探明解題的方法，從而幫助學(xué)生提高解決問(wèn)題的能力.

【例1】如圖1，點(diǎn)D在△ABC的邊BA的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，交AC于E，垂足為點(diǎn)F.若AE=AD，求證：AB=AC.

分析：本題有三種證明方法.

方法1：根據(jù)AE=AD，得到∠D=∠DEA，再借助垂直關(guān)系，以及∠CEF=∠DEA，把∠D=∠DEA轉(zhuǎn)化為∠B=∠C，從而得證.

方法2：看到AE=AD的條件，我們馬上想到等腰三角形的底邊上“三線合一”定理，于是嘗試著過(guò)點(diǎn)A作AH垂直DE，交DE于H，得到底邊上的高AH，那么線段AH身兼三職：

底邊上的高、底邊上的中線和頂角平分線.于是，問(wèn)題迎刃而解！證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DE，交DE于H，則AH∥BC.

∵AD=AE（已知）∴AH平分∠DAE.（等腰三角形底邊上“三線合一”）

∴∠DAH=∠EAH，而∠DAH=∠B，∠EAH=∠C.

∴∠B=∠C，∴AB=AC.

方法3：將“三線合一”定理逆過(guò)來(lái)用，即若有一個(gè)三

角形一邊上兩線合一，通過(guò)證明必可得三線合一，并且推出這是個(gè)等腰三角形.

故本題也可以從“求證AB=AC”這個(gè)求證的結(jié)論得到提示與啟發(fā).

證明：如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，則AG∥DF，

∵AD=AE，∴∠D=∠AED.

∵∠D=∠BAG，∠ADE=∠CAG，∴∠BAG=∠CAG.

∴∠B=∠C，∴AB=AC.

通過(guò)以上例題，我們有了這兩個(gè)思路：若題目給出等腰三角形的圖形環(huán)境，我們會(huì)不由自主地想到“三線合一”定理，從而嘗試著預(yù)算出“三線合一”定理能否給解題帶來(lái)便利；題目中三角形里有一條線段身兼三線中的二線，我們也應(yīng)該想到是否能促成等腰三角形的存在，畢竟等腰三角形是個(gè)特殊三角形，它帶來(lái)的結(jié)論不少.

【例2】如圖4，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：BD=2CE.

分析：如圖5，線段BD既是∠ABC的平分線，又是CE的垂線，讓我們聯(lián)想到“三線合一”定理.延長(zhǎng)CE交BA延長(zhǎng)線于F，則△CBF為等腰三角形，于是問(wèn)題變得簡(jiǎn)單了許多.

證明：延長(zhǎng)CE交BA延長(zhǎng)線于F，

∵BD平分∠FBC，BE⊥CF，∴BC=BF，且EC=EF=1/2CF，即CF=2CE.

∵∠BAC=∠CAF=90°，∠BDA=∠CDE=∠F，AB=AC，∴△ABD與△ACF全等.

∴BD=CF，∴BD=2CE.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）