線性吸收介質(zhì)非局域線性電光效應(yīng)的耦合波理論?

吳丹丹1)2) 佘衛(wèi)龍1)

1)(中山大學(xué),光電子材料與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510275)

2)(華南理工大學(xué)物理教學(xué)實(shí)驗(yàn)中心,廣州 510006)

(2016年9月30日收到;2016年11月15日收到修改稿)

線性吸收介質(zhì)非局域線性電光效應(yīng)的耦合波理論?

吳丹丹1)2) 佘衛(wèi)龍1)?

1)(中山大學(xué),光電子材料與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510275)

2)(華南理工大學(xué)物理教學(xué)實(shí)驗(yàn)中心,廣州 510006)

(2016年9月30日收到;2016年11月15日收到修改稿)

本文提出了線性吸收介質(zhì)非局域線性電光效應(yīng)的耦合波理論,建立了相應(yīng)的耦合波方程組,并求解了該方程組.由此,可給出在任意方向外加電場的作用下,光在具有空間非局域響應(yīng)的線性吸收介質(zhì)中沿任意方向傳播時(shí)出射光場的表達(dá)式.據(jù)此,研究了線性吸收是如何改變出射光場的兩個(gè)偏振分量的振幅、相位和波形的.進(jìn)一步討論了線性吸收對電光強(qiáng)度調(diào)制的影響,以及如何測量一階線性和二階非線性極化率非局域響應(yīng)的特征長度和介質(zhì)的線性吸收系數(shù).

線性電光效應(yīng),非局域,線性吸收,電光調(diào)制

1 引 言

線性電光效應(yīng)是一種重要的光學(xué)現(xiàn)象,在電光調(diào)制和電光開關(guān)等方面有著非常廣泛的應(yīng)用[1?8].折射率橢球理論[9]以其直觀和簡潔,長期以來被廣泛應(yīng)用于線性電光效應(yīng)的各種理論分析中.但此理論存在著局限:首先,晶體加電場后其折射率橢球方程的主軸化往往是一件很困難的事,況且還要計(jì)算沿光傳播方向上的折射率;其次,折射率橢球理論不能用來處理存在線性吸收或極化率張量具有非局域響應(yīng)等情況下的線性電光效應(yīng).為了繞開這些限制,科研工作者們先后提出了一些新的處理線性電光效應(yīng)的理論[10?12].在2001年,She和Lee[13]提出了線性電光效應(yīng)的耦合波理論,該理論可以用來描述在任意方向的外加電場的作用下,光在任意對稱點(diǎn)群的晶體中沿任意方向傳播時(shí)的線性電光效應(yīng).此耦合波理論從根本上克服了折射率橢球理論的種種局限,為線性電光效應(yīng)的理論和應(yīng)用的研究開辟了新方法.現(xiàn)在線性電光效應(yīng)的耦合波理論已經(jīng)被成功應(yīng)用于處理具有線性吸收的介質(zhì)中的線性電光效應(yīng)[14,15],也相繼提出了線性電光效應(yīng)與其他光學(xué)效應(yīng)級(jí)聯(lián)的耦合波理論[16?19]. 2016年初,在不考慮介質(zhì)存在吸收的情況下,我們建立了非局域線性電光效應(yīng)的耦合波理論[20].

本文從麥克斯韋方程組出發(fā),在考慮介質(zhì)具有線性吸收的情況下發(fā)展了非局域線性電光效應(yīng)的耦合波理論,建立了相應(yīng)的耦合波方程組,并求解了該方程組.研究表明:首先,當(dāng)線性吸收介質(zhì)中兩個(gè)吸收系數(shù)α11和α22相等時(shí),線性吸收僅使介質(zhì)中光場的振幅衰減,而不影響其相位和波形,因此,與無吸收介質(zhì)中的情況一樣,可以認(rèn)為電光強(qiáng)度調(diào)制時(shí)出射光束不再保持高斯光束波形的現(xiàn)象是二階非線性極化率存在非局域響應(yīng)的一個(gè)可能信號(hào);其次,當(dāng)α11與α22不相等時(shí),線性吸收使介質(zhì)中光場的振幅衰減,相位改變,此時(shí),線性吸收會(huì)導(dǎo)致電光強(qiáng)度調(diào)制時(shí)出射光束的波形不再保持高斯光束波形,因此不能簡單地根據(jù)出射光波形是否偏離高斯型來判斷是否存在非局域響應(yīng),但可通過測量非局域響應(yīng)的特征長度值σ2來判斷是否存在非局域響應(yīng);在α11?=α22的情況下,線性吸收還使電光強(qiáng)度調(diào)制的消光比減小,但對半波電壓沒有明顯影響.最后,我們討論了測量一階線性和二階非線性極化率非局域響應(yīng)特征長度σ1和σ2以及晶體吸收系數(shù)α11和α22的方法.

2 基本理論

其中,μ0為真空中的磁導(dǎo)率;ε0為真空中的介電常數(shù);為晶體的電導(dǎo)率張量;是橫向的面積元,積分的上下限分別為∞和?∞;和分別是一階線性和二階非線性的非局域極化率張量(后文中,在不引起歧義的情況下會(huì)將其分別簡寫為和,并且都是實(shí)數(shù)(實(shí)際應(yīng)用中,如果有虛部存在,則應(yīng)將其虛部并入方程右邊第一項(xiàng)內(nèi)).此處,我們認(rèn)為由于相位失配,只需考慮線性電光效應(yīng)的貢獻(xiàn),而忽略了其他二階及更高階的非線性光學(xué)效應(yīng)[19].

這里,我們考慮最簡單的情況[20],即

對于傍軸光束E(x⊥,ζ),我們可以僅考慮其橫向分量(垂直于eζ的分量),而忽略其縱向分量(平行于eζ的分量).這樣E(x⊥,ζ)可以表示為

這里,k1和k2分別為光場E1(x⊥,ζ)和E2(x⊥,ζ)的波數(shù).當(dāng)k1=k2時(shí),E1(x⊥,ζ)和E2(x⊥,ζ)分別代表光場兩個(gè)相互垂直的分量;當(dāng)k1?=k2時(shí), E1(x⊥,ζ)和E2(x⊥,ζ)分別代表兩個(gè)經(jīng)歷不同折射率的相互垂直的獨(dú)立分量,a和b分別為代表E1(x⊥,ζ)和E2(x⊥,ζ)方向的兩個(gè)單位矢量,并且a·b=0,而ψ1(ξ,η,ζ)和ψ2(ξ,η,ζ)是兩個(gè)慢變振幅包絡(luò).將(2)和(3)式代入方程(1)中,把與相關(guān)的項(xiàng)當(dāng)成微擾[13],整理后得到以下的耦合波方程組:

其中,

α11,α12,α22和α21是晶體的吸收系數(shù)[15].在方程組(4)中,為了使表達(dá)式結(jié)構(gòu)簡潔,將ψj(ξ,η,ζ)寫成ψj,將Rl(|x⊥?x′⊥|)寫成Rl(后文中做類似處理時(shí)不再另行說明),用表示Rl和ψj的卷積,即

方程組(4)可以用來描述在任意方向外加電場的作用下,光在線性吸收晶體中沿任意方向傳播時(shí)的非局域線性電光效應(yīng),其中響應(yīng)函數(shù)的具體形式要根據(jù)引起非局域的物理機(jī)制來定[23].精確求解方程組(4)會(huì)存在困難,但在給定各參數(shù)的情況下,可以進(jìn)行數(shù)值求解.

下面,我們僅考慮弱非局域[23]的情況,此時(shí)Rl(|x⊥|)的特征長度遠(yuǎn)小于ψj(ξ,η,ζ)的束寬.因此有

容易看出,當(dāng)光束E1(x⊥,ζ)和E2(x⊥,ζ)的束寬為無窮大時(shí),就會(huì)有,方程組(6)就簡化成文獻(xiàn)[14]中描述的線性吸收介質(zhì)中局域情況下的線性電光效應(yīng).

如果外加電場Ed=0,則d1=d2=d3= d4=0,那么方程組(6)變成

對應(yīng)的出射光強(qiáng)為

其中

這里,α=(α22?α11)/2,它反映了吸收系數(shù)α11與α22的不同.容易驗(yàn)證下面的恒等式

其中

當(dāng)Δk=0,α=0,即k1=k2和α11=α22時(shí),我們發(fā)現(xiàn)是一個(gè)常數(shù)矩陣,因此.另一方面,對大多數(shù)的雙折射晶體,當(dāng)k1和k2不是太靠近光軸[13]時(shí),條件|Δk|?|dm|成立(m=1,2,3,4),這使得近似為一個(gè)對角矩陣,從而得到.對這兩種情況,(13)式變成

做變換

把(18)和(19)式代入方程(11)中,整理后可得

如果

對于局域情況σ1=σ2=0,方程組(6),(22)和(23)式就變成描述線性吸收介質(zhì)中入射光是高斯光束時(shí)的線性電光效應(yīng)的耦合波方程組及其解析解.這正好彌補(bǔ)了之前的線性吸收介質(zhì)線性電光效應(yīng)的耦合波理論只討論入射光是平面波的情況的不足[14].

3 分 析

3.1 k1=k2且α11=α22

當(dāng)光沿著單軸晶體的光軸方向傳播,或者在ˉ43m和23對稱點(diǎn)群的晶體中傳播時(shí),我們有eξ=ex,eη=ey和eζ=ez((x,y,z)為晶體的介電主軸坐標(biāo)系,ex,ey,ez分別為三個(gè)坐標(biāo)軸的方向矢,對單軸晶體ez代表單軸晶體的光軸方向),以及k1=k2,Δk=0和d1=d3,同時(shí)α11=α22(即α=0).對振幅調(diào)制,我們把兩個(gè)正交的偏振片P1和P2分別放在晶體的入射面和出射面處.此時(shí), a=ex平行于P1,b=ey平行于P2.對于入射條件E01=E0,E02=0,由(22)式,我們可以得到從偏振片P2出來的光場為

出射光的強(qiáng)度為

其中,I0=|E0|2是入射光的光強(qiáng),

由(24)和(25)式可知,電光強(qiáng)度調(diào)制時(shí),線性吸收只是使出射光場的強(qiáng)度衰減,而對出射光場的波形,電光調(diào)制的半波電壓和消光比都沒有影響.所以與無吸收介質(zhì)中的情況一樣,出射光場不再保持高斯光束波形這一現(xiàn)象可以被認(rèn)為是ˉχ(2)存在非局域效應(yīng)的一個(gè)可能信號(hào).由(25)式可知,給定各參數(shù),調(diào)節(jié)Ed,當(dāng)β′z??(z)=π時(shí),電光強(qiáng)度調(diào)制的出射光強(qiáng)Iout達(dá)到最大值,此時(shí)有

這樣就獲得了σ2的值.

圖1 Iout/I0隨α11+α22的變化,其中,d2=d4= 0 m?1,d1=d3=71.2494 m?1Fig.1.The dependence of the ou tpu t intensity Iout/I0on the absorp tion coeffi cientα11+α22.Here d2= d4=0 m?1,d1=d3=71.2494 m?1.

3.2 |Δk|?|dm|

此處,不失一般性,我們設(shè)置k1＞k2,這樣β≈ ?Δk?d2+d4?iα.對于振幅調(diào)制,設(shè)θ是偏振片P1和a之間的夾角,且E01=E0cosθ, E02=E0sinθ為入射光束的振幅.由(22)式,我們可以得到從偏振片P2出來的光場為

出射光的光強(qiáng)為

圖2 當(dāng)吸收系數(shù)α11和α22的值不同時(shí),出射光I(ξ,0,ζ)/I0在不同的傳播距離ζ/kow2處的光束形狀,其中,k1=ko= 2.87770×107m?1,k2=ke=2.76460×107m?1,d2=192.076 m?1,d4=437.124 m?1Fig.2.Shapes of the output beam s I(ξ,0,ζ)/I0at diff erent travelling distancesζ/kow2w henα11andα22have d iff erent values.Here k1=ko=2.87770×107m?1,k2=ke=2.76460×107m?1,d2=192.076 m?1,d4=437.124 m?1.

圖3 出射光強(qiáng)度Iout/I0隨外加電場Ed的變化,其中虛線α11= α22=0 m?1,實(shí)線α11=10 m?1, α22=15 m?1;其他參數(shù)的選取與圖2相同F(xiàn)ig.3.The dependence of the ou tpu t intensity Iout/I0on the external dc electric field Ed. Dashed line: α11= α22=0 m?1;solid line,α11=10 m?1, α22=15 m?1.O ther param eters are the sam e as Fig.2.

注意到圖2(d),(e),(f)中的光束形狀(對應(yīng)于α11= α22=20 m?1)與圖2(g),(h),(i)中的光束形狀(對應(yīng)于α11=α22=0)分別對應(yīng)相同,但圖2(d),(e),(f)中的振幅由于吸收的存在發(fā)生了衰減.將圖2中的(a),(b),(c)圖分別與相應(yīng)的圖2(d),(e),(f)進(jìn)行對比,同時(shí)結(jié)合(27)式可以發(fā)現(xiàn),圖2(a),(b),(c)由于α11?= α22,出射光束的波形相對于圖2(d),(e),(f)發(fā)生了改變.而且,由(27)式我們還注意到:在有吸收的介質(zhì)中,當(dāng)α11?=α22時(shí),即使沒有非局域效應(yīng),入射時(shí)的高斯光束在晶體中傳播一段距離后在晶體的出射面處波形也可能發(fā)生畸變而不再保持高斯光束波形.所以與無吸收介質(zhì)中的情況不同,此處不能簡單地根據(jù)出射光束波形的變化來判斷ˉχ(2)是否存在非局域響應(yīng).

仍然以LiNbO3晶體為例,根據(jù)(28)式給出了出射光強(qiáng)隨外加電場變化的曲線,如圖3所示.從(28)式和圖3可以看出,電光振幅調(diào)制時(shí),線性吸收使出射光的光強(qiáng)發(fā)生了衰減,調(diào)制的消光比減小,但調(diào)制的半波電壓并沒有受到明顯的影響.這可為電光器件設(shè)計(jì)者提供參考.根據(jù)(28)式,給定各參數(shù)后,調(diào)節(jié)外電場Ed,當(dāng)(Δk+d2?d4)ζ+?(ζ)=π時(shí),出射光強(qiáng)Iout達(dá)到最大值,此時(shí)有

可以依據(jù)σ2的值是否為零,來判斷ˉχ(2)是否存在非局域響應(yīng).

4 結(jié) 論

我們進(jìn)一步推廣了線性電光效應(yīng)的耦合波理論,提出了線性吸收介質(zhì)非局域線性電光效應(yīng)的耦合波理論.運(yùn)用該理論,我們研究了線性吸收對非局域線性電光效應(yīng)的影響.研究表明:首先,當(dāng)α11=α22時(shí),線性吸收使出射光場的振幅衰減,而不改變其波形.此時(shí)可以根據(jù)電光強(qiáng)度調(diào)制時(shí)出射光束波形是否保持為高斯型來判斷是否存在非局域響應(yīng).其次,當(dāng)α11?=α22時(shí),線性吸收除了使出射光場的振幅衰減還改變了其相位,從而導(dǎo)致電光強(qiáng)度調(diào)制時(shí)出射光束的波形發(fā)生變化,此時(shí)可通過測量σ2的值來判斷ˉχ(2)是否存在非局域響應(yīng).在α11?=α22時(shí),線性吸收還使電光強(qiáng)度調(diào)制的消光比減小,但對半波電壓沒有明顯影響.最后,我們還討論了測量和非局域響應(yīng)特征長度和晶體吸收系數(shù)α11和α22的方法.

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PACS:42.65.–k,42.70.M p,78.20.JqDOI:10.7498/aps.66.064202

W ave coup ling theory o f non local linear electro-op tic eff ect in a linear absorbent m ed ium?

Wu Dan-Dan1)2)SheWei-Long1)?

1)(State K ey Laboratory of Op toelectronic M aterials and Technologies,Sun Yat-sen University,Guangzhou 510275,China)
2)(Physics Teaching and Experim ent Center,Sou th China University of Technology,Guangzhou 510006,China)
(Received 30 Sep tem ber 2016;revised m anuscrip t received 15 Novem ber 2016)

Being an im portant optical phenom enon,the linear electro-optic eff ect has diverse app lications in the opticalm odulation and op tical sw itching.The refractive index ellipsoid theory has been w idely used to study the linear electro-optic eff ect for a long time.Despite of its visualization such a theory has lim itations and cannot deal w ith a lot of cases in which the linear absorption cannot be neglected,or the electric disp lacem ent vector has a nonlocal response to electric field,etc.To overcom e such shortcom ings,in 2001 a wave coup ling theory of linear electro-optic eff ect was developed by She and Lee(She W,LeeW 2001 Opt.Comm un.195 303).And in 2016 we generalized this wave coup ling theory to the treatm ent of non local linear electro-optic eff ect in which the disp lacem ent vector has a non local response to electric field.

In this paper,we use this wave-coup ling theory to investigate how the linear absorption influences the linear electro-optic eff ect in a nonlocalm edium.Starting from M axwell’s equations and considering the linear absorp tion and the non locality of the susceptibility tensors,we obtain two coup ling equations for two orthogonal linear polarized waves and also analytical solutions of the resu lting equations,which can be used to describe the non local linear electro-optic eff ect for a light beam propagating along any direction,w ith an external direct current electric field app lied along an arbitrary direction in a linear absorbent crystal.W ith such solutions,we study the infl uences of the linear absorp tion on the phase,am p litude,shape of the output beam,aswellas the half-wave voltage and the extinction ratio of electro-optic m odulation.The results show that no m atter whether there exists linear absorp tion,the Rayleigh distance of the Gaussian beam in the crystalw ill be shortened as a result of the nonlocality ofˉχ(1).W hen linear-absorption coeffi cientsα11andα22are equal,the linear absorption dam ps equally the am p litudes of the two polarized output beam s w ith keeping their phases and shapes unchanged.So in the case ofα11=α22,just as in a losslessm edium,the phenom enon that the output beam is no longer a Gaussian beam in an electro-optic am p litudemodu lation scheme can be considered as a possib le signal of the non local response ofˉχ(2).M ore interestingly,whenα11?=α22,the linear absorption not only reduces the am p litudes of output beam s,but also changes their phases and shapes.In such a case one need tomeasure the nonlocal characteristic length ofˉχ(2)to judgewhetherˉχ(2)has a nonlocal response.Finally,in the case ofα11?=α22, as a result of linear absorption,the extinction ratio is reduced,but the half-wave voltage keeps nearly unchanged in an electro-optic am p litudemodulation scheme.Besides the discussion on the infl uence of the linear absorption,we also m ake suggestions of how to m easure the nonlocal characteristic lengths ofˉχ(1)andˉχ(2)and the absorption coeffi cients α11andα22.

linear electro-optic effect,nonlocal,linear absorption,electro-opticmodulation

10.7498/aps.66.064202

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11274401)資助的課題.

?通信作者.E-m ail:shew l@m ail.sysu.edu.cn

*Pro ject supported by the National Natural Science Foundation of China(G rant No.11274401).

?Corresponding author.E-m ail:shew l@m ail.sysu.edu.cn