對一道力學選擇題的再思考

高愛英

（安徽師范大學物理與電子信息學院，安徽蕪湖 241000）

·復習與考試·

對一道力學選擇題的再思考

高愛英

（安徽師范大學物理與電子信息學院，安徽蕪湖 241000）

本文通過嚴謹?shù)奈锢砟Ｐ徒⒑蛿?shù)學定量推算，分析出圓錐擺轉(zhuǎn)動角速度和擺線與豎直方向夾角之間的關(guān)系，并繪制出它們之間關(guān)系圖像，糾正了很多復習資料的不嚴謹論述.

圓錐擺；制約關(guān)系；臨界條件

很多復習資料頻頻出現(xiàn)這樣一道力學選擇題：如圖1所示，一根不可伸長的輕繩一端拴著一個小球，另一端固定在豎直桿上，當豎直桿以角速度ω轉(zhuǎn)動時，小球跟著桿一起做圓錐擺運動，此時繩與豎直方向的夾角為θ，關(guān)于ω與θ關(guān)系圖像，下列圖2中正確的是

圖1

圖2

而該題所附的答案基本如下：對小球進行受力分析，受重力mg、繩子的拉力F，設(shè)繩子與桿的結(jié)點到小球重心的距離為L，則有

Fcosθ＝mg，

Fsinθ＝mω2Lsinθ.

以上這種答案讓人產(chǎn)生幾點疑惑：（1）從物理量之間的制約關(guān)系看，應(yīng)該是小球轉(zhuǎn)動角速度ω的變化引起繩子與豎直方向夾角θ的變化，而不是角度θ引發(fā)角速度ω的變化，所以，如果是θ－ω繪圖更好接受吧？（2）從運動的臨界條件看，假設(shè)θ可以減小到最小θ＝0，繩子給小球的拉力豎直向上，誰來給小球提供向心力讓它完成角速度為圓周運動呢？（3）所附答案僅僅分析小球離桿的情況，那么沒有飛離的時候是什么關(guān)系呢？

下面就從這幾點著手分析.

如果小球的半徑不可忽略，在靜止或者以很小的角速度轉(zhuǎn)動時，它都會和桿之間直接接觸并產(chǎn)生一個彈力，且這時產(chǎn)生的夾角（其中為R小球半徑），如圖3所示.當小球以較小的角速度ω轉(zhuǎn)動時，對小球受力分析，受重力mg、繩子的拉力F和桿的彈力FN，則有

Fcosθ0＝mg，

Fsinθ0－FN＝mω2Lsinθ0.

當小球即將要飛離桿的瞬間，則有

FN＝0.

對應(yīng)著一個臨界角速度

圖3

結(jié)合以上的分析，可見答案所附圖像是不準確的.正確的θ－ω圖像應(yīng)該是分段的，如圖4所示.或者繪制ω－θ圖像，也應(yīng)該如圖5所示.

圖4

圖5

1 王貴兵.例談高中力學中臨界問題［J］.中學物理，2006（11）：60.

2 楊天寶.淺談錐擺系列問題的教學構(gòu)想［J］.物理教師，2009（8）：63.

由（1）、（2）兩式可得

2017－03－07）