對(duì)2017年浙江選考卷中一個(gè)磁聚焦問題的釋疑

王金聚

（浙江省溫州中學(xué)，浙江溫州 325000）

對(duì)2017年浙江選考卷中一個(gè)磁聚焦問題的釋疑

王金聚

（浙江省溫州中學(xué)，浙江溫州 325000）

針對(duì)一個(gè)對(duì)磁聚焦前后帶電粒子的密度分布的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，本文進(jìn)行了深入的剖析.關(guān)鍵詞：磁聚焦；密度分布；錯(cuò)誤認(rèn)知；剖析

2017年浙江省高考物理選考試卷的最后一題是一道電磁學(xué)的大題，針對(duì)題中的第3個(gè)小問題，不少考生出現(xiàn)了一種典型的錯(cuò)誤解法，甚至有的教師也存在同樣的錯(cuò)誤認(rèn)知，今單獨(dú)將其列出，給予詳細(xì)剖析，供大家參考.

原題.（2017年浙江選考卷第23題）如圖1所示，在xOy平面內(nèi)，有一電子源持續(xù)不斷地沿x正方向每秒發(fā)射出N個(gè)速率均為v的電子，形成寬為2b，在y軸方向均勻分布且關(guān)于x軸對(duì)稱的電子流.電子流沿x方向射入一個(gè)半徑為R，中心位于原點(diǎn)O的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直xOy平面向里，電子經(jīng)過磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后均從P點(diǎn)射出，在磁場(chǎng)區(qū)域的正下方有一對(duì)平行于x軸的金屬平行板K和A，其中K板與P點(diǎn)的距離為d，中間開有寬度為2l且關(guān)于y軸對(duì)稱的小孔.K板接地，A與K兩板間加有正負(fù)、大小均可調(diào)的電壓UAK，穿過K板小孔到達(dá)A板的所有電子被收集且導(dǎo)出，從而形成電流.已知，d＝l，電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略電子間相互作用.

圖1

（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；

（2）求電子從P點(diǎn)射出時(shí)與負(fù)y軸方向的夾角θ的范圍；

（3）當(dāng)UAK＝0時(shí)，每秒經(jīng)過極板K上的小孔到達(dá)極板A的電子數(shù)；

（4）畫出電流i隨UAK變化的關(guān)系曲線（在答題紙上的方格紙上）.

（2）考慮最邊緣的電子，如圖2所示，設(shè)最上端的電子從P點(diǎn)射出時(shí)與負(fù)y軸的夾角為θm，由幾何關(guān)系可得

圖2

（3）如圖3所示，設(shè)P點(diǎn)與小孔的右邊緣的連線與豎直方向成φ角，因?yàn)閐＝l，所以φ＝45°，所以

圖3

（4）略.

標(biāo)準(zhǔn)答案如下：

（2）如圖2所示，設(shè)上端電子從P點(diǎn)射出時(shí)與負(fù)y軸最大夾角為θm，由幾何關(guān)系得θm＝60°.同理，下端電子從P點(diǎn)射出時(shí)與－y軸最大夾角也為60°，范圍是－60°≤θ≤60°.

矛盾及釋疑：比較可以看出，兩種解法在解答第（3）問時(shí)采取了不同的思路，且得出了不同的答案，孰是孰非？問題出在哪里呢？

帶電粒子通過磁場(chǎng)匯聚到一點(diǎn)的現(xiàn)象稱之為磁聚焦，題中的帶電粒子均聚焦于P點(diǎn)，過P點(diǎn)后再呈輻射狀離開磁場(chǎng).從上面的解答可以看出，從P點(diǎn)射出時(shí)粒子的運(yùn)動(dòng)方向在與－y軸成60°角的左右范圍內(nèi).第一種解法的出發(fā)點(diǎn)是從粒子出場(chǎng)的角度比值來求解，這就有了一個(gè)“默認(rèn)”作為前提——即認(rèn)為既然粒子進(jìn)場(chǎng)時(shí)在y軸方向上是均勻分布的，那么出場(chǎng)時(shí)在輻射的120°角范圍內(nèi)各向的分布也應(yīng)該是均勻的，這種看法對(duì)不對(duì)呢？

任取一粒子來分析，如圖4所示，設(shè)粒子從E點(diǎn)射入、P點(diǎn)射出，其軌道半徑為r，軌道的圓心為O′，連接OO′，由于O′E＝OP＝R，O′E＝O′P＝r，所以△OO′E △OO′P，所以有∠OO′E＝∠OO′P，由于O′E平行于y軸，所以∠OO′E＝∠O′OP，故有∠OO′P＝∠O′OP，所以PO＝PO′，即r＝R，故四邊形OPO′E為菱形.設(shè)出場(chǎng)方向與－y軸方向成θ角，過P點(diǎn)作切線PD，由幾何關(guān)系可看出∠FOE＝∠O′PD＝θ，設(shè)E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y，則，y與θ的取值是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，我們不妨等間距地取幾個(gè)y值，來對(duì)應(yīng)算一下它們各自的出場(chǎng)角度，如表1所示.

圖4

表1

依表中數(shù)據(jù)畫出粒子的對(duì)應(yīng)軌跡如圖5所示.可以看出，在出場(chǎng)時(shí)粒子在各向的分布是非均勻的，越是靠近y軸的方向粒子分布越密集，向兩側(cè)密度逐漸減小.

圖5

圖6

之所以會(huì)出現(xiàn)解法一中的錯(cuò)誤認(rèn)知，無非是一種想當(dāng)然的思想在作祟.不仔細(xì)推導(dǎo)，就主觀地認(rèn)為“均勻進(jìn)”就似乎應(yīng)該是“均勻出”，豈不知經(jīng)過磁場(chǎng)的扭轉(zhuǎn)，不僅扭轉(zhuǎn)了粒子的方向，還同時(shí)扭轉(zhuǎn)了粒子的分布規(guī)律，使“均勻”變成了“不均勻”，所以說解題不能靠想當(dāng)然，而是要靠有理有據(jù)的縝密推理.

2017－04－30）