雙帶電圓環(huán)軸線上電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)的分布探究
——由一道試題引發(fā)的思考

楊 軍

（安徽省太和一中，安徽太和 236600）

·問題討論·

雙帶電圓環(huán)軸線上電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)的分布探究
——由一道試題引發(fā)的思考

楊 軍

（安徽省太和一中，安徽太和 236600）

對(duì)一道關(guān)于“雙帶電圓環(huán)軸線上電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)的分布情況”的物理試題進(jìn)行定量計(jì)算，得到電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)的分布情況與雙環(huán)的距離有關(guān)，進(jìn)而對(duì)雙環(huán)距離取不同值時(shí)進(jìn)行討論，運(yùn)用計(jì)算軟件繪制出不同條件下電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)的分布圖像，猜想并嘗試證明臨界距離的大小.

帶電圓環(huán)；電場(chǎng)強(qiáng)度；電勢(shì)；軸向分布

某高考模擬試卷上有這樣一道試題：

題目.如圖1所示，兩圓環(huán)A、B上均勻分布相同的正電荷，x軸垂直于環(huán)面且過兩圓環(huán)圓心O1和O2，P為O1O2的中點(diǎn)，下列說法正確的是

（A）P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為0.（B）O1點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為0.

（C）O1的電勢(shì)一定等于O2點(diǎn)的電勢(shì).

（D）從O1點(diǎn)沿x軸到O2點(diǎn)，電勢(shì)一定先降低后升高.

圖1

1 關(guān)于（A）（B）（C）項(xiàng)的分析解答

參考答案：兩個(gè)圓環(huán)上電荷在P點(diǎn)的電場(chǎng)等大反向，故P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為0，選項(xiàng)（A）項(xiàng)正確；O1點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為A環(huán)上的電荷在O1處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度與B環(huán)上的電荷在O1處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和，A環(huán)上的電荷在O1處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為0，但是B環(huán)上的電荷在O1處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度不為0（方向向左），選項(xiàng)（B）錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱性可得O1點(diǎn)的電勢(shì)一定等于O2點(diǎn)的電勢(shì)，選項(xiàng)（C）正確.

以上是參考答案給出的關(guān)于（A）（B）（C）選項(xiàng)的分析解答，這是不存在爭(zhēng)議的.爭(zhēng)議的焦點(diǎn)是在（D）選項(xiàng)的解答，即從O1點(diǎn)沿x軸到O2點(diǎn)，電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)是如何分布的.

2 對(duì)O1O2連線上強(qiáng)度和電勢(shì)分布情況的定量計(jì)算

（1）單個(gè)帶電圓環(huán)軸向場(chǎng)強(qiáng)及電勢(shì)分布.

如圖2所示，一個(gè)半徑為R的均勻帶電圓環(huán)，電荷量為＋Q，在其軸線以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立x軸.

圖2

所以

取無(wú)限遠(yuǎn)處電勢(shì)為0，則P點(diǎn)的電勢(shì)U為

（2）兩個(gè)帶電圓環(huán)軸向電場(chǎng)及電勢(shì)分布.

如圖1所示，對(duì)兩個(gè)圓環(huán)的問題，取P點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O1坐標(biāo)為－d，O2坐標(biāo)為d，由（1）（2）式得圓環(huán)A、B在x軸上各點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)U1、U2及電場(chǎng)強(qiáng)度E1、E2分別為

則x軸上各點(diǎn)的電勢(shì)U為：可得到x軸上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)

欲求U的極值，只需要求E＝0的解就行了，但是，E＝0最終化為一個(gè)復(fù)雜的高次（7次）不定方程，方程的實(shí)數(shù)解與實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)都與d和R都有關(guān)系，只有確定了d的值，才能討論方程的實(shí)數(shù)解及實(shí)數(shù)解解的個(gè)數(shù).這里的復(fù)雜運(yùn)算可以用Mathematica數(shù)學(xué)計(jì)算軟件來(lái)幫助完成.為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，取kQ＝1，R＝1，以下表達(dá)式的d為d與R的比值，x為x與R的比值.則x軸上各點(diǎn)的電勢(shì)為U和場(chǎng)強(qiáng)E可以化簡(jiǎn)為

以下所作出的圖像，橫軸表示x與R的比值，縱軸表示場(chǎng)強(qiáng)（或電勢(shì)）的相對(duì)大小.

3 兩種情況下電場(chǎng)和電勢(shì)的分布

（1）當(dāng)兩環(huán)之間距離較近時(shí)，x軸上場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)的分布情況.

U的表達(dá)式化簡(jiǎn)為

運(yùn)用Mathematica軟件計(jì)算，可以得到電場(chǎng)強(qiáng)度的分布圖像如圖3（a），電勢(shì)的分布圖像如圖3（b）.

圖3

由圖像可以看出，E＝0確實(shí)存在唯一實(shí)數(shù)解，即x＝0；在O1P段上，即［－d，0］區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度方向向左，在PO2段上，即在［0，d］區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度方向向右；在O1O2連線上，即在［－d，d］區(qū)域內(nèi)，電勢(shì)是先升高后降低.

（2）當(dāng)兩環(huán)之間距離較遠(yuǎn)時(shí)，x軸上場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)的分布情況.

當(dāng)d＝R時(shí)，即d＝1，E的表達(dá)式化簡(jiǎn)為

U的表達(dá)式化簡(jiǎn)為

運(yùn)用Mathematica軟件計(jì)算可以得到電場(chǎng)強(qiáng)度的分布圖像如圖4（a），在［－1，1］區(qū)間內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度的分布如圖4（b），電勢(shì)的分布圖像如圖4（c）.

圖4

由圖像可以看出，方程E＝0確實(shí)存在3個(gè)實(shí)數(shù)解.可以得到方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的3個(gè)解為x＝0，x＝±0.773485.在O1P段上的［－1，－0.773485］區(qū)域內(nèi)，電場(chǎng)強(qiáng)度方向向左，在區(qū)間［－0.773485，0］內(nèi)，電場(chǎng)強(qiáng)度方向向右；PO2段與O1P段對(duì)稱；在O1O2連線上，即在區(qū)間［－1，1］內(nèi)，電勢(shì)是先升高，后降低，再升高，再降低.

4 對(duì)d臨界值的討論

從以上討論可以看出，在R（R＝1）一定的情況下，當(dāng)d比較小時(shí)，E＝0的方程的實(shí)數(shù)解只有唯一一個(gè)；當(dāng)d比較大時(shí)，E＝0的方程的實(shí)數(shù)解有3個(gè).

那么，當(dāng)d變化時(shí)，方程E＝0從唯一實(shí)數(shù)解的情況過渡到3個(gè)實(shí)數(shù)解解的情況過程中，臨界情況的d值是多少呢？這個(gè)問題從前面的關(guān)系式中不好求解，好在單環(huán)問題給了筆者指導(dǎo).

（1）對(duì)d臨界值的猜想.

單環(huán)的問題中，由（1）可以求x軸上何處的電場(chǎng)強(qiáng)度最大：

（2）對(duì)d取臨界值時(shí)，x軸上場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)的分布情況.

計(jì)算可得電場(chǎng)的分布圖像如圖5（a），電勢(shì)的分布圖像如圖5（b）.可以看出x軸上場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)的分布情況相似，只是在時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)附近的電場(chǎng)和電勢(shì)分布更加“平坦”.

圖5

（3）對(duì)臨界距離猜想的證明.

5 結(jié)論及反思

通過以上的分析討論可以得到：

由此可見，本文開始給出的3種解法得到的情況都是錯(cuò)誤的，解法1也就是參考答案給出的結(jié)果是不可能存在的；解法2給出的結(jié)果是在兩環(huán)之間距離小于槡2 R時(shí)才能成立；解法3給出的結(jié)果是在兩環(huán)之間距離大于槡2 R時(shí)才能成立.

物理試題需要用合適的物理情境來(lái)考察考生的知識(shí)、能力和科學(xué)素養(yǎng).一個(gè)好的物理情境要能體現(xiàn)物理學(xué)科的自身價(jià)值，做到理論聯(lián)系實(shí)際，體現(xiàn)物理知識(shí)在生產(chǎn)、生活中的廣泛應(yīng)用，體現(xiàn)科學(xué)技術(shù)與社會(huì)、經(jīng)濟(jì)發(fā)展的聯(lián)系.現(xiàn)在各類考試中的物理命題都非常重視對(duì)物理情境的創(chuàng)新，創(chuàng)新是好事，然而必須堅(jiān)持科學(xué)性原則，切不可出現(xiàn)因?yàn)橐晃蹲非髣?chuàng)新而出現(xiàn)不符合實(shí)際、有科學(xué)性錯(cuò)誤的物理情境.

1 梁燦彬，秦光戎等.電磁學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，1980：17－20.

2 四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（第一冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，1995：17－20.

3 伍秀峰.探討一幅電勢(shì)在坐標(biāo)軸上分布的圖像［J］.物理教師，2013，34（10）：53－54.

4 翁以忠.關(guān)于等量點(diǎn)電荷的圖像問題討論［J］.物理教師，2011，32（2）：47－48.

5 楊習(xí)志.利用Matlab研究點(diǎn)電荷間的電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的分布問題［J］.物理教師，2015，36（4）：69－72.

6 歐劍雄.高中物理命題中物理情境的科學(xué)性探究［J］.物理教師，2013，34（9）：19－22.

2017－03－12）