楊 軍
(安徽省太和一中,安徽太和 236600)
·問題討論·
雙帶電圓環(huán)軸線上電場強度和電勢的分布探究
——由一道試題引發(fā)的思考
楊 軍
(安徽省太和一中,安徽太和 236600)
對一道關(guān)于“雙帶電圓環(huán)軸線上電場強度和電勢的分布情況”的物理試題進行定量計算,得到電場強度和電勢的分布情況與雙環(huán)的距離有關(guān),進而對雙環(huán)距離取不同值時進行討論,運用計算軟件繪制出不同條件下電場強度和電勢的分布圖像,猜想并嘗試證明臨界距離的大小.
帶電圓環(huán);電場強度;電勢;軸向分布
某高考模擬試卷上有這樣一道試題:
題目.如圖1所示,兩圓環(huán)A、B上均勻分布相同的正電荷,x軸垂直于環(huán)面且過兩圓環(huán)圓心O1和O2,P為O1O2的中點,下列說法正確的是
(A)P點的電場強度為0.(B)O1點的電場強度為0.
(C)O1的電勢一定等于O2點的電勢.
(D)從O1點沿x軸到O2點,電勢一定先降低后升高.
圖1
參考答案:兩個圓環(huán)上電荷在P點的電場等大反向,故P點的電場強度為0,選項(A)項正確;O1點的電場強度為A環(huán)上的電荷在O1處產(chǎn)生的電場強度與B環(huán)上的電荷在O1處產(chǎn)生的電場強度的矢量和,A環(huán)上的電荷在O1處產(chǎn)生的電場強度為0,但是B環(huán)上的電荷在O1處產(chǎn)生的電場強度不為0(方向向左),選項(B)錯誤;根據(jù)對稱性可得O1點的電勢一定等于O2點的電勢,選項(C)正確.
以上是參考答案給出的關(guān)于(A)(B)(C)選項的分析解答,這是不存在爭議的.爭議的焦點是在(D)選項的解答,即從O1點沿x軸到O2點,電場強度和電勢是如何分布的.
(1)單個帶電圓環(huán)軸向場強及電勢分布.
如圖2所示,一個半徑為R的均勻帶電圓環(huán),電荷量為+Q,在其軸線以圓心為坐標(biāo)原點建立x軸.
圖2
所以
取無限遠處電勢為0,則P點的電勢U為
(2)兩個帶電圓環(huán)軸向電場及電勢分布.
如圖1所示,對兩個圓環(huán)的問題,取P點為坐標(biāo)原點,O1坐標(biāo)為-d,O2坐標(biāo)為d,由(1)(2)式得圓環(huán)A、B在x軸上各點產(chǎn)生的電勢U1、U2及電場強度E1、E2分別為
則x軸上各點的電勢U為:可得到x軸上各點的場強
欲求U的極值,只需要求E=0的解就行了,但是,E=0最終化為一個復(fù)雜的高次(7次)不定方程,方程的實數(shù)解與實數(shù)解的個數(shù)都與d和R都有關(guān)系,只有確定了d的值,才能討論方程的實數(shù)解及實數(shù)解解的個數(shù).這里的復(fù)雜運算可以用Mathematica數(shù)學(xué)計算軟件來幫助完成.為了簡化運算,取kQ=1,R=1,以下表達式的d為d與R的比值,x為x與R的比值.則x軸上各點的電勢為U和場強E可以化簡為
以下所作出的圖像,橫軸表示x與R的比值,縱軸表示場強(或電勢)的相對大小.
(1)當(dāng)兩環(huán)之間距離較近時,x軸上場強和電勢的分布情況.
U的表達式化簡為
運用Mathematica軟件計算,可以得到電場強度的分布圖像如圖3(a),電勢的分布圖像如圖3(b).
圖3
由圖像可以看出,E=0確實存在唯一實數(shù)解,即x=0;在O1P段上,即[-d,0]區(qū)域電場強度方向向左,在PO2段上,即在[0,d]區(qū)域電場強度方向向右;在O1O2連線上,即在[-d,d]區(qū)域內(nèi),電勢是先升高后降低.
(2)當(dāng)兩環(huán)之間距離較遠時,x軸上場強和電勢的分布情況.
當(dāng)d=R時,即d=1,E的表達式化簡為
U的表達式化簡為
運用Mathematica軟件計算可以得到電場強度的分布圖像如圖4(a),在[-1,1]區(qū)間內(nèi)電場強度的分布如圖4(b),電勢的分布圖像如圖4(c).
圖4
由圖像可以看出,方程E=0確實存在3個實數(shù)解.可以得到方程在實數(shù)范圍內(nèi)的3個解為x=0,x=±0.773485.在O1P段上的[-1,-0.773485]區(qū)域內(nèi),電場強度方向向左,在區(qū)間[-0.773485,0]內(nèi),電場強度方向向右;PO2段與O1P段對稱;在O1O2連線上,即在區(qū)間[-1,1]內(nèi),電勢是先升高,后降低,再升高,再降低.
從以上討論可以看出,在R(R=1)一定的情況下,當(dāng)d比較小時,E=0的方程的實數(shù)解只有唯一一個;當(dāng)d比較大時,E=0的方程的實數(shù)解有3個.
那么,當(dāng)d變化時,方程E=0從唯一實數(shù)解的情況過渡到3個實數(shù)解解的情況過程中,臨界情況的d值是多少呢?這個問題從前面的關(guān)系式中不好求解,好在單環(huán)問題給了筆者指導(dǎo).
(1)對d臨界值的猜想.
單環(huán)的問題中,由(1)可以求x軸上何處的電場強度最大:
(2)對d取臨界值時,x軸上場強和電勢的分布情況.
計算可得電場的分布圖像如圖5(a),電勢的分布圖像如圖5(b).可以看出x軸上場強和電勢的分布情況相似,只是在時,坐標(biāo)原點附近的電場和電勢分布更加“平坦”.
圖5
(3)對臨界距離猜想的證明.
通過以上的分析討論可以得到:
由此可見,本文開始給出的3種解法得到的情況都是錯誤的,解法1也就是參考答案給出的結(jié)果是不可能存在的;解法2給出的結(jié)果是在兩環(huán)之間距離小于槡2 R時才能成立;解法3給出的結(jié)果是在兩環(huán)之間距離大于槡2 R時才能成立.
物理試題需要用合適的物理情境來考察考生的知識、能力和科學(xué)素養(yǎng).一個好的物理情境要能體現(xiàn)物理學(xué)科的自身價值,做到理論聯(lián)系實際,體現(xiàn)物理知識在生產(chǎn)、生活中的廣泛應(yīng)用,體現(xiàn)科學(xué)技術(shù)與社會、經(jīng)濟發(fā)展的聯(lián)系.現(xiàn)在各類考試中的物理命題都非常重視對物理情境的創(chuàng)新,創(chuàng)新是好事,然而必須堅持科學(xué)性原則,切不可出現(xiàn)因為一味追求創(chuàng)新而出現(xiàn)不符合實際、有科學(xué)性錯誤的物理情境.
1 梁燦彬,秦光戎等.電磁學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1980:17-20.
2 四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)(第一冊)[M].北京:高等教育出版社,1995:17-20.
3 伍秀峰.探討一幅電勢在坐標(biāo)軸上分布的圖像[J].物理教師,2013,34(10):53-54.
4 翁以忠.關(guān)于等量點電荷的圖像問題討論[J].物理教師,2011,32(2):47-48.
5 楊習(xí)志.利用Matlab研究點電荷間的電勢與電場強度的分布問題[J].物理教師,2015,36(4):69-72.
6 歐劍雄.高中物理命題中物理情境的科學(xué)性探究[J].物理教師,2013,34(9):19-22.
2017-03-12)