雙帶電圓環(huán)軸線上電場強(qiáng)度和電勢的分布探究
——由一道試題引發(fā)的思考

楊 軍

（安徽省太和一中，安徽太和 236600）

·問題討論·

雙帶電圓環(huán)軸線上電場強(qiáng)度和電勢的分布探究
——由一道試題引發(fā)的思考

楊 軍

（安徽省太和一中，安徽太和 236600）

對一道關(guān)于“雙帶電圓環(huán)軸線上電場強(qiáng)度和電勢的分布情況”的物理試題進(jìn)行定量計(jì)算，得到電場強(qiáng)度和電勢的分布情況與雙環(huán)的距離有關(guān)，進(jìn)而對雙環(huán)距離取不同值時進(jìn)行討論，運(yùn)用計(jì)算軟件繪制出不同條件下電場強(qiáng)度和電勢的分布圖像，猜想并嘗試證明臨界距離的大小.

帶電圓環(huán)；電場強(qiáng)度；電勢；軸向分布

某高考模擬試卷上有這樣一道試題：

題目.如圖1所示，兩圓環(huán)A、B上均勻分布相同的正電荷，x軸垂直于環(huán)面且過兩圓環(huán)圓心O1和O2，P為O1O2的中點(diǎn)，下列說法正確的是

（A）P點(diǎn)的電場強(qiáng)度為0.（B）O1點(diǎn)的電場強(qiáng)度為0.

（C）O1的電勢一定等于O2點(diǎn)的電勢.

（D）從O1點(diǎn)沿x軸到O2點(diǎn)，電勢一定先降低后升高.

圖1

1 關(guān)于（A）（B）（C）項(xiàng)的分析解答

參考答案：兩個圓環(huán)上電荷在P點(diǎn)的電場等大反向，故P點(diǎn)的電場強(qiáng)度為0，選項(xiàng)（A）項(xiàng)正確；O1點(diǎn)的電場強(qiáng)度為A環(huán)上的電荷在O1處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度與B環(huán)上的電荷在O1處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的矢量和，A環(huán)上的電荷在O1處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為0，但是B環(huán)上的電荷在O1處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度不為0（方向向左），選項(xiàng)（B）錯誤；根據(jù)對稱性可得O1點(diǎn)的電勢一定等于O2點(diǎn)的電勢，選項(xiàng)（C）正確.

以上是參考答案給出的關(guān)于（A）（B）（C）選項(xiàng)的分析解答，這是不存在爭議的.爭議的焦點(diǎn)是在（D）選項(xiàng)的解答，即從O1點(diǎn)沿x軸到O2點(diǎn)，電場強(qiáng)度和電勢是如何分布的.

2 對O1O2連線上強(qiáng)度和電勢分布情況的定量計(jì)算

（1）單個帶電圓環(huán)軸向場強(qiáng)及電勢分布.

如圖2所示，一個半徑為R的均勻帶電圓環(huán)，電荷量為＋Q，在其軸線以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立x軸.

圖2

所以

取無限遠(yuǎn)處電勢為0，則P點(diǎn)的電勢U為

（2）兩個帶電圓環(huán)軸向電場及電勢分布.

如圖1所示，對兩個圓環(huán)的問題，取P點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O1坐標(biāo)為－d，O2坐標(biāo)為d，由（1）（2）式得圓環(huán)A、B在x軸上各點(diǎn)產(chǎn)生的電勢U1、U2及電場強(qiáng)度E1、E2分別為

則x軸上各點(diǎn)的電勢U為：可得到x軸上各點(diǎn)的場強(qiáng)

欲求U的極值，只需要求E＝0的解就行了，但是，E＝0最終化為一個復(fù)雜的高次（7次）不定方程，方程的實(shí)數(shù)解與實(shí)數(shù)解的個數(shù)都與d和R都有關(guān)系，只有確定了d的值，才能討論方程的實(shí)數(shù)解及實(shí)數(shù)解解的個數(shù).這里的復(fù)雜運(yùn)算可以用Mathematica數(shù)學(xué)計(jì)算軟件來幫助完成.為了簡化運(yùn)算，取kQ＝1，R＝1，以下表達(dá)式的d為d與R的比值，x為x與R的比值.則x軸上各點(diǎn)的電勢為U和場強(qiáng)E可以化簡為

以下所作出的圖像，橫軸表示x與R的比值，縱軸表示場強(qiáng)（或電勢）的相對大小.

3 兩種情況下電場和電勢的分布

（1）當(dāng)兩環(huán)之間距離較近時，x軸上場強(qiáng)和電勢的分布情況.

U的表達(dá)式化簡為

運(yùn)用Mathematica軟件計(jì)算，可以得到電場強(qiáng)度的分布圖像如圖3（a），電勢的分布圖像如圖3（b）.

圖3

由圖像可以看出，E＝0確實(shí)存在唯一實(shí)數(shù)解，即x＝0；在O1P段上，即［－d，0］區(qū)域電場強(qiáng)度方向向左，在PO2段上，即在［0，d］區(qū)域電場強(qiáng)度方向向右；在O1O2連線上，即在［－d，d］區(qū)域內(nèi)，電勢是先升高后降低.

（2）當(dāng)兩環(huán)之間距離較遠(yuǎn)時，x軸上場強(qiáng)和電勢的分布情況.

當(dāng)d＝R時，即d＝1，E的表達(dá)式化簡為

U的表達(dá)式化簡為

運(yùn)用Mathematica軟件計(jì)算可以得到電場強(qiáng)度的分布圖像如圖4（a），在［－1，1］區(qū)間內(nèi)電場強(qiáng)度的分布如圖4（b），電勢的分布圖像如圖4（c）.

圖4

由圖像可以看出，方程E＝0確實(shí)存在3個實(shí)數(shù)解.可以得到方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的3個解為x＝0，x＝±0.773485.在O1P段上的［－1，－0.773485］區(qū)域內(nèi)，電場強(qiáng)度方向向左，在區(qū)間［－0.773485，0］內(nèi)，電場強(qiáng)度方向向右；PO2段與O1P段對稱；在O1O2連線上，即在區(qū)間［－1，1］內(nèi)，電勢是先升高，后降低，再升高，再降低.

4 對d臨界值的討論

從以上討論可以看出，在R（R＝1）一定的情況下，當(dāng)d比較小時，E＝0的方程的實(shí)數(shù)解只有唯一一個；當(dāng)d比較大時，E＝0的方程的實(shí)數(shù)解有3個.

那么，當(dāng)d變化時，方程E＝0從唯一實(shí)數(shù)解的情況過渡到3個實(shí)數(shù)解解的情況過程中，臨界情況的d值是多少呢？這個問題從前面的關(guān)系式中不好求解，好在單環(huán)問題給了筆者指導(dǎo).

（1）對d臨界值的猜想.

單環(huán)的問題中，由（1）可以求x軸上何處的電場強(qiáng)度最大：

（2）對d取臨界值時，x軸上場強(qiáng)和電勢的分布情況.

計(jì)算可得電場的分布圖像如圖5（a），電勢的分布圖像如圖5（b）.可以看出x軸上場強(qiáng)和電勢的分布情況相似，只是在時，坐標(biāo)原點(diǎn)附近的電場和電勢分布更加“平坦”.

圖5

（3）對臨界距離猜想的證明.

5 結(jié)論及反思

通過以上的分析討論可以得到：

由此可見，本文開始給出的3種解法得到的情況都是錯誤的，解法1也就是參考答案給出的結(jié)果是不可能存在的；解法2給出的結(jié)果是在兩環(huán)之間距離小于槡2 R時才能成立；解法3給出的結(jié)果是在兩環(huán)之間距離大于槡2 R時才能成立.

物理試題需要用合適的物理情境來考察考生的知識、能力和科學(xué)素養(yǎng).一個好的物理情境要能體現(xiàn)物理學(xué)科的自身價值，做到理論聯(lián)系實(shí)際，體現(xiàn)物理知識在生產(chǎn)、生活中的廣泛應(yīng)用，體現(xiàn)科學(xué)技術(shù)與社會、經(jīng)濟(jì)發(fā)展的聯(lián)系.現(xiàn)在各類考試中的物理命題都非常重視對物理情境的創(chuàng)新，創(chuàng)新是好事，然而必須堅(jiān)持科學(xué)性原則，切不可出現(xiàn)因?yàn)橐晃蹲非髣?chuàng)新而出現(xiàn)不符合實(shí)際、有科學(xué)性錯誤的物理情境.

1 梁燦彬，秦光戎等.電磁學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，1980：17－20.

2 四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（第一冊）［M］.北京：高等教育出版社，1995：17－20.

3 伍秀峰.探討一幅電勢在坐標(biāo)軸上分布的圖像［J］.物理教師，2013，34（10）：53－54.

4 翁以忠.關(guān)于等量點(diǎn)電荷的圖像問題討論［J］.物理教師，2011，32（2）：47－48.

5 楊習(xí)志.利用Matlab研究點(diǎn)電荷間的電勢與電場強(qiáng)度的分布問題［J］.物理教師，2015，36（4）：69－72.

6 歐劍雄.高中物理命題中物理情境的科學(xué)性探究［J］.物理教師，2013，34（9）：19－22.

2017－03－12）