一類可用Hamilton-Jacobi方法求解的非保守Hamilton系統(tǒng)?

王勇梅鳳翔肖靜郭永新

1)(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院,北京 100081)

2)(廣東醫(yī)科大學(xué)信息工程學(xué)院,東莞 523808)

3)(遼寧大學(xué)物理學(xué)院,沈陽 110036)

4)(遼東學(xué)院影像物理教研室,丹東 118001)

一類可用Hamilton-Jacobi方法求解的非保守Hamilton系統(tǒng)?

王勇1)2)梅鳳翔1)肖靜2)郭永新3)4)?

1)(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院,北京 100081)

2)(廣東醫(yī)科大學(xué)信息工程學(xué)院,東莞 523808)

3)(遼寧大學(xué)物理學(xué)院,沈陽 110036)

4)(遼東學(xué)院影像物理教研室,丹東 118001)

(2016年8月18日收到;2016年12月3日收到修改稿)

Hamilton-Jacobi方法通常被認(rèn)為是求解完整保守Hamilton系統(tǒng)正則方程的重要手段,但通過現(xiàn)代微分幾何理論發(fā)現(xiàn),這種方法的適用范圍不僅僅局限于完整保守的Hamilton系統(tǒng).根據(jù)Hamilton-Jacobi理論,證明了經(jīng)典Hamilton-Jacobi方法可以被推廣至一類特殊的非保守Hamilton系統(tǒng),即如果非保守Hamilton系統(tǒng)受到非保守力,則該系統(tǒng)的Hamilton正則方程也可以用Hamilton-Jacobi方法求解;對(duì)于這類非保守Hamilton系統(tǒng),只要能夠找到其對(duì)應(yīng)的Hamilton-Jacobi方程的一個(gè)完全解,就可以得到系統(tǒng)正則方程的全部第一積分.經(jīng)典的Hamilton-Jacobi方法則是上述方法的一個(gè)特例.

Hamilton-Jacobi理論,非保守Hamilton系統(tǒng),Hamilton正則方程

1 引 言

Hamilton-Jacobi方程是一類重要的非線性偏微分方程,在經(jīng)典力學(xué)、幾何光學(xué)、流體力學(xué)、粒子物理、廣義相對(duì)論、量子力學(xué)、宇宙學(xué)、最優(yōu)控制、化學(xué)等諸多研究領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用[1?11].在經(jīng)典力學(xué)中,經(jīng)典Hamilton-Jacobi方法是求解完整保守Hamilton系統(tǒng)正則方程的重要手段[9?11],這種方法有其獨(dú)到的優(yōu)點(diǎn),阿諾德曾經(jīng)指出:“用Jacobi解出的許多問題用別的方法是解不出來的.”根據(jù)經(jīng)典Hamilton-Jacobi方法,設(shè)系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)為H(t,qi,pi)(本文中所有i,j=1,2,···,n, 且采用愛因斯坦求和約定),如果可以找到Hamilton-Jacobi方程

的一個(gè)完全解S(t,qi,αi)(其中αi為任意常數(shù)),則完整保守Hamilton系統(tǒng)的正則方程

就能找到全部2n個(gè)第一積分,即

式中βi為n個(gè)新的任意常數(shù).

歷史上,經(jīng)典Hamilton-Jacobi方法直接源自于人們對(duì)一階偏微分方程和常微分方程組之間密切聯(lián)系的認(rèn)識(shí)[11].從偏微分方程的角度看,經(jīng)典Hamilton-Jacobi方法的關(guān)鍵是指出了正則方程((2)式)的積分曲線與Hamilton-Jacobi方程((1)式)的特征曲線之間的關(guān)系,因此根據(jù)偏微分方程理論,只要找到一個(gè)完全解,就可以用代數(shù)的方法解出(1)式的特征曲線,從而得到完整、保守Hamilton系統(tǒng)的2n個(gè)第一積分.

近些年,隨著幾何力學(xué)的發(fā)展[12?15],人們從經(jīng)典Hamilton-Jacobi方法出發(fā),逐步構(gòu)建了一套有著深刻物理和數(shù)學(xué)內(nèi)涵,并和Lagrange力學(xué)、Hamilton力學(xué)相對(duì)獨(dú)立的Hamilton-Jacobi理論體系[14],用現(xiàn)代微分幾何理論從不同角度對(duì)Hamilton-Jacobi理論進(jìn)行了深入研究[14?21],深刻揭示了Hamilton-Jacobi理論的幾何內(nèi)涵.其中,用微分幾何語言可以將經(jīng)典Hamilton-Jacobi方法表述為如下命題[16].

命題1設(shè)S=S(t,qi)是一個(gè)定義在U×I上的作用量場(U是位形空間M的一個(gè)開集,I= [a,b]?R). 如果S是(1)式的一個(gè)解,則存在一個(gè)可微映射φ2:N→T?M×R,它定義了Hamilton形式ω=dpi∧dqi?dH∧dt的一個(gè)積分子流形.反之,若且H1(U×I)=0(其中H1表示U×I的第一上同調(diào)群),則存在一個(gè)作用量場S,它滿足Hamilton-Jacobi方程,使得成立(θ=pidqi?Hdt).

在最近的研究中發(fā)現(xiàn),命題1不僅適用于形如(1)式的經(jīng)典Hamilton-Jacobi方程,而且可以完全類似地推廣到形如

的更一般的偏微分方程的討論中,這說明有可能可以把求解完整保守Hamilton系統(tǒng)的經(jīng)典Hamilton-Jacobi方法推廣,應(yīng)用于求解更一般的Hamilton系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)問題中.本文將證明可以用Hamilton-Jacobi方法求解受到一個(gè)非保守力Fi=μ(t)pi(其中μ(t)是一個(gè)時(shí)間因子)的非保守Hamilton系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)問題,并給出兩個(gè)算例.

2 受到非保守力Fi=μ(t)pi的非保守Hamilton系統(tǒng)的Hamilton-Jacobi方法

若一個(gè)Hamilton系統(tǒng)受到一個(gè)非保守力Fi=μ(t)pi,則系統(tǒng)的Lagrange方程為

對(duì)應(yīng)的Hamilton方程為

此類問題的求解也可以化為求解一個(gè)一階偏微分方程完全解的問題,即有如下命題.

命題2設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)為H(t,qi,pi),構(gòu)造如下一階偏微分方程:

式中bi為n個(gè)任意常數(shù),即可得到(6)式所對(duì)應(yīng)的包含2n個(gè)任意常數(shù)ai和bi的2n個(gè)第一積分.

要證明上述命題,首先可以直接驗(yàn)證(6)式確實(shí)是(7)式的特征線方程的一部分,因此只需驗(yàn)證由(7)式和(8)式可以推出(6)式即可.

由(8)式中第一個(gè)等式可得

將(9)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

將(7)式分別關(guān)于ai和an+1求偏導(dǎo)數(shù)并考慮(8)式中第二個(gè)等式后可得

聯(lián)立(8)式、(10)式和(11)式,消去bi和μ(t)后得

只要行列式

即可由(12)式得到(6)式的第一個(gè)等式.

再由(8)式中第二個(gè)等式對(duì)時(shí)間求偏導(dǎo)可得

將(7)式對(duì)qi求偏導(dǎo)數(shù)并考慮(8)式中第二個(gè)等式后可得

聯(lián)立(14)式和(15)式后即得(6)式的第二個(gè)等式.證畢.

到此已經(jīng)證明了(8)式確實(shí)是(6)式所對(duì)應(yīng)的2n個(gè)第一積分.需要說明的是,從物理意義的角度考慮,上述2n個(gè)第一積分中只能包含2n個(gè)任意常數(shù),即n個(gè)bi和(ai,an+1)中的n個(gè)任意常數(shù),說明(3)式所求出的完全解S(t,qi,ai,an+1)至少關(guān)于其中一個(gè)常數(shù)是線性的,在本文中將這個(gè)常數(shù)記作an+1.

可以看出,經(jīng)典Hamilton-Jacobi方法實(shí)際上是命題2在μ(t)=0時(shí)的特例,此時(shí)Hamilton-Jacobi方程的解具有的形式,(8)式就退化為經(jīng)典Hamilton-Jacobi方法中的(3)式.

此外,還可以證明如下命題.

命題3可以用形如(4)式的一階非線性Hamilton-Jacobi方程求解非保守Hamilton系統(tǒng)只有命題2中的情況.

要證明命題3,假設(shè)非保守Hamilton系統(tǒng)所受的非保守力為Fi,記T?M和T?×R為系統(tǒng)的余切叢和擴(kuò)展后的余切叢,對(duì)應(yīng)的局部坐標(biāo)系分別為和則系統(tǒng)在其余切叢T?M上的矢量場為

將形如(4)式的一階非線性Hamilton-Jacobi方程看作流形T?×R中的約束子流形

則該約束子流形在流形T??M×R中定義了一個(gè)由

所張成的可積一維余分布??,與(4)式的特征線所對(duì)應(yīng)的特征矢量場

屬于與一維余分布??所對(duì)偶的可積分布?.由一階偏微分方程的幾何理論可知,若切叢T?M上的矢量場(16)式可用形如(4)式的一階非線性Hamilton-Jacobi方程求解,則必須存在一個(gè)從T?M到T?×R上的映射φ,使得矢量場(16)式的推前

(其中f4和f5為與映射φ有關(guān)的兩個(gè)函數(shù))等于Hamilton-Jacobi方程所對(duì)應(yīng)的特征矢量場(19)式,即必須滿足

3 算 例

算例1沿直線做一維運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為1的粒子,所受外力為F=μp,其中μ為不為零的常數(shù),求粒子的運(yùn)動(dòng)方程.

對(duì)應(yīng)的偏微分方程為

設(shè)S(t,q)=W(t)+Q(q),則可解得(24)式的一個(gè)完全解為

式中a1和a2是兩個(gè)任意常數(shù).令

可得兩個(gè)第一積分

式中b是任意常數(shù).

本例也可以對(duì)(23)式直接求解,求得的結(jié)果為

考慮到式中c1和c2為任意常數(shù),(28)式和(27)式等價(jià),說明本例用Hamilton-Jacobi方法求解的結(jié)果是正確的.

算例2系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)為sin2q·p2,若初始時(shí)刻q(0)∈(0,π),求:1)系統(tǒng)不受外力時(shí)的自由運(yùn)動(dòng);2)系統(tǒng)所受外力為F=μ(t)p時(shí)的運(yùn)動(dòng).

1)系統(tǒng)不受外力時(shí)

對(duì)應(yīng)的偏微分方程為

設(shè)S(t,q)=W(t)+Q(q),則可解得(30)式的一個(gè)完全解為

式中a1和a2是兩個(gè)任意常數(shù).令

式中b是任意常數(shù),可得兩個(gè)第一積分:

2)當(dāng)系統(tǒng)受到外力F=μ(t)p時(shí)

系統(tǒng)的Hamilton方程為

對(duì)應(yīng)的偏微分方程為

設(shè)S(t,q)=W(t)+Q(q),則可解得(35)式的一個(gè)完全解為

式中a1和a2是兩個(gè)任意常數(shù).令

式中b是任意常數(shù),可得兩個(gè)第一積分

4 結(jié) 論

本文給出了求解受到一個(gè)非保守力Fi=μ(t)pi的非保守Hamilton系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的Hamilton-Jacobi方法,這種方法是Hamilton-Jacobi理論在非保守Hamilton系統(tǒng)中的一個(gè)應(yīng)用.從幾何角度看,Hamilton-Jacobi方法本質(zhì)上是通過Hamilton-Jacobi方程把系統(tǒng)Hamilton方程所描述的余切叢T?M上的矢量場提升到流形T?M×R中的一個(gè)約束子流形上,只要設(shè)法求出提升后的矢量場的積分曲線,則該積分曲線在余切叢T?M上的投影就是系統(tǒng)Hamilton方程的解.證明上述方法可以應(yīng)用于求解受到一個(gè)非保守力Fi=μ(t)pi的Hamilton系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)問題.經(jīng)典的Hamilton-Jacobi方法是這一方法的一個(gè)特例.

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PACS:45.20.Jj,02.40.Yy DOI:10.7498/aps.66.054501

A kind of non-conservative Hamilton system solved by the Hamilton-Jacobi method?

Wang Yong1)2)Mei Feng-Xiang1)Xiao Jing2)Guo Yong-Xin3)4)?

1)(School of Aerospace Engineering,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China)
2)(School of Information Engineering,Guangdong Medical University,Dongguan 523808,China)
3)(College of Physics,Liaoning University,Shenyang 110036,China)
4)(Department of Medical Imaging Physics,Eastern Liaoning University,Dandong 118001,China)

18 August 2016;revised manuscript

3 December 2016)

The Hamilton-Jacobi equation is an important nonlinear partial differential equation.In particular,the classical Hamilton-Jacobi method is generally considered to be an important means to solve the holonomic conservative dynamics problems in classical dynamics.According to the classical Hamilton-Jacobi theory,the classical Hamilton-Jacobi equation corresponds to the canonical Hamilton equations of the holonomic conservative dynamics system.If the complete solution of the classical Hamilton-Jacobi equation can be found,the solution of the canonical Hamilton equations can be found by the algebraic method.From the point of geometry view,the essential of the Hamilton-Jacobi method is that the Hamilton-Jacobi equation promotes the vector field on the cotangent bundleT?Mto a constraint submanifold of the manifoldT?M×R,and if the integral curve of the promoted vector field can be found,the projection of the integral curve in the cotangent bundleT?Mis the solution of the Hamilton equations.According to the geometric theory of thefirst order partial differential equations,the Hamilton-Jacobi method may be regarded as the study of the characteristic curves which generate the integral manifolds of the Hamilton 2-formω.This means that there is a duality relationship between the Hamilton-Jacobi equation and the canonical Hamilton equations.So if an action field,defined onU×I(Uis an open set of the configuration manifoldM,I?R),is a solution of the Hamilton-Jacobi equation,then there will exist a differentiable mapφfromM×RtoT?M×Rwhich defines an integral submanifold for the Hamilton 2-formω.Conversely,ifφ?ω=0 andH1(U×I)=0(H1(U×I)is the first de Rham group ofU×I),there will exist an action fieldSsatisfying the Hamilton-Jacobi equation.Obviously,the above mentioned geometric theory can not only be applicable to the classical Hamilton-Jacobi equation,but also to the general Hamilton-Jacobi equation,in which some first order partial differential equations correspond to the non-conservative Hamiltonian systems.The geometry theory of the Hamilton-Jacobi method is applied to some special non-conservative Hamiltonian systems,and a new Hamilton-Jacobi method is established.The Hamilton canonical equations of the non-conservative Hamiltonian systems which are applied with non-conservative forceFi=μ(t)pican be solved with the new method.If a complete solution of the corresponding Hamilton-Jacobi equation can be found,all the first integrals of the non-conservative Hamiltonian system will be found.The classical Hamilton-Jacobi method is a special case of the new Hamilton-Jacobi method.Some examples are constructed to illustrate the proposed method.

Hamilton-Jacobi theory,non-conservative Hamilton system,Hamilton canonical equation

PACS:45.20.Jj,02.40.Yy

10.7498/aps.66.054501

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11572145,11272050,11572034)和廣東省自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):2015A030310127)資助的課題.

?通信作者.E-mail:yxguo@lnu.edu.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11572145,11272050,11572034)and the Natural Science Foundation of Guangdong Province,China(Grant No.2015A030310127).

?Corresponding author.E-mail:yxguo@lnu.edu.cn