B(H)上的可乘ξ－Lie同構(gòu)

劉 珍，楊 翠

(1.喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆喀什844000；2.河北工程技術(shù)學(xué)院人文學(xué)院，石家莊050091)

B(H)上的可乘ξ－Lie同構(gòu)

劉 珍1，楊 翠2

(1.喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆喀什844000；2.河北工程技術(shù)學(xué)院人文學(xué)院，石家莊050091)

設(shè)H，K為實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域F上的無限維Hilbert空間，B(H)，B(K)分別表示H和K上的全體有界線性算子構(gòu)成的代數(shù)。若雙射φ:B(H)→B(K)滿足對(duì)任意的A，B＿φ([A，B]ξ)＝[φ(A)，φ(B)]ξ成立，則稱φ為B(H)上的一個(gè)可乘ξ－Lie同構(gòu)。顯然，當(dāng)ξ＝0，－1，1時(shí)的可乘ξ－Lie同構(gòu)分別對(duì)應(yīng)可乘同構(gòu)，Jordan可乘同構(gòu)以及Lie可乘同構(gòu)。本文利用Peirce分解的方法證明了B(H)上的每個(gè)可乘ξ－Lie(ξ∈F且ξ≠0，±1)同構(gòu)是可加的，從而存在非零數(shù)c∈F以及可逆算子T∈B(H，K)，使得對(duì)任意的A∈B(H)，有φ(A)＝cTAT－1。

Hilbert空間；可乘映射；ξ－Lie同構(gòu)

0 引言

設(shè)A和B是實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域F上的兩個(gè)結(jié)合代數(shù)，A，B是代數(shù)A中的兩個(gè)元，若存在ξ∈F，使得AB＝ξBA，則稱A和B關(guān)于因子ξ交換。近年來，算子關(guān)于因子的交換性已成為量子群領(lǐng)域和算子代數(shù)中的重要課題之一[1－2]?；诖?，文獻(xiàn)[3]引入了一個(gè)新概念為:設(shè)ξ∈F，對(duì)于A中的兩個(gè)元A，B，定義A，B[]ξ＝AB－ξBA，稱作A，B的ξ－Lie積。顯然，ξ－Lie零積，即為我們熟知的關(guān)于因子ξ交換。設(shè)φ:A→B是一個(gè)雙射，若φ滿足φ([A，B]ξ)＝[φ(A)，φ(B)]ξ，則稱φ為A上的可乘ξ－Lie同構(gòu)。事實(shí)上，當(dāng)ξ＝0，－1，1時(shí)的可乘ξ－Lie同構(gòu)分別對(duì)應(yīng)可乘同構(gòu)，Jordan可乘同構(gòu)以及Lie可乘同構(gòu)。而人們對(duì)這三方面一直備加關(guān)注[4－8]。本文將對(duì)B(H)上的可乘ξ－Lie同構(gòu)(ξ≠0，±1)進(jìn)行刻畫。

文中用H，K表示實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域F上的無限維Hilbert空間，B(H)和B(K)分別表示H和K上的全體有界線性算子構(gòu)成的代數(shù)，Atr表示A(A∈B(H))的關(guān)于H的任意但固定標(biāo)準(zhǔn)基的轉(zhuǎn)置。

1 定理的證明

本文主要得到以下結(jié)果。

定理2.1設(shè)H和K是實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域F上的無限維Hilbert空間，ξ∈F且ξ≠0，±1。若φ:B(H)→B(K)為可乘ξ－Lie同構(gòu)，則下列之一成立:

(1)若ξ∈R，則存在非零數(shù)c∈F以及有界可逆線性或共軛線性算子T:H→K，使得對(duì)任意的A∈B(H)，有φ(A)＝cTAT－1；

(2)若ξ∈C＼R且ξ≠1，則存在非零數(shù)c∈F以及可逆算子T∈B(H，K)，使得對(duì)任意的A∈B(H)，有φ(A)＝cTAT－1；

(3)若ξ＝1，則存在非零數(shù)c∈F以及可逆算子T∈B(H，K)，使得對(duì)任意的A∈B(H)，有φ(A)＝cTAT－1；或者存在有界可逆共軛線性算子T:H→K，使得對(duì)任意的A∈B(H)，有φ(A)＝cTAT－1。

取P1∈B(H)為一個(gè)非平凡冪等算子，記P2＝I－P1且Bij＝PiB(H)Pj(1￡i，j￡2)。則B(H)＝B11?B12?B21?B22.以下我們通過幾個(gè)引理來完成定理2.1的證明。

引理2.1(標(biāo)準(zhǔn)引理)設(shè)A，B，S∈B(H)滿足φ(S)＝φ(A)＋φ(B)，則對(duì)任意T∈B(H)，有φ([S，T]ξ)＝φ([A，T]ξ)＋φ([B，T]ξ)。

證明:對(duì)φ(S)＝φ(A)＋φ(B)等式兩邊分別左乘和右乘φ(T)，得:

φ(T)φ(S)＝φ(T)φ(A)＋φ(T)φ(B)及φ(S)φ(T)＝φ(A)φ(T)＋φ(B)φ(T)。

所以，φ(S)φ(T)－ξφ(T)φ(S)＝(φ(A)φ(T)－ξφ(T)φ(A))＋(φ(B)φ(T)－ξφ(T)φ(B))。從而由φ的定義知φ([S，T]ξ)＝φ([A，T]ξ)＋φ([B，T]ξ)。證畢。

引理2.2φ(0)＝0。

證明:由φ是滿射，則存在A∈B(H)使得φ(A)＝0。于是:

φ(0)＝φ([0，A]ξ)＝[φ(0)，φ(A)]ξ＝[φ(0)，0]ξ＝0。證畢。

引理2.3設(shè)S＝S11＋S12＋S21＋S22∈B(H)，則以下結(jié)論成立:

(1)設(shè)Tij∈Bij(1￡i，j￡2)，則STij－ξTijS＝S1iTij＋S2iTij－ξTijSj1－ξTijSj2。

(2)若對(duì)任意Tij∈Bij，有TijSjk＝0(1￡i，j，k￡2)，則Sjk＝0.同理，若對(duì)任意Tij∈Bij，有SkiTij＝0(1￡i，j，k￡2)，則Ski＝0。

(3)若對(duì)任意Tij∈Bij，有STij－ξTijS∈Bij(1￡i≠j￡2)，則Sji＝0。

(4)若對(duì)任意Tjj∈Bjj，有STjj－ξTjjS∈Bij(1￡i≠j￡2)，則Sji＝Sjj＝0.同理，若對(duì)任意Tjj∈Bjj，有STjjξTjjS∈Bji(1￡i≠j￡2)，則Sij＝Sjj＝0。

證明:(1)簡單計(jì)算可得。

(2)由B(H)是素環(huán)，即得。

(3)由于STij－ξTijS∈Bij，則(STij－ξTijS)Pi＝0。于是由(1)及ξ≠0，得TijSji＝0對(duì)任意Tij∈Bij成立。從而由(2)知Sji＝0。

(4)由于STjj－ξTjjS∈Bij，則(STjj－ξTjj)Pi＝0.于是由(1)(2)及ξ≠0可得Sji＝0。另外，我們還可知道Pj(STjj－ξTjj)Pj＝0.由(1)化簡得SjjTjj－ξTjjSjj＝0對(duì)任意Tjj∈Bjj成立。特別地，取Tjj＝Pj，則有Sjj＝ξSjj。而ξ≠1，故Sjj＝0。類似可證另一種情形。

引理2.4φ(Aii＋Aij)＝φ(Aii)＋φ(Aij)，φ(Aii＋Aji)＝φ(Aii)＋φ(Aji)(1￡i≠j￡2)。

證明:設(shè)Aii∈Bii，Aij∈Bij(1￡i≠j￡2)。由φ是滿射，則存在S＝S11＋S12＋S21＋S22∈B(H)，使得

對(duì)于(2.1)式關(guān)于Tij∈Bij運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)引理，得:

φ([S，Tij]ξ)＝φ([Aii，Tij]ξ)＋φ([Aij，Tij]ξ)＝φ(AiiTij)。

故由φ的單射性知STij－ξTijS＝AiiTij∈Bij.從而由引理2.3(3)知Sji＝0。因此，有:

對(duì)于(2.1)式關(guān)于Tjj∈Bjj運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)引理，得:

φ([S，Tjj]ξ)＝φ([Aii，Tjj]ξ)＋φ([Aij，Tjj]ξ)＝φ(AijTjj)。

所以，STjj－ξTjjS＝AijTjj∈Bij對(duì)任意Tjj∈Bjj成立.從而由引理2.3(4)知Sjj＝0.故SijTjj＝AijTjj且(2.2)式變?yōu)镾iiTij＝AiiTij。于是由引理2.3(2)知Sij＝Aij，Sii＝Aii。故S＝Aii＋Aij.類似可證φ(Aii＋Aji)＝φ(Aii)＋φ(Aji)(1￡i≠j￡2)。證畢。

引理2.5φ在B12和B21上可加。

證明:設(shè)A12，B12∈B12.由A12＋B12＝[P1＋B12，A12＋P2]ξ，則由引理2.4，有:

φ(A12＋B12)

＝[φ(P1)＋φ(B12)，φ(A12)＋φ(P2)]ξ

＝[φ(P1)，φ(A12)]ξ＋[φ(P1)＋φ(P2)]ξ＋[φ(B12，φ(A12)]ξ＋[φ(B12＋φ(P2)]ξ

＝φ([P1)＋φ([P1)＋φ([B12)＋φ([B12)

＝φ(A12)＋φ(B12)

類似地，設(shè)A21，B21∈B21.由A21＋B21＝[A21＋P2，P1＋B21，]ξ，可得:

φ(A21＋B21)＝φ(A21)＋φ(B21)。

引理2.6φ在Bii(i＝1，2)上可加。

證明:設(shè)Aii，Bii∈Bii(i＝1，2)，S＝S11＋S12＋S21＋S22∈B(H)滿足:

對(duì)(2.3)式關(guān)于Tjj∈Bjj(j≠i)運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)引理，得STjj－ξTjjS＝0.而0∈Bij∩Bji，于是由引理2.3(4)知Sij＝Sji＝Sjj＝0.對(duì)(2.3)式關(guān)于Tij∈Bij(1￡i≠j￡2)運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)引理，得:

φ([S，Tij]ξ)＝φ([Aii，Tij]ξ)＋φ([Bii，Tij]ξ)＝φ(AiiTij)＋φ(BiiTij)

由引理2.5及Sij＝Sji＝Sjj＝0，得SiiTij＝(Aii＋Bii)Tij。從而由引理2.3(2)知:

Sii＝Aii＋Bii.故Sii＝Aii＋Bii。證畢。

引理2.7φ(A11＋A22)＝φ(A11)＋φ(A22)。

證明:設(shè)A11∈B11，A22∈B22，S＝S11＋S12＋S21＋S22∈B(H)滿足:

對(duì)(2.4)式關(guān)于P1運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)引理，得:

φ([S，P1]ξ)＝φ([A11，P1]ξ)＋φ([A22，P1]ξ)＝φ((1－ξ)A11)。

所以，SP1－ξP1S＝(1－ξ)A11，即(1－ξ)S11＋S21－ξS12＝(1－ξ)A11。從而有ξS12＝0，S21＝0，(1－ξ)S11＝(1－ξ)A11。而ξ≠0，1，故S11＝A11，S12＝0。同理，對(duì)(2.4)式關(guān)于P2運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)引理可得S22＝A22。故S＝A11＋A22。

引理2.8φ(A12＋A21)＝φ(A12)＋φ(A21)。

證明:設(shè)A12∈B12，A21∈B21，S＝S11＋S12＋S21＋S22∈B(H)滿足:

對(duì)(2.5)式關(guān)于T12∈B12運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)引理，得:

φ([S，T12]ξ)＝φ([A12，T12]ξ)＋φ([A21，T12]ξ)＝φ(A21T12－ξT12A21)。

所以，ST12－ξT12S＝S11T12＋S21T12－ξT12S21－ξT12S22＝A21T12－ξT12A21。從而ξT12S21＝ξT12A21。再由引理2.3(2)及ξ≠0，得S21＝A21。類似地，對(duì)(2.5)式關(guān)于T21∈B21運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)引理可得S12＝A12。

對(duì)(2.5)式關(guān)于P1運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)引理，得:

對(duì)(2.6)式關(guān)于－ξ－1P2運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)引理，有:

φ([SP1－ξP1S，－ξ－1P2]ξ)＝φ([－ξA12，－ξ－1P2]ξ)＋φ([A21，－ξ－1P2]ξ)。

化簡得:

φ(S12＋S21)＝φ(A12)＋φ(A21)＝φ(S)。

由φ的單射性.則S＝S12＋S21＝A12＋A21。

引理2.9φ(A11＋A12＋A21)＝φ(A11)＋φ(A12)＋φ(A21)。

證明:設(shè)A11∈B11，A12∈B12，A21∈B21，S＝S11＋S12＋S21＋S22∈B(H)滿足:

φ(S)＝φ(A11)＋φ(A12)＋φ(A21)。

由引理2.4，則:

對(duì)(2.7)式關(guān)于P2運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)引理及引理2.8，得:

φ([S，P2]ξ)＝φ([A11＋A12，P2]ξ)＋φ([A21，P2]ξ)＝φ(A12－ξA21)。

所以，S12＋(1－ξ)S22－ξS21＝A12－ξA21。從而S12＝A12，ξS21＝ξA21，(1－ξ)S22＝0。則S21＝A21，S22＝0。

對(duì)(2.7)式關(guān)于T21∈B21運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)引理，得:

φ([S，T21]ξ)＝φ([A11＋A12，T21]ξ)＋φ([A21，T21]ξ)。

將S21＝A21，S22＝0代入(2.8)式，并結(jié)合ξ≠0及引理2.3(2)，則S11＝A11.故S＝A11＋A12＋A21。

引理2.10φ(A11＋A12＋A21＋A22)＝φ(A11)＋φ(A12)＋φ(A21)＋φ(A22)。

證明設(shè)Aij∈Bij(i，j＝1，2)，S＝S11＋S12＋S21＋S22∈B(H)滿足:

對(duì)(2.9)式關(guān)于P1運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)引理及引理2.8和引理2.9，得:

φ([S，P1]ξ)＝φ([A11＋A22，P1]ξ)＋φ([A12＋A21，P1]ξ)＝φ([A11＋A12＋A21，P1]ξ)。

所以，(1－ξ)S11＋S21－ξS12＝(1－ξ)A11＋A21－ξA12。從而(1－ξ)S11＝(1－ξ)A11，S21＝A21，ξS12＝ξA12。結(jié)合ξ≠0，1，故S11＝A11，S12＝A12。

對(duì)(2.9)式關(guān)于T12∈B12運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)引理，得:

φ([S，T12]ξ)＝φ([A11＋A22，T12]ξ)＋φ([A12＋A21，T12]ξ)。

對(duì)(2.10)式關(guān)于P1運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)引理，得:

φ([ST12－ξT12S，P1]ξ)＝φ([A11T12－ξT12A22，P1]ξ)＋φ([A21T12－ξT12A21，P1]ξ)。

化簡，并結(jié)合引理2.4，得:

φ(－ξT12S21－ξS11T12＋ξ2T12S21＋ξ2T12S22)＝φ(－ξA11T12＋ξ2T12A22－ξT12A21＋ξ2T12A21)。

所以，－ξT12S21－ξS11T12＋ξ2T12S21＋ξ2T12S22＝－ξA11T12＋ξ2T12A22－ξT12A21＋ξ2T12A21。從而ξ2T12S22＝ξ2T12A22。于是由ξ≠0及引理2.3(2)知S22＝A22。所以，S＝A11＋A12＋A21＋A22。

定理2.1的證明。設(shè)A＝A11＋A12＋A21＋A22，B＝B11＋B12＋B21＋B22∈B(H)，其中Aij，Bij∈Bij(i，j＝1，2)。由引理2.5，引理2.6及引理2.10，有:

φ(A＋B)＝φ(A11＋A12＋A21＋A22＋B11＋B12＋B21＋B22)

＝φ(A11＋B11)＋φ(A12＋B12)＋φ(A21＋B21)＋φ(A22＋B22)

＝φ(A11)＋φ(B11)＋φ(A12)＋φ(B12)＋φ(A21)＋φ(B21)＋φ(A22)＋φ(B22)

＝φ(A11＋A12＋A21＋A22)＋φ(B11＋B12＋B21＋B22)

＝φ(A)＋φ(B)

這表明φ是可加映射.故對(duì)任意冪等算子P∈B(H)，由[P，I－P]ξ＝0及φ(0)＝0，則[φ(P)，φ(I)－φ(P)]ξ＝0?；喌?

同理，由[φ(I)－φ(P)，φ(P)]ξ＝0，可得:

(2.11)式減(2.12)式，得:(1＋ξ)φ(P)φ(I)＝(1＋ξ)φ(I)φ(P)。

而ξ，得:φ(P)φ(I)＝φ(I)φ(P)。

由文獻(xiàn)[8]知無限維Hilbert空間上的每個(gè)有界性算子是有限個(gè)冪等算子的和，于是由φ是雙射且φ(0)＝0知，存在非零數(shù)c∈F使得φ(I)＝cI。此時(shí)，對(duì)任意的A∈B(H)，定義Ψ(A)＝c－1φ(A)。顯然，Ψ為可加雙射且Ψ(0)＝0，即Ψ為保關(guān)于因子ξ的交換性的可加雙射。從而由文[2，定理2.2]知定理2.1中的(1) (2)(3)成立。

φ(S)＝φ(A11)＋φ(A12)＋φ(A21)＋φ(A22)。

由引理2.7及引理2.8知:

[1] Kassel C.Quantum Groups[M].New York:Springer－Verlag，1995.

[2] Cui JL，Hou JC，PARK Choonkil.Additivemaps preserving commutativity up to a factor[J].Chin.Ann.Math.，2008，29A(5): 583－590.

[3] Qi X F，Hou JC.Additive Lie(ξ－Lie)derivations and generalized Lie(ξ－Lie)derivations on nest algebras[J].Lin.Alg.Ap-pl.，2009(431):843－845.

[4] Zhang JH，Zhang F J.Nonlinearmaps preserving Lie products on factor von Neumann algebras[J].Lin.Alg.Appl.，2008(429): 18－30.

[5] 安潤玲.算子代數(shù)上的約當(dāng)同構(gòu)和初等映射[D].太原:山西大學(xué)，2007.

[6] JiP S.Additivity of Jordanmaps on Jordan algebras[J].Lin.Alg.Appl.，2009(431):197－188.

[7] Lu F Y.Multiplicativemappings of operator algebras[J].Lin.Alg.Appl.，2002(347):283－291.

[8] Bunch H L.Localmultiplications on algebras spanned by idempotents[J].Lin.Mul.Alg.，1994(37):259－263.

責(zé)任編輯:程艷艷

M ultiplicativeξ－Lie Isomorphism on B(H)

LIU Zhen1，YANG Cui2
(1.School of Mathematics and Statistics，Kashgar University，Kashgar 844000，China；2.School of Humanities，Hebei Polytechnic Institute，Shijiazhuang 050091，China)

Let H and K be the infinite－dimensional Hilbert space over real number field or complex number field F，and B(H)and B(K)be the algebra of all bounded linear operators on H and K.If a bijectivemappingφ:B(H)→B(K)meets arbitrary A，B＿＿＿φ([A，B]ξ)＝[φ(A)，φ(B)]ξ，φis called multiplicativeξ－Lie isomorphism over B(H).Obviously，whenξ＝0，－1，1，themultiplicativeξ－Lie isomorphism respectivelymatches tomultiplicative isomorphism，Jordan multiplicative isomorphism and Lie multiplicative isomorphism.With the help of Peirce de-composition，we have proved thateverymultiplicativeξ－Lie(ξ∈Fandξ≠0，±1)isomorphism on B(H)is addi-tive，and there exist a nonzero c∈Fand an invertible operator T∈B(H，K)，making that there isφ(A)＝cTAT－1for arbitrary A∈B(H).

Hilbert space；multiplicativemapping；ξ－Lie isomorphism

O177.1

A

1009－3907(2017)06－0025－05

2017－04－20

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11471199)；新疆維吾爾自治區(qū)自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2016D01A014)

劉珍(1979－)，女，山東臨沂人，講師，碩士，主要從事算子代數(shù)研究。