基于故障診斷觀測(cè)器的非線性時(shí)滯時(shí)變奇異系統(tǒng)的容錯(cuò)控制

范喬喬，石學(xué)濤，蘇連青

(河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018 )

基于故障診斷觀測(cè)器的非線性時(shí)滯時(shí)變奇異系統(tǒng)的容錯(cuò)控制

范喬喬，石學(xué)濤，蘇連青

(河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018 )

為了解決控制理論中的系統(tǒng)安全性與可靠性問題，考慮到時(shí)滯時(shí)變普遍存在于此類系統(tǒng)中，沿著故障診斷和容錯(cuò)控制解決問題的思路，針對(duì)基于故障診斷觀測(cè)器的非線性時(shí)滯時(shí)變奇異系統(tǒng)的容錯(cuò)控制問題進(jìn)行研究，構(gòu)造了一種新型的故障診斷觀測(cè)器，結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性理論研究了故障診斷觀測(cè)器的狀態(tài)估計(jì)誤差，構(gòu)建了狀態(tài)反饋的容錯(cuò)控制器，利用Schur補(bǔ)引理以及一些基本的控制理論得到了故障診斷觀測(cè)器和容錯(cuò)控制器存在的線性矩陣不等式(LMI)的充分條件，確定了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定并且符合所給定的性能指標(biāo)。通過Matlab仿真實(shí)例驗(yàn)證了所提方法的簡(jiǎn)便性以及實(shí)用性。此方法很好地克服了系統(tǒng)中存在的非線性、擾動(dòng)以及時(shí)滯時(shí)變問題。

穩(wěn)定性理論；故障診斷觀測(cè)器；非線性；時(shí)滯時(shí)變；奇異系統(tǒng)；容錯(cuò)控制；線性矩陣不等式

科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展要求工業(yè)控制系統(tǒng)中具有越來越高的可靠性與安全性，因此系統(tǒng)的故障診斷與容錯(cuò)控制已成為被關(guān)注的一個(gè)熱點(diǎn)[1-9]，近年來, 奇異系統(tǒng)在電力、經(jīng)濟(jì)等系統(tǒng)中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用[10-12]。如：以線性矩陣不等式(LMI)為基礎(chǔ)的奇異系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性控制[11]，時(shí)滯離散奇異系統(tǒng)帶有不確定項(xiàng)的魯棒控制[12]等，其中，得到學(xué)者最多關(guān)注的是非線性奇異系統(tǒng)的研究。

通過構(gòu)造廣義Sylvester方程的參數(shù)，文獻(xiàn)[13]中關(guān)于非線性奇異系統(tǒng)得到構(gòu)建觀測(cè)器的充分條件。但所設(shè)計(jì)觀測(cè)器的適用范圍在文獻(xiàn)[13]中僅是定值故障，故文獻(xiàn)[14]給出了一個(gè)非線性奇異系統(tǒng)，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了一種新的故障診斷觀測(cè)器，其克服了系統(tǒng)中的定值故障問題以及存在的非線性擾動(dòng)干擾項(xiàng)問題；針對(duì)廣義時(shí)變系統(tǒng)，以LMI為基礎(chǔ)，結(jié)合Lyapunov理論、Schur補(bǔ)引理和Riccati方程等，文獻(xiàn)[15]關(guān)于廣義時(shí)變系統(tǒng)進(jìn)行了探索和討論；文獻(xiàn)[16]關(guān)于魯棒H∞保性能控制問題針對(duì)非線性不確定時(shí)滯切換奇異系統(tǒng)進(jìn)行了深入研究。已經(jīng)獲得有關(guān)大量的保性能控制問題的科研成果[17-20]。

雖然目前各行各業(yè)關(guān)于非線性奇異系統(tǒng)容錯(cuò)控制問題的研究成果已成功地應(yīng)用于各行各業(yè)，但值得關(guān)注的這些系統(tǒng)要么缺乏故障觀測(cè)器的非線性描述，要么時(shí)滯時(shí)變項(xiàng)在觀測(cè)器中體現(xiàn)不明顯，這些均具有較強(qiáng)的局限性，因而，如何構(gòu)建具有擾動(dòng)干擾項(xiàng)以及時(shí)滯時(shí)變項(xiàng)的非線性時(shí)滯時(shí)變奇異系統(tǒng)的容錯(cuò)控制，是一個(gè)有理論和實(shí)用價(jià)值的一個(gè)新的研究方向。

本文以故障診斷觀測(cè)器為基礎(chǔ)，討論了關(guān)于非線性時(shí)滯時(shí)變奇異系統(tǒng)的容錯(cuò)控制問題。首先，描述非線性時(shí)滯時(shí)變奇異系統(tǒng)，設(shè)計(jì)新式的故障診斷觀測(cè)器，繼而研究所構(gòu)造的故障診斷觀測(cè)器的狀態(tài)估計(jì)誤差，運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論經(jīng)過大量的運(yùn)算得出滿足LMI的充分條件。其次狀態(tài)反饋的容錯(cuò)控制器被構(gòu)造，應(yīng)用Lyapunov穩(wěn)定性理論經(jīng)過大量計(jì)算得出LMI的充分條件，然后研究了能夠?qū)崿F(xiàn)所得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定和滿足給定的H∞性能指標(biāo)，最后運(yùn)用Matlab仿真檢驗(yàn)研究方式的有效性。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)A為n階埃爾米特矩陣，如果對(duì)任意n維復(fù)向量x都有xTAx≥0，則稱A為半正定矩陣，也就是A≥0；如果xTAx>0，則稱A為正定矩陣，也就是A>0。

引理 2[22]對(duì)任意適當(dāng)維數(shù)和確定的向量X，Y和任意標(biāo)量ε>0，有：

XTY+YTX≤εXTX+ε-1YTY。

針對(duì)本文所討論的問題進(jìn)行如下描述：

下面考慮具有執(zhí)行器故障的時(shí)滯時(shí)變非線性奇異系統(tǒng)：

(1)

2 故障觀測(cè)器及容錯(cuò)控制器

2.1 故障檢測(cè)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

為了檢查和推測(cè)故障，構(gòu)造下面故障檢測(cè)觀測(cè)器：

(2)

TE+NC=In,

這里，T和N可由下式確定,

其中，Z∈Rn×(n+m)是任意矩陣，代表設(shè)計(jì)自由度。

(3)

注1:對(duì)于系統(tǒng)(1)，如果系統(tǒng)沒有發(fā)生故障，即f(t)=0。結(jié)合系統(tǒng)(3)可知‖ey(t)‖=‖Cex(t)‖，則表示在t時(shí)刻系統(tǒng)沒有故障發(fā)生，即f(t)=0。

相應(yīng)的結(jié)果如下。

定理1 根據(jù)系統(tǒng)(1)，若有矩陣P∈Rn×n和Q∈Rn×n是對(duì)稱正定矩陣和標(biāo)量ε>0，符合如下不等式(4)，那么存在一個(gè)形如(2)的故障診斷觀測(cè)器適合系統(tǒng)(1)，并且使故障估計(jì)誤差系統(tǒng)(3)魯棒穩(wěn)定，而且故障診斷觀測(cè)器的參數(shù)矩陣L=P-1Y，其中:

(4)

Θ2=(TA)TP+PTA-CTYT-YC+Q+εI。

根據(jù)引理2可以知道:

即

φ(t)T∏φ(t)。

其中:

Θ1=(TA-LC)TP+P(TA-LC)+ε-1PTTTP+Q+εI。

注2:通過適當(dāng)?shù)腡和N的選取，求解得出故障診斷觀測(cè)器的參數(shù)矩陣L。求LMI(4)，得到矩陣P, Q，以及L=P-1Y。

2.2 設(shè)計(jì)容錯(cuò)控制器

根據(jù)系統(tǒng)(1)，構(gòu)造如下方式的反饋容錯(cuò)控制器：

(5)

其中：x(t)∈Rn表示狀態(tài)向量；矩陣K∈Rn×n是待確定的容錯(cuò)控制器的參數(shù)。結(jié)合式(1)和式(5)，可得到如下閉環(huán)系統(tǒng)：

(6)

現(xiàn)在，給出如下結(jié)果。

定理2 針對(duì)確定的標(biāo)量γ>0和e>0，假若有矩陣H∈Rn表示非奇異可逆和矩陣Q∈Rn×n，K∈Rn×n表示對(duì)稱正定，滿足下列不等式：

(7)

(8)

其中，Ξ2=(A+BK)TH+HT(A+BK)+Q+ε2I+ε3λI。那么基于故障診斷觀測(cè)器的狀態(tài)反饋容錯(cuò)控制器使閉環(huán)系統(tǒng)(6)狀態(tài)魯棒穩(wěn)定，并且滿足‖y(t)‖∞≤γ‖ω(t)‖∞。

xT(t)HTg(x(t))+fT(t)FTHx(t)+xT(t)HTFf(t),

首先證明當(dāng)ω(t)=0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)(6)狀態(tài)魯棒穩(wěn)定。

由引理2和‖f(t)‖≤λ‖x‖得到：

由此可以得到：

即

ΦTΩΦ，

其中：

其次，證明如下滿足‖y(t)‖∞≤γ2‖ω(t)‖∞。

在零初始條件下，對(duì)任意的ω(t)∈L2[0,∞)，考慮以下的性能指標(biāo)函數(shù):

根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)(6)魯棒穩(wěn)定性的推論，可以得到：

應(yīng)用引理2和‖f(t)‖≤λ‖x‖得：

即可以得到：

其中：

Φ=[xT(t) xT(t-d(t))]T，

(9)

再根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)(6)魯棒穩(wěn)定性的推論，得到Ω2<0，所以有：

因此控制輸出y(t)∈[0,∞)滿足‖y(t)‖∞≤γ2‖ω(t)‖∞。

ETM=ETE≥0 ，

(10)

(11)

圖1 Lorenz系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線解Fig.1 State response of the curve of the Lorenz system

證明 顯然式(7)等價(jià)于式(10)，將式(9)的左右兩邊分別乘以diag[H-T,I]和diag[H-1,I]，利用Schur補(bǔ)引理,可以得到一個(gè)類似式(11)的八階的方陣，然后將此方陣左右分別乘以diag[I,Q-T,I,I,I,I,I,I]和diag[I,Q-1,I,I,I,I,I,I]可得式(11)。

3 數(shù)值仿真

考慮如下Lorenz系統(tǒng)

如圖1可得此系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線，得出系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。

這個(gè)系統(tǒng)能被推廣為非線性時(shí)滯時(shí)變奇異系統(tǒng)(1)的形式，參數(shù)如下：

其中d(t)=2sin(0.1t2)，基于系統(tǒng)的有界性存在一個(gè)真正的這樣的常數(shù)η，

通過MATLAB的LMI工具箱分別對(duì)線性矩陣不等式(4)和(11)進(jìn)行仿真，可以分別得觀測(cè)器參數(shù)和狀態(tài)反饋控制器的參數(shù)矩陣：

然后得出誤差動(dòng)態(tài)閉環(huán)系統(tǒng)(3)的狀態(tài)響應(yīng)曲線見圖2，和圖3展示容錯(cuò)控制閉環(huán)系統(tǒng)(6)的狀態(tài)響應(yīng)曲線。得到系統(tǒng)能保持穩(wěn)定，因此本文所提出的容錯(cuò)控制器不被故障以及非線性因素干擾。

圖2 誤差閉環(huán)系統(tǒng)(3)的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.2 State response of the curve of the error closed-loop system (3)

圖3 容錯(cuò)控制閉環(huán)系統(tǒng)(6)的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.3 State response of the curve of the fault tolerant control closed-loop system (6)

4 結(jié) 論

本文關(guān)于非線性時(shí)滯時(shí)變奇異系統(tǒng)，構(gòu)造了一種新的故障診斷觀測(cè)器，此方法解決了針對(duì)系統(tǒng)中已有的非線性、擾動(dòng)以及時(shí)滯時(shí)變項(xiàng)。在此措施的基礎(chǔ)上，隨后提出了狀態(tài)反饋的容錯(cuò)控制器被提出，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性被確保并且符合給定的H∞性能指標(biāo)，最后運(yùn)用Matlab仿真檢驗(yàn)了研究的有效性。

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Fault-tolerant control for nonlinear singular systems withtime-varying delay based on fault diagnosis observer

FAN Qiaoqiao, SHI Xuetao, SU Lianqing

(School of Science, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang, Hebei 050018,China)

In order to solve the security and reliability problems of the system control in the control theory, considering that time-varying delay is widespread in many systems, thinking about solving problems by fault diagnosis and fault-tolerant control, and aiming at the study of fault-tolerant control of nonlinear time-delay singular systems based on fault diagnosis observers, a new fault diagnosis observer is constructed. With the Lyapunov stability theory, the fault diagnosis observer state estimation error is researched. Then, the state feedback fault-tolerant controller is designed. Using Schur lemma and some basic control theories, the sufficient conditions for linear matrix inequality (LMI) existed in fault diagnosis observer and fault tolerant controller are obtained. The closed-loop system is guaranteed to be stable and satisfies the given performance index. Finally, the Matlab simulation example is given to illustrate the simplicity and practicability of the proposed method, which overcomes effectively problems existed in the system such as: nonlinearity, destabilization, and time-varying delay.

theory stability; fault diagnosis; nonlinear systems; time-varying delay; singular system; fault-tolerant control; linear matrix inequality

2017-02-09；

2017-06-20；責(zé)任編輯：張 軍

河北省自然科學(xué)基金 (F2014208042)

范喬喬(1990—)， 女，河北衡水人，碩士研究生，主要從事系統(tǒng)魯棒控制方面的研究。

蘇連青教授。E-mail:lianqing_su@163.com

1008-1542(2017)04-0367-08

10.7535/hbkd.2017yx04008

O231.3MSC(2010)主題分類：93D15

A

范喬喬，石學(xué)濤，蘇連青.基于故障診斷觀測(cè)器的非線性時(shí)滯時(shí)變奇異系統(tǒng)的容錯(cuò)控制[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào),2017,38(4):367-374. FAN Qiaoqiao, SHI Xuetao, SU Lianqing.Fault-tolerant control for nonlinear singular systems with time-varying delay based on fault diagnosis observer[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2017,38(4):367-374.